ช่วย proof phi function หน่อยค่ะ

[Onniers]

1.พิสูจน์ว่า ø(n^2)=nø(n)
2.พิสูจน์ว่า ø(mn)ø(d)=d ø(m)ø(n) เมื่อ (m,n)=d

[Kodaku]

1. $d$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $n$ ก็ต่อเมื่อ $n+da$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $n$
$k$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $n$ ก็ต่อเมื่อ $k$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $n^2$
ตัวอย่าง 1 2 3 4 5 6 $\phi (6)=2$
1,2,3,4,5,6
7,8,9,10,11,12
13,14,15,16,17,18
19,20,21,22,23,24
25,26,27,28,29,30
31,32,33,34,35,36
$\therefore \phi (6^2)=6\phi (6)$

[nooonuii]

1. ถ้า $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ แล้ว $n^2= ?$

เอาไปเข้าสูตร $\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})\cdots (1-\frac{1}{p_k})$ ก็ได้แล้ว

[Onniers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

1. ถ้า $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ แล้ว $n^2= ?$

เอาไปเข้าสูตร $\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})\cdots (1-\frac{1}{p_k})$ ก็ได้แล้ว

ถ้า proof โดยไม่เข้าสูตร จะมีวิธี proof แบบอื่นไหมคะ

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onniers

ถ้า proof โดยไม่เข้าสูตร จะมีวิธี proof แบบอื่นไหมคะ

ก็อย่างที่คุณ Kodaku บอกแหละครับ

สมมติ จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ของ $n$ คือ $a_1,a_2,...,a_{\phi (n)}$

จะได้ว่า จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ของ $n^2$ คือ

$a_1+kn,a_2+kn,...,a_{\phi (n)}+kn$ ; $k=0,1,2,...,n-1$

ซึ่งมี $n\phi (n)$ ตัว

[Pitchayut]

ข้อ 2 ลอง generalize ข้อ 1 จะพบว่า $\phi(mn)=m\phi(n)$ เมื่อ $m, n\in\mathbb{N}$ ที่สอดคล้องกับ ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ $p\mid n$ แล้ว $p\mid m$

ให้ $m=da, n=db$ แทนลงไปแล้วใช้ความจริงที่ว่า $(a,b)=1$ ครับ