จำนวนเต็มบวก n ถ้าหลักหน่วยคือเลข 7 ถ้าจำนวนเต็มบวก n นี้มีสมบัติที่ว่า ......

จำนวนเต็มบวก n ถ้าหลักหน่วยคือเลข 7 ถ้าจำนวนเต็มบวก n นี้มีสมบัติที่ว่า เมื่อย้ายหลักหน่วยไปหน้าสุดแล้ว
จำนวนใหม่ที่เกิดขึ้นจะมีค่าเท่ากับ 5n
ถามว่าจำนวนเต็มบวก n ที่มีคุณสมบัติที่ว่านี้
จะต้องเป็นเลขอย่างน้อยกี่หลัก

ตัวอย่างเลขนั้น ตัวหนึ่งคือ
142857 * 5 = 714285

สมมุติเลขตัวนั้นเขียนได้ในรูป a7
a แทนตัวเลขทีมีทั้งสิ้น n หลัก
ดังนั้น a7 จะมีค่าเท่ากับ (10*a) + 7 .......<1>
เมื่อเอาเลข 5 มาคูณ จะมีค่าเหมือนเอาเลขหลักท้ายมาต่อหน้า
ดังนั้นสามารถเขียนจำนวนนี้ได้เป็น 7a
ซึ่งมีค่าเท่ากับ (7*10^n) + a
ดังนั้นจะได้สมการว่า
[(10*a) + 7 ] * 5 = (7 * 10^n) + a
50a + 35 = 7*10^n + a
49a + 35 = 7*10^n ----> 7a + 5 = 10^n
จากสมการข้างต้นสามารถสรุปได้ว่า
10^n - 5 จะต้องถูกหารด้วย 7 ลงตัว
สามารถเขียนในรูป congruence ไดเป็น
10 ^ n = 5 mod 7
3 ^ n = 5 mod 7
3 * 3^n = 3*5 mod 7
3^ (n+1) = 1 mod 7
จากทฤษฎีที่ว่า a ^ p-1 = 1 mod p ; gdc (a,p) = 1 , p=prime
จะได้ว่า 3^ 6k= 1 mod 7 ; k=1,2,3...
แต่โจทย์ต้องการให้หาจำนวนหลักที่ต่ำที่สุด
ดังนั้นเลือก k = 1
เอามาเทียบสมการกันจะได้ n+1 = 6
n = 5
แสดงว่า n มี 5 หลัก ซึ่งเมื่อรวมกับเลข 7 ซึ่งเป็นหลักหน่วยแล้ว
จะมีทั้งสิน 6 หลัก