โจทย์

[กขฃคฅฆง]

ให้ $ab \mid a^2+b^2$ เมื่อ $a,b \in \mathbb{N} $ จงพิสูจน์ว่า $a=b$

[จูกัดเหลียง]

ไม่ชัวร์นะครับๆๆ

ให้ $a=ga'$ และ $b=gb'$ โดย $g=gcd(a,b)$ นั่นคือ $(a',b')=1$
จะได้ว่า $g^2a'b'=ab|(a^2+b^2)=g^2((a')^2)+(b')^2)\rightarrow a'b'|((a')^2+(b')^2)$

ซึ่งได้ว่า $a'b'|(a'+b')^2$ สมมุติว่ามีจำนวนเฉพาะ $p$ ซึ่ง $p|a'$ จะได้ว่า $p|(a'+b')\longrightarrow p|b'$ เกิดข้อขัดเเย้งกับ $(a',b')=1$ นั่นคือ ไม่มีจำนวนเฉพาะซึ่งหาร $a'$ ลงตัวแปลว่า $a'=1$ ทำนองเดียวกันก็จะได้ $b'=1$


ดังนั้น $a=g=b$

[กขฃคฅฆง]

ขอบคุณมากนะครับ

[Thgx0312555]

ให้อีกวิธีครับ
$a^2-kab+b^2=0 \rightarrow a=\dfrac{k \pm \sqrt{k^2-4}}{2} b$ ซึ่ง $k^2-4$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์เมื่อ $k=2$ เท่านั้น จึงได้ $a=b$ ครับ

[กขฃคฅฆง]

เป็น solution สวยๆ อีก solution หนึ่งเลยครับ