โจทย์จากมุมโอลิมปิกครับ

[Tucky]

จงหาจำนวนนับ x,yทั้งหมด โดยที่ x,y >= 1 ซึ่งทำให้ 2^x -3^y = 7
โจทย์ข้อสุดท้ายเลยครับ

ขอบคุณครับ

[TOP]

Hint ให้หน่อยแล้วกันว่า จำนวนนับ (x,y) ทั้งหมดมีเพียงกรณีเดียวคือ (4,2) เท่านั้น แล้วทำไมกรณีอื่นๆถึงเป็นไปไม่ได้ละ

[gon]

ลองแยกตัวประกอบพจน์ทางซ้ายมือดูนะครับ
แล้วจะมองเห็นอะไรซักอย่าง

[Tucky]

ขอบคุณครับ

[Catt]

เฉลยให้แบบคร่าวๆล่ะกัน
x ต้องเป็นเลขคู่ ไม่เช่นนั้น(คือ x เป็นเลขคี่) 3 จะหารข้างซ้ายเหลือเศษ 2 ข้างขวาเศษ 1 ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ทำนองเดียวกันคิดโดยนำ 4 ไปหาร จะได้ y เป็นเลขคู่
ให้ x=2k y=2h จะได้ (2^k - 3^h)(2^k + 3^h) = 7
ฉะนั้น 2^k - 3^h = 1 and 2^k + 3^h = 7
แก้สมการแบบง่ายๆได้ k=2,h=1
Then x=4,y=2

ข้อนี้สำคัญแค่ต้องรู้ว่า x,y เป็นเลขคู่เท่านั้น จากนั้นก็จะง่ายๆ

[Tucky]

ยังงงตรงที่เอา4ไปหารทั้งสองข้างครับ
4หาร2^x ลงตัว
4หาร7เหลือเศษ 3
แล้วถ้าyเป็นเลขคู่เช่น2 ดังนั้น4หาร9เหลือเศษ1
ทำไมyเป็นเลขคู่ล่ะครับ

[TOP]

อย่าลืมว่าเครื่องหมายหน้า 3^y คือเครื่องหมายลบ ถ้าย้ายไปอีกด้านหนึ่งจะได้ 2^x = 7 + 3^y

จะเสนอวิธีแก้อีกแบบที่เราไม่จำเป็นต้องรู้ว่า x,y เป็นเลขคู่ (สมมติว่าเราเดาไม่ออก)
ให้สังเกตเลขหลักหน่วยของ 3 ยกกำลังต่างๆตั้งแต่ 1 ขึ้นไป จะได้รูปแบบดังนี้ 3 9 7 1 3 9 7 1 ...
เมื่อบวกด้วย 7 จะได้ เลขหลักหน่วยมีรูปแบบดังนี้ 0 6 4 8 0 6 4 8 0 6 4 8 0 6 4 8 ...
นำมาเปรียบเทียบกับ เลขหลักหน่วยของ 2 ยกกำลังต่างๆตั้งแต่ 1 ขึ้นไป ซึ่งมีรูปแบบดังนี้ 2 4 8 6 2 4 8 6 ...
ทำให้เราสรุปได้ว่า ผลเฉลยที่เป็นจำนวนนับของ 2^x - 3^y = 7 จะต้องรวมอยู่ในผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มของสมการต่อไปนี้
2^4m - 3⁴ⁿ⁺² = 7 ------(1)
2^4m+2 - 3⁴ⁿ⁺³ = 7 ------(2)
2^4m+3 - 3⁴ⁿ = 7 ------(3)
แก้สมการ (1) จะได้ m = 1 , n = 0 ทำให้ได้ว่า x = 4 , y = 2 ตรวจคำตอบพบว่าเป็นจริง
แก้สมการ (2) , (3) จะพบว่าไม่สามารถหา m , n ที่เป็นจำนวนเต็มได้
\ จำนวนนับทั้งหมดมีเพียงกรณีเดียวคือ x = 4 , y = 2

[Catt]

ตอบคุณTucky นะค่ะ
ย้ายข้าง 3^y แล้วค่อยนำ 4 ไปหารจะเข้าใจง่ายกว่าว่าทำไม y ต้องเป็นคู่

[gon]

วิธีของพี่ก็คล้าย ๆ ของคุณ catt กับ top ครับ ลองดูล่ะกันว่าเข้าใจใหม

2^x - 3^y = 7

แยกตัวประกอบ เป็น

(2^x/2 - 3^y/2)(2^x/2 + 3^y/2) = 7 = (1)(7)

แสดงว่า
2^x/2 - 3^y/2 = 1 ...(1)
2^x/2 + 3^y/2 = 7 ...(2)

2^x/2 - 3^y/2 < 2^x/2 + 3^y/2 แน่นอน

จับ (1) + (2) จะได้ ค่า x
จับ (2) - (1) จะได้ค่า y

[Tucky]

ขอบคุณพี่ๆทั้ง3คนและทั้ง3วิธีครับ
ทำให้รู้อะไรอีกมากเลย
พวกโจทย์ที่มีเอกซ์โพเนนเชียลเนี่ยรู้สึกว่าวิธีแก้มันพลิกแพลงเยอะ
ที่เรียนมาในห้องเรียนใช้กับข้อยากๆอย่างนี้ไม่ได้เลยนะเนี่ย
มีโจทย์อีกข้อหนึ่งที่ผมสงสัยว่าวิธีที่ใช้จะถูกหรือเปล่า
ก็เป็นโจทย์ที่มีเอกซ์โพ เช่นกัน
2^x(4-x) =(2x+4) โดยxเป็นจำนวนเต็ม ให้หาค่าx
ผมทำโดยเอา 4-x หารตลอดแล้วก็สรุปว่า
(2x+4)/4-x มากกว่า0 แล้วจะได้ช่วง (-2,4)
แล้วก็แทนค่าเอา ดูๆมันก็ไม่มีที่ผิดแต่ไม่แน่ใจครับ
โจทย์นี้จากปัญหาท้าประลองครับ

[gon]

ไม่ผิดครับ ถูกต้องทีเดียว
เพียงแต่ว่า ถ้าต้องการจำกัดค่าที่แคบเข้ากว่านี้
น้องอาจจะพิจารณาเพิ่มเติมว่า

เนื่องจาก 2^x = (2x + 4) / (4 - x)
พจน์ทางซ้ายมือของสมการนั้นเป็นจำนวนเต็ม
แสดงว่า ตัวส่วนต้อง ฃ ตัวเศษ
หรือ 4 - x ฃ 2x + 4
จะได้ว่า x ณ 0
ซึ่งน้องจะจำกัดช่วงเหลือเพียง [0, 4)
ซึ่งในกรณีนั้นค่าที่ลองแทนต่างกับกรณี (-2, 4) นิดเดียวเท่านั้น
แต่ถ้าในกรณีที่โจทย์เปลี่ยนไป ก็อาจจะต่างกันมากกว่านี้
ก็เป็นไปได้ครับ

[Catt]

วิธีคุณgonมีปัญหาค่ะ
การที่จะบอกว่า2^x/2 - 3^y/2 = 1, 2^x/2 + 3^y/2 = 7 นั้น
ต้องแน่ใจก่อนว่า ว่า2^x/2 - 3^y/2 ,2^x/2 + 3^y/2 เป็นจำนวนเต็มแน่ๆ ซึ่งคุณ gon ไม่ได้แสดงไว้ก่อน
ไม่เช่นนั้น ถ้า 2^x/2 - 3^y/2 ,2^x/2 + 3^y/2 ไม่เป็นจำนวนเต็ม อาจจะเป็น 2^x/2 - 3^y/2 = 2 ,2^x/2 + 3^y/2 = 7/2 หรือว่า 2^x/2 - 3^y/2 = sqrt2 ,2^x/2 + 3^y/2 = 7/sqrt2 ฯลฯ
ไม่สามารถสรุปได้ว่า 2^x/2 - 3^y/2 = 1, 2^x/2 + 3^y/2 = 7

[Tucky]

อืม ยังงงที่2^xน่ะครับ
ที่พี่gonว่าข้างซ้ายจะเป็นจำนวนเต็ม
ทำไมถึงเป็นจำนวนเต็มล่ะครับ ถ้า xเป็นลบมันก็เป็นเศษส่วนได้
แล้วถ้าเกิดข้อนี้ไม่มีข้อกำหนดที่ว่า x จะต้องเป็นจำนวนเต็ม แล้วจะมีวิธีแก้อย่างไรครับ

[gon]

เพิ่งกลับมาครับ
ตอบปัญหาน้อง Tucky ครับ
คือพี่เข้าใจผิดไปเองครับ
ตอนนั้นรีบคิดไปหน่อยไม่ทันระวัง
ไม่มีอะไรต้องงงครับ