หาเศษครับผม

[Math_indy]

จงหาเศษเหลือจากการหาร 2^5+2^15+2^25+2^35....+2^2015 ด้วย 1,023 เท่ากับเท่าใหร่?
ทำไม่ได้ซักทีครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Math_indy

จงหาเศษเหลือจากการหาร $2^1+2^{15}+2^{25}+2^{35}....+2^{2015}$ ด้วย 1,023 เท่ากับเท่าใหร่?
ทำไม่ได้ซักทีครับ

ใช้ $2^{10} = 1024 \equiv 1 \mod 1023$ ได้หรือเปล่าครับ.

[Thamma]

โจทย์น่าจะเป็นแบบนี้นะคะ

$ 2^5 + 2^{15} + 2^{25} + ... + 2^{2015} $

วิธีคิด

$1023 = 2^{10} - 1 $

$2^{10} - 2^0 \equiv 0 \bmod 1023$

$2^{2015} - 2^{2005} \equiv 0 \bmod 1023$

$2^{2015} \equiv 2^{2005} \bmod 1023$

$2^5 + 2^{15} + 2^{25} + ... + 2^{2015} \equiv 2^5 + 2^{15} + 2^{25} + ... + 2 \cdot 2^{2005} \bmod 1023$


$2^{2005} \equiv 2^{1995} \bmod 1023$

$2^5 + 2^{15} + 2^{25} + ... + 2^{2015} \equiv 2^5 + 2^{15} + 2^{25} + ... + 3 \cdot 2^{1995} \bmod 1023$


ทำนองเดียวกัน จะได้

$2^5 + 2^{15} + 2^{25} + ... + 2^{2015} \equiv 2^5 + 2^{15} + 2^{25} + ... + 4 \cdot 2^{1985} \bmod 1023$
.
.
.

$2^5 + 2^{15} + 2^{25} + ... + 2^{2015} \equiv 202 \cdot 2^5 \bmod 1023$

$2^5 + 2^{15} + 2^{25} + ... + 2^{2015} \equiv 6464 \bmod 1023$

$2^5 + 2^{15} + 2^{25} + ... + 2^{2015} \equiv 326 \bmod 1023$

Ans 326

[ohmohm]

เมื่อ mod หมายถึงการหารเอาเศษ, k เป็นจำนวนนับ
$(2^{10k+5}) mod (2^{10}-1) $
$= ((2^{10k} mod (2^{10}-1))(2^{5} mod (2^{10}-1)))mod (2^{10}-1)$
$= ((((2^{10} mod (2^{10}-1))^{k})mod (2^{10}-1))(2^{5}))mod (2^{10}-1)$
$= (((1)^{k})(32))mod (2^{10}-1)$
$= 32 mod (2^{10}-1)$
$= 32$

[Math_indy]

ขอขอบคุณทุกคนครับ
ปล.โจทย์ผิดจริงๆครับตัวแรกต้องเป็น 2^5

[computer]

อย่างงี้ได้ปะคะ

$2^{10k}\equiv 1 \,(mod \,1023)$

$2^5+2^{15}+...+2^{2015}=2^5(1+2^{10}+2^{20}+...+2^{2010}) \equiv 32(\underbrace{1+1+...+1}_{202}) \equiv 32(202) \equiv 326\, (mod \,1023)$