Nice Ramanujan Infinite Product of Prime number

[Anonymous314]

Prove that
$$\mathop \Pi \limits_p^\infty \left( {{{p^2 + 1} \over {p^2 - 1}}} \right) = 2.5$$
โดยที่ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ 2,3,5,...

[Anonymous314]

ขออนุญาตขุดกระทู้นะครับ รบกวนช่วยหน่อยครับ ใบ้ก็ยังดี

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314

Prove that
$$\mathop \Pi \limits_p^\infty \left( {{{p^2 + 1} \over {p^2 - 1}}} \right) = 2.5$$
โดยที่ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ 2,3,5,...

ไม่แน่ใจว่าจะมีวิธีคิดแบบง่ายๆรึเปล่า ซึ่งผมเดาว่าคงยากน่าดูล่ะ

แต่ถ้าใช้เครื่องมือหนักอย่าง Riemann Zeta function ล่ะก็พอไหว

สูตรสวยๆที่ใช้กันบ่อยสำหรับ Riemann Zeta function คืออันนี้ครับ

$$\displaystyle{\dfrac{1}{\zeta{(s)}}=\prod_{p}^{\infty}(1-p^{-s})}$$

ดังนั้น

$\displaystyle{\prod_p\Big(\dfrac{p^2+1}{p^2-1}\Big)=\prod_p\Big(\dfrac{1+p^{-2}}{1-p^{-2}}\Big)}$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\prod_{p}\Big(\dfrac{1-p^{-4}}{(1-p^{-2})^2}\Big)}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{[\zeta{(2)]^2}}{\zeta{(4)}}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{(\pi^2/6)^2}{\pi^4/90}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{5}{2}$

Note:

1. $\zeta{(2)}=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots = \dfrac{\pi^2}{6}$

2. $\zeta{(4)}=1+\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^4}+\cdots = \dfrac{\pi^4}{90}$

[Anonymous314]

ขอบคุณมากเลยครับ ว่าแต่
$$\displaystyle{\dfrac{1}{\zeta{(s)}}=\prod_{p}^{\infty}(1-p^{-s})}$$
พิสูจน์ยังไงอะครับ ขอลิงค์พิสูจน์หน่อยครับ

[nooonuii]

ดูที่นี่ครับ น่าจะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดแล้ว

Euler Product Formula