ปัญหา Combinatorics

[M@gpie]

มีอยู่ว่า ผมทำโจทย์ Combinatorics แล้วไม่ตรงเฉลยครับ ผมจะซ่อนเฉลยไว้นะครับ ลองดูวิธีของผมก่อน อิอิ

เลยรบกวนเช็คคำตอบครับ ปัญหามีอยู่ว่า
1. มีสีที่แตกต่างกัน 4 สี ต้องการทาสีทั้ง 4 สี ลงบนหน้าลูกเต๋าทุกหน้า หน้าละสี จะมีวิธีการทาสีทั้งหมดกี่วิธี เมื่อไม่ให้หน้าที่ทาสีเดียวกันอยู่ติดกัน

วิธีทำ : ขั้นที่ 1. เนื่องจากลูกเต๋ามีเลขทั้ง 6 หน้ากำกับไว้ เลือก 1 หน้าและ 1 สีทาไว้ ทำได้ $\binom{6}{1}\cdot \binom{4}{1} $ วิธี อีกด้านหนึ่งจะต้องทาสีเดียวกันนี้เพื่อให้ไม่ติดกัน.. และการพลิกกลับของลูกเต๋าจะได้ผลเหมือนเดิม จึงต้องหารสอง ดังนั้นการทาสีแรกทำได้ $ \frac{1}{2}\cdot \binom{6}{1}\cdot \binom{4}{1}$ วิธี

ขั้นที่ 2. เลือก 4 หน้าที่เหลือและทำการเลือกสีที่เหลืออีก 3 สี และผลการพลิกกลับจะได้เหมือนเดิมอีกเช่นกัน ดังนั้นทาสีที่สองสามารถทำได้ $ \frac{1}{2}\cdot \binom{4}{1}\cdot \binom{3}{1}$ วิธี

ขั้นที่ 3. ตอนนี้เหลือ หน้าลูกเต๋าอีกสองหน้า เลือก อีก 1 หน้า และ สีอีก 1 สี ซึ่งสามารถทำได้ $\frac{1}{2}\cdot \binom{2}{1} \cdot \binom{2}{1}$

จากทั้งสามขั้นตอนจะได้ว่าทาได้ทั้งหมด $\frac{1}{2} \cdot\binom{6}{1}\cdot \binom{4}{1}\cdot \frac{1}{2}\cdot \binom{4}{1}\cdot \binom{3}{1}\cdot \frac{1}{2} \cdot \binom{2}{1}\cdot \binom{2}{1} = 144$ วิธี

เฉลย

72 วิธี

ขออนุญาตใส่เลขข้อไว้เผื่อมีข้อต่อไปครับ

[passer-by]

ผมคิดว่า ที่ไม่ตรงกับเฉลย เพราะน้อง M@gpie ลงสีที่ 1 และสีที่ 2 เสมือนว่ามีการเรียงลำดับการทาสี แต่บังเอิญว่า 2 สีแรกที่ทาลงไป ทาด้วยลักษณะเดียวกัน คือเป็็้นสีที่ถูกใช้ 2 หน้า ตรงข้ามกัน

จริงๆขั้นที่ 1 กับ 2 มันควรจะเป็นแค่ เลือก2 สีออกจาก 4 สี แล้วให้สีหนึ่งทาบนด้านตรงข้ามคู่หนึ่ง อีกสีทาบนด้านตรงข้ามอีกคู่หนึ่ง หรือเท่ากับ $ \binom{4}{2}\binom{3}{2} \times 2 = 36 $ ( 3 มาจากมีคู่ของด้านตรงข้าม 3 คู่ )

[sck]

ข้อนี้ผมได้ \(\binom{4}{2}\times 3\times 2\times 2\times 1 \) ครับ
คิดแบบ ต้องการทาสีทั้ง 4 สี ลงบนเลข 1-6 โดยทาสีเดียวกันบนเลขที่รวมกันได้ 7
1 2 3
6 5 4
ขั้นแรก เลือก สี 2 สี จาก 4 สี ได้ \(\binom{4}{2}\)
ขั้นที่ 2 สีแรกเลือกทา ได้ 3 วิธี สีที่ 2 เลือกทาได้ 2 วิธี (เลือกทา 1กับ6, 2กับ5 หรือ 3กับ4)
ขั้นที่ 3 จะเหลือ 2 สีกับ 2 เลข เลือกทาได้ \(2\times 1 \)

[gon]

ผมคิดแบบนี้ครับ. จำลองปัญหาโดยใช้ทฤษฎีกราฟเพื่อให้ดูง่ายขึ้นโดยจุดที่มีเส้นเชื่อมจะหมายถึงหน้าที่ติดกัน

จะพบว่าไม่ว่าจะเลือกทาสีหน้าใดก่อนจะให้ผลลัพธ์เท่ากันเสมอ

1. หมายเลข 2 เลือกทาสีได้ 4 วิธี สมมติว่าทาสี $C_1$
2. หมายเลข 4 เลือกทาสีได้ 3 วิธี สมมติว่าทาสี $C_2$
3. หมายเลข 1 เลือกทาสีได้ 2 วิธี สมมติว่าทาสี $C_3$
4. เนื่องจากเราต้องการทาสีให้ครบทั้ง 4 สี และสี $C_4$ ยังไม่ได้ทา จะพบว่าในหน้าที่เหลือ คือ 5, 3, 6 จะทาสี $C_4$ ได้ทั้งสิ้น ดังนั้นเราจึงเลือกได้ 3 วิธี ว่าจะทาสี $C_4$ ที่หมายเลขใด

และไม่ว่าจะทาที่หมายเลขใด จะพบว่า อีก 2 หน้าที่เหลือจะถูกบังคับให้ทาสีได้เพียงแบบเดียวเสมอ

ดังนั้นโดยหลักการคูณจึงทาได้ทั้งหมด (4)(3)(2)(3) วิธี