My Conjecture

[Anonymous314]

จาก IMO 1992 ข้อที่ 1 ให้หา Solution ทั้งหมดของ
$(a-1)(b-1)(c-1)|abc-1$
เมื่อ $a,b,c \in \mathbb{N}$ ที่ $1<a<b<c$
ได้ว่ามีคำตอบแค่ $(a,b,c)=(2,4,8),(3,5,15)$
สัีงเกตว่า $2\cdot 4=8$ และ $3\cdot 5 = 15 $

และผมได้ดัดแปลงโจทย์ข้อนี้เป็น
จงหา Solution ทั้งหมดของ $a,b,c,d \in \mathbb{N}$ ที่
$(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)|abcd-1$
เมื่อ $a,b,c,d \in \mathbb{N}$ ที่ $1<a<b<c<d$
และผมได้ว่ามีคำตอบคือ $(a,b,c,d)=(2,4,10,80),(3,5,17,255)$ เท่านั้น
สังเกตว่า $2\cdot4\cdot10=80$ และ $3\cdot5\cdot17=255$

My Conjecture :
ผมคิดว่าสมมติ
$(a_1 - 1)(a_2 - 1)...(a_n - 1)|a_1 a_2 ...a_n - 1$
โดยที่ $1 < a_1 < ... < a_n $
เราจะได้ว่า $a_1 a_2 ...a_{n - 1} = a_n $ หรือไม่ ?


ปล. หรือมีรูปทั่วไปในการแก้สมการ $(a_1 - 1)(a_2 - 1)...(a_n - 1)|a_1 a_2 ...a_n - 1$
โดยที่ $1 < a_1 < ... < a_n $
ก็ขอด้วยนะครับ ข้อนี้ผมคิดมาเป็นเดือนยังไม่ออกเลยครับ

[God Phoenix]

อ่า...
ใช้ Induction หรือ Recurrence
จะออกมั้ยครับ

[Anonymous314]

เดี๋ยวผมจะลองดูครับ แต่ในความคิดของผม ท่าทางจะถึกมากเลยครับ

[Anonymous314]

สรุปว่า Conjecture ผมผิดครับ
ผมลอง $n=5$
ได้ Solution ทั้งหมดคือ
$(3,5,17,257,65535)$
$(2,4,10,82,6560)$
$(2,4,10,92,670)$
$(2,4,10,100,422)$
$(2,4,10,112,290)$
ผลคูณไม่จริงครับ มันจริงแต่อันแรก $3\cdot5\cdot17\cdot257=65535$ ครับ
แต่ผมอยากรู้ว่าสมมติ $n\ge6$ จะมีสูตรทั่วไปหาหรือไม่ครับ ที่เกี่ยวกับ Solution ของสมการนี้

[Anonymous314]

ช่วยผมหา Solution ในกรณีที่ $n=6$ หน่อยครับ