แบบฝึกหัด สอวน.ทฤษฎีจำนวน เรื่อง จำนวนเฉพาะ

[<KAB555>]

แบบฝึกหัดเรื่อง จำนวนเฉพาะ

1) กำหนดลำดับของจำนวนเต็มบวก $101, 10101,1010101, ...$ จงตรวจสอบว่ามีสมาชิกใดบ้างในลำดับข้างต้นที่เป็นจำนวนเฉพาะ
2) จงหาจำนวนเต็ม $n$ ทั้งหมด ที่ทำให้ $n^4+4$ เป็นจำนวนประกอบ
3) จงแสดงว่า ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ $p,p+2,p+4$ เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว $p=3$
4) ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p>3$ จงแสดงว่า $p^2-1$ หารด้วย $24$ ลงตัว
5) จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n^4+4^n$ เป็นจำนวนเฉพาะ
6) จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้ $17p+1$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
7) จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ และ $q=p+2$ ทั้งหมดที่ทำให้ $pq-2$ เป็นจำนวนเฉพาะ
8) ในการเขียน $1000000!$ ในรูปของจำนวนเต็ม จะมี $0$ ลงท้ายเรียงต่อเนื่องกันกี่ตัว
9) ให้ $n=p^r$ , $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงหาจำนวนของจำนวนเต็ม $k$ ซึ่ง $1\leqslant k<n$ และ $(n,k)=1$
10) จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่มีค่าน้อยที่สุดที่ทำให้ $n^2+n+17$ เป็นจำนวนประกอบ
11) จงแสดงว่ามีจำนวนเฉพาะ $p$ เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่เขียนอยู่ในรูป $p=n^3-1$ สำหรับจำนวนเต็ม $n$ บางจำนวน
12) จงแสดงว่า ถ้า $p$ และ $p+2$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่ ที่ $p>3$ แล้วผลบวกของ $p$ และ $p+2$ หารด้วย $12$ ลงตัว
13) ถ้า $p$ และ $p^3+3$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงแสดงว่า $p^3+4$ เป็นจำนวนประกอบ
14) ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 2 จงแสดงว่า ถ้า $2^n-1$ หรือ $2^n+1$ ตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ แล้วอีกตัวหนึ่งจะเป็นจำนวนประกอบ
15) ถ้าจำนวนเต็มบวก $n>1$ ไม่เขียนอยู่ในรูป $6k+3$ จงแสดงว่า $n^2+2^n$ เป็นจำนวนประกอบ
16) ให้ $n\in \mathbb{N} $ จงพิสูจน์ว่า $2^{2^n}+2^{2^{n-1}}+1$ จะมีตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันอย่างน้อย $n$ จำนวน
17) ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $3p+1$ เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ จงพิสูจน์ว่า $p=5$
18) จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ และ $q$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $p-q=3$
19) ให้ $n\in \mathbb{N} $ ที่ $n>1$ จงแสดงว่า $n!$ ไม่สามารถเขียนได้ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
20) จงหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ทำให้ $n!+(n+1)!+(n+2)!$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

[<KAB555>]

ติดข้อ 16 แล้วก็ 19 ค่ะ ช่วยแนะนำด้วยค่ะ

[จูกัดเหลียง]

ข้อ 16 $$2^{2^{n}}+2^{{2^{n-1}}}+1=(2^{2^{n-1}}-2^{2^{n-2}}+1)(2^{2^{n-2}}-2^{2^{n-3}}+1)(2^{2^{n-3}}-2^{2^{n-4}}+1)...(2^{2^1}-2^{2^0}+1)(2^{2^1}+2^{2^0}+1)$$
ซึ่งมี $n$ วงเล็บพอดีครับ เเต่ตอนนี้ผมยังเเสดงไม่ได้ว่าทุกวงเล็บให้กำเนิดตัวเฉพาะที่เเตกต่างกัน

ส่วนข้อ 19 มีเฉลยหลายรอบมากๆเเล้วนะครับลองหาดูครับๆ

[Thgx0312555]

19. ลองหาเรื่อง Bertrand's postulate ดูครับ