Number ที่คิดไม่ออก

[tatari/nightmare]

ช่วยหน่อยนะครับ คิดไม่ได้นานมากแล้ว
1. ให้ $a, b\in \mathbb{Z}$ จงหาจำนวนนับ n ที่มากที่สุดซึ่ง n หาร $ab(a^{60}-b^{60})$ ทุก $a, b \in \mathbb{Z}$
ขอบพระคุณครับ

[gools]

$2\bullet 3\bullet 5\bullet 7\bullet 11\bullet 13\bullet 31\bullet 61$ รึเปล่าครับ

[nongtum]

ใช่แล้วครับ โจทย์ข้อนี้คิดว่าคนออกคงแปลงมาจากโจทย์สอวน.วิชาทฤษฏีจำนวนข้อแรกที่สอบไปเมื่อปลายเดือนมีนาที่ผ่านมาแหละครับ

[konkoonJAi]

อยากรู้วิธีทำจังเลยค่ะ กรุณาแสดงให้ดูซักนิดได้มั้ยคะ

[nongtum]

ก่อนอื่นขอตั้งข้อสังเกตว่า หากโจทย์ถามหา $n$ ที่เป็นจริงสำหรับทุก $a,b\in \mathbb{Z}$ ข้อนี้จะตอบ 1 เพราะเห็นได้ชัดว่าเทอมนี้มีค่าเป็น 1 เมื่อ $a=1,\ b=0$ เข้่าใจว่าคนออกโจทย์คงตั้งใจจะถามสำหรับทุก $a,b\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$ ครับ

คำเตือน: แนวคิดด้า่นล่างอาจไม่เหมาะต่อการคำนวณจริงในห้องสอบ ($a,b\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$)

- แยกตัวประกอบ สามารถใช้ทบ.เช่น Eisenstein ช่วยดูได้ว่าแยกต่อได้หรือไม่้

- ถ้ามันจริงสำหรับทุก $a,b$ มันก็ต้องจริงสำหรับ $a=2,\ b=1$ ด้วย
แทนค่าในเทอมที่แยกตัวประกอบแล้ว และแยกตัวประกอบต่อหากจำเป็น แล้วตรวจสอบการหารลงตัวในกรณีทั่วไป
(ตรงนี้หากมีเครื่องคำนวณ เพื่อจะลดจำนวนตัวประกอบเฉพาะที่จะตรวจสอบ ก็อาจจะใช้ตัวประกอบของ $\gcd (3(3^{60}-1),2(2^{60}-1))$ (ตัวอย่าง) แทนตัวประกอบของ $2(2^{60}-1)$ ก็ได
ตอนตรวจสอบกาีรหารลงตัว (อันเป็นส่วนที่ถึกที่สุดของข้อนี้) นอกจากการคำนวณสมภาคตามปกติ ก็อาจใช้ little fermat กับตัวประกอบที่เหมาะสม มาช่วยได้ครับ
การคำนวณส่วนนี้ ลองเทียบค่ากับการแยกตัวประกอบตอนต้นจะช่วยได้มากครับ

[konkoonJAi]

ขอบคุณมาก ๆ เลยค่ะ

[tatari/nightmare]

เอ่อ...ผมนั่งคิดๆดูครับผมได้ $n=2\bullet 56786730$
ผมอยากรู้ว่าควรยกตัวอย่างค่า $a,b$ ยังไงถึงจะสรุปได้เลยอะครับ
ผมขออีกสัก 2 ข้อก็แล้วกันครับ
1.จงหา$x,y,z,\in \mathbb{N}$ ทั้งหมดซึ่ง $$(x^2+2)(y^3+3)(z^4+4)=60xyz$$
2.จงหาจำนวนเฉพาะ $p,q$ และจำนวนคู่$ n\geq 3$ ที่สอดคล้องกับสมการ
$$p^n+p^{n-1}+p^{n-2}+....+p+1=q^2+q+1$$
อ้อแล้วก็ขอบคุณมากนะครับที่ช่วยคิดให้ ขอบคุณจริงๆครับ

[Art_ninja]

ข้อเเรก ตอบว่า $x=2 ,y=3 ,z=4$ ครับ (ขอโทษครับ มองผิดเป็นกำลังสอง )
เเละขออนุญาตนำโจทย์มาให้อีกข้อด้วยครับ
จงหาจำนวน 3 หลัก $\overline{abc}$ ทั้งหมดซึ่ง $\overline{abc}=abc(a+b+c) $

[nongtum]

ข้อแรกแทนคำตอบไปเช็คแล้วไม่จริงครับ แต่ยังหาคำตอบที่ไม่ใช่ x=y=z=1 ไม่เจอ
ข้อที่สองหลังจากนั่งแจงกรณีอยู่พักใหญ่ พบว่ามีคำตอบชุดเดียวที่สอดคล้อง คือ p=q=n=2
ส่วนข้อที่คุณ Art_ninja โพสต์มาเพิ่มผมยังไม่ได้คิดครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

1.จงหา$x,y,z,\in \mathbb{N}$ ทั้งหมดซึ่ง $$(x^2+2)(y^3+3)(z^4+4)=60xyz$$

เนื่องจาก ถ้า $x,y,z$ เป็นจำนวนนับแล้ว

$x^2+2\geq 3x$

$y^3+3\geq 4y$

$z^4+4\geq 5z$

เราจะได้ว่า $(x^2+2)(y^3+3)(z^4+4)\geq 60xyz$ ทุก $x,y,z\in\mathbb{N}$

สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $x=y=z=1$ หรือ $x=2,y=z=1$
ดังนั้น $(x,y,z)=(1,1,1),(2,1,1)$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

2.จงหาจำนวนเฉพาะ $p,q$ และจำนวนคู่$ n\geq 3$ ที่สอดคล้องกับสมการ
$$p^n+p^{n-1}+p^{n-2}+....+p+1=q^2+q+1$$

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=2922

[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

จงหาจำนวน 3 หลัก $\overline{abc}$ ทั้งหมดซึ่ง $\overline{abc}=abc(a+b+c) $

$a,b,c$ เป็นเลขโดดที่สอดคล้องเงื่อนไข จะได้ $a \left.\,\right|\overline{abc}$ ในทำนองเดียวกันจะได้ $b \left.\,\right|\overline{abc}$,$c \left.\,\right|\overline{abc}$ นั่นคือ $a\left.\,\right|10b+c$ และ $b\left.\,\right|100a+c$และ$c\left.\,\right|100a+10b$ จะได้
$$10b+c=ak_{1}$$ $$100a+c=bk_{2}$$ $$100a+10b=ck_{3}$$ สำหรับบาง$ k_{i}\in\mathbb{N}$ ทุก i=1,2,3
ถ้าให้ $N=\overline{abc}=100a+10b+c$ จะได้$N=a(k_{1}+100)=b(k_{2}+10)=c(k_{3}+1)$
$\frac{N}{k_{1}+100}=a,\frac{N}{k_{2}+10}=b,\frac{N}{k_{3}+1}=c$ ดังนั้น $$\frac{100N}{k_{1}+100}+\frac{10N}{k_{2}+10}+\frac{N}{k_{3}+1}=100a+10b+c=N$$ นำ N หารทั้งสองข้างของสมการจะได้
$$\frac{100}{k_{1}+100}+\frac{10}{k_{2}+10}+\frac{1}{k_{3}+1}=1$$ ซึ่งผมยังไม่ได้หาเลย

[putmusic]

ผมยิ่งอ่านยิ่งงงอ่ะครับ

[tatari/nightmare]

ก็คือถ้าเราหาค่า $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ได้ เราก็(น่า)จะสามารถหาค่า $a,b,c$ ได้แต่ก็ต้องกลับมาเช็คคำตอบด้วย

[Timestopper_STG]

ถ้าผมเข้าใจไม่ผิดคือสำหรับ $a,b,c\in\mathbb{N}$ จะได้ว่ามี $(a,b,c)=(2,3,6)$ เพียงชุดเดียวที่$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$