โจทย์การหาคำตอบจำนวนเต็มของสมการ

[Nanza]

ให้ xi (i=1,2,3,4) เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ x1+x2+x3+x4=30 หาจำนวนคำตอบเมื่อ 2≤ x1≤ 7 และ x1≥ 0 สำหรับ i=2,3,4

[Pitchayut]

จะนับจำนวนผลเฉลยเมื่อ $x_1\geq 2$ และ $x_2, x_3, x_4\geq 0$ แล้วนำมาลบกับจำนวนผลเฉลยเมื่อ $x_1\geq 7$ และ $x_2, x_3, x_4\geq 0$

การนับจำนวนผลเฉลยเมื่อ $x_1\geq 2$ และ $x_2, x_3, x_4\geq 0$

ให้ $y_1=x_1-2$ และ $y_i=x_i$ เมื่อ $i=2,3,4$

แทนค่าลงไปจะได้ $y_1+y_2+y_3+y_4 = 28$ เมื่อ $y_1, y_2, y_3, y_4\geq 0$

เมื่อใช้สูตรจำนวนผลเฉลยจะได้ว่าจำนวนผลเฉลยเท่ากับ $\displaystyle{\binom{28+4-1}{4-1}=\binom{31}{3}=4495}$

ส่วนการนับจำนวนผลเฉลยเมื่อ $x_1\geq 7$ และ $x_2, x_3, x_4\geq 0$ ให้ลองทำดูเอง จะได้เท่ากับ $2600$

ดังนั้นจำนวนผลเฉลยที่ต้องการมีค่าเท่ากับ $4495-2600=1895$

[Nanza]