แบบฝึกหัด สอวน.ทฤษฎีจำนวน เรื่อง ข้อเท็จจริงบางประการเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ

[<KAB555>]

แบบฝึกหัดเรื่อง ข้อเท็จจริงบางประการเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ

1) จงตรวจสอบว่า มีจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป $1^{1995}+2^{1995}+3^{1995}+...+n^{1995}$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก หรือไม่
2) ให้ $p_n$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ $n$ สำหรับ $n>3$ จงแสดงว่า $p_n<p_1+p_2+p_3+...+p_{n-1}$
ข้อเสนอแนะ ใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์และข้อคาดเดาของเบอร์ทราน
3) ถ้า $n>1$ แล้วจงแสดงว่า $n!$ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
4) จงพิสูจน์ว่า ถ้า $n\geqslant 2$ แล้วจะมีจำนวนเฉพาะ $p$ ซึ่ง $p\leqslant n\leqslant 2p$
ข้อเสนอแนะ ในกรณีที่ $n=2k+1$ แล้วะข้อคาดเดาของเบอร์ทรานจะมีจำนวนเฉพาะ $p$ ซึ่ง $k<p<2k$
5) จงใช้ผลจากทฤษฎีบท 4.1.4 [บทแทรก 4.1.4 สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ จะมีจำนวนเฉพาะอย่างน้อยที่สุด $n+1$ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า $2^{2^n}$]
พิสูจน์ว่า $p_n<2^n$ เมื่อ $p_n$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ $n$
6) ให้ $p_n$ เป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ $n$ สำหรับ $n\geqslant 3$ จงพิสูจน์ว่า $p_{n+3}^2<p_np_{n+1}p_n+2$
ข้อเสนอแนะ $p_{n+3}^2<4p_{n+2}^2<8p_{n+1}p_{n+2}$
7) จงแสดงว่า จำนวนแฟร์มาต์ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
8) สำหรับจำนวนเต็มคี่ $n$ จงแสดงว่า $3|(2^n+1)$
9) จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n!+(n+1)!+(n+2)!$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ข้อเสนอแนะ $n!+(n+1)!+(n+2)!=n!(n+2)^2$
10) ข้อคาดเดา ทุกๆจำนวนเต็มคี่สามารถเขียนอยู่ในรูป $p+2a^2$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ หรือ $1$ และ $a\geqslant 0$
จงแสดงว่า จำนวนเต็ม $5777$ เป็นตัวอย่างค้านของข้อคาดเดานี้ กล่าวคือ $5777$ ไม่สามารถเขียนในรูปของ $p+2a^2$ ได้
11) ข้อคาดเดาของลากรองจ์ ทุกๆจำนวนเต็มคี่ที่มากกว่า 5 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลบวก $p_1+2p_2$ เมื่อ $p_1$ และ $p_2$ เป็นจำนวนเฉพาะ
จงแสดงว่า ข้อคาดเดาข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุกๆ จำนวนเต็มคี่ $n$ ซึ่ง $5<n\leqslant 75$
12) จำนวนเต็มบวก $p,p+2,p+6$ ซึ่งต่างก็เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดเรียกว่า prime-triplet จงหา prime-triplet มา 5 ชุด
13) ในปี ค.ศ.1848 De Poligance ได้เสนอข้อคาดเดาว่า "จำนวนเต็มคี่ทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะกับเลข $2$ ยกกำลัง" เช่น $55=47+2^3=23+2^5$
จงแสดงว่า $509$ และ $877$ ไม่สอดคล้องกับข้อคาดเดานี้
14) จงยกตัวอย่างการเขียนจำนวนคู่บวก $n\geqslant 1000$ ให้อยู่ในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะ $2$ จำนวน มา $50$ ตัวอย่าง
15) จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดที่ทำให้ $p|(2^p+1)$ และหาจำนวนเฉพาะ $q$ ทั้งหมดที่ทำให้ $q|(2^q-1)$
16) เรียกจำนวนประกอบ $n$ ซึ่ง $n|(2^n-2)$ ว่า จำนวนเฉพาะเทียม (Pseudoprime) จงแสดงว่า
ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มคี่ที่เป็นจำนวนเฉพาะเทียม แล้วจำนวนแมร์แซน $M_n$ จะเป็นจำนวนเฉพาะเทียมด้วย และจงแสดงว่ามีจำนวนเฉพาะเทียมไม่จำกัดจำนวน
ข้อเสนอแนะ ใช้ $n|(2^n-2)$ และ $n|(2^{n-1}-2)$ ซึ่ง $2^{n-1}-1=kn$
เมื่อ $k\in \mathbb{Z} $ แล้ว $2^{M_n-1}-1=2^{2^n}-1=(2^n)^{2k}-1$ จะได้ว่า $(2^n-1)|2\cdot (2^{M_n-1}-1)$
17) จงตรวจสอบว่า ถ้า $p$ และ $q=p+2$ เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว $pq-2$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

[<KAB555>]

ติดตั้งแต่ข้อ 1 เลยค่ะ ขอคำแนะนำข้อ 1 ด้วยค่ะ

[Pitchayut]

Hint
1.จับคู่หัวท้าย
2.ตามที่โจทย์บอก
3.จะต้องมีจำนวนเฉพาะอย่างน้อย 1 ตัวที่อยู่ระหว่าง $\dfrac{n}{2}$ กับ $n$
4.ข้อคาดเดาของเบอร์ทราน
5.ข้อคาดเดาของเบอร์ทราน + induction
6.ตามที่โจทย์บอก
7.เพราะมันอยู่ในรูป $n^2+1$
8.ข้อความในโจทย์สมมูลกับ $3\mid 2^{n+1}-1$
9.ดึง $n!$ ออกมา
10.-14.ไล่เอา
15.ดู Fermat Little Theorem
16.ตามที่โจทย์บอก
17.$p=3k,3k+1,3k+2$

[ohmohm]

17)
ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ p > 3 แล้ว p จะเขียนอยู่ในรูป 6k-1 หรือ 6k+1 ได้ โดยจะมี k เป็นจำนวนเต็ม ทำให้มันเป็นจริง $(p \equiv \pm 1 (mod 6))$

ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง p=6k+1 จะได้ว่า q=p+2=6k+3 ซึ่ง 6k+3 ถูกหารด้วย 3 ลงตัว q จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เลยไม่เข้าเงื่อนไขที่จะต้องตรวจสอบ

ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง p=6k-1 จะได้ว่า q=p+2=6k+1 นั้นคือ q มีโอกาสเป็นจำนวนเฉพาะ
จะได้
$pq-2$
$=(6k-1)(6k+1)-2$
$=36k^2-3$
นั้นคือ ถูกหารด้วย 3 ลงตัว จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

แต่ถ้า p=3 จะได้ว่า q=5 ทำให้ pq-2=13