แต่งเอง

[ROCKY]

1.Let $d(n)$ be the number of perfect squares which are divisors of the number $n$. Show that the average value $\dfrac{d(1)+d(2)+...+d(n)}{n}$ converges as $n$ tends to infinity.
2. Do there exist a quadratic polynomial $P(x)\in\mathbb{R}[x]$ and a positive integer $N$ such that the following inequality
$$\mid p_n-P(n)\mid < 10^{-10000}$$
holds for all integer $n\geq N$, whereas $p_n$ is the nth prime?

[ThE-dArK-lOrD]

For $1)$ Let $t=\lfloor \sqrt{n} \rfloor$
For each $i=1,2,...,t$, number of $m\in \{ 1,2,...,n\}$ such that $i^2\mid m$ is equal to $\lfloor \frac{n}{i^2} \rfloor$
So $\frac{d(1)+d(2)+...+d(n)}{n} =\frac{\sum_{i=1}^{t}{\lfloor \frac{n}{i^2} \rfloor}}{n} \sim \sum_{i=1}^{t}{\frac{1}{i^2}}$
So the average value converge to $\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{i^2}} =\frac{\pi^2}{6}$ as $n \rightarrow \infty$

[Beatmania]

2. เพื่อความสะดวกให้ $\epsilon=10^{-10000}$

สังเกตว่า ถ้า $P(x)=ax^2+bx+c$ เราจะได้ว่า $P(n+2)-2P(n+1)+P(n)=4a$

ดังนั้นเราจะได้ว่า $\forall n\geq N$
$$4|a|-\epsilon=|P(n+2)-2P(n+1)+P(n)|-4\epsilon<p_{n+2}-2p_{n+1}+p_{n}<P(n+2)-2P(n+1)+P(n)+4\epsilon=4|a|+\epsilon$$

เนื่องจาก $p_{n+2}-2p_{n+1}+p_{n}\in\mathbb{N}$ และความยาวของช่วง $(4|a|-\epsilon,4|a|+\epsilon)$ น้อยกว่า $1$

ดังนั้นจะมี $K\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $\forall n\geq N,p_{n+2}-2p_{n+1}+p_{n}=K$

จากตรงนี้แสดงได้ไม่ยากว่า จะมี $p,q,r\in\mathbb{Q}$ ที่ทำให้ $\forall n\geq N,p_n=pn^2+qn+r=P^*(n)$

พิจารณา $|P(n)-P^*(n)|$ จะได้ว่า ถ้าหาก $P(n)\neq P^*(n)$ เราจะได้ว่า $|P(n)-P^*(n)|\rightarrow\infty$ ขัดกับที่ $|P(n)-P^*(n)|<\epsilon$

ดังนั้น $P(x)=P^*(x)$ และ แสดงได้ไม่ยากว่า $Q(n)=2P(n)\in\mathbb{Z}[x]$

และสังเกตว่า $p_n|Q(n),p_{n+1}|Q(n+1)$ และ $gcd(p_n,p_{n+1})=1$

ดังนั้นสมการ $lp_{n}=kp_{n+1}+1$ มีคำตอบ เราจะได้ว่า $p_n|Q(n+lp_{n}),p_{n+1}|Q(n+1+kp_{n+1})$

รวมกันจะได้ว่า $p_np_{n+1}|Q(n+lp_n)$ หรือ $p_np_{n+1}|2p_{n+lp_n}$

เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้นจึงไม่มีพหุนามดังกล่าว