ข้อต่อไปครับ

ในการสอบแข่งเลขครั้งหนึ่ง.มีผู้เข้าแข่งขัน 16 คน.
ข้อสอบเป็นแบบ 4 ตัวเลือก
ผู้แข่งต้องตอบโดยห้ามเว้น
ภายหลังการสอบแข่งขัน. พบว่า
ผู้เข้าแข่งขันทุก 2 คนจะเลือกคำตอบเดียวกันอย่างมาก 1 ข้อเสมอ.
ถามว่า ในการสอบครั้งนี้มีจำนวนข้อสอบอบกย่างมากกี่ข้อ.
พิสูจน์ด้วย

ไม่แน่ใจว่าถูกมั้ยนะครับ แต่เป็นค่าขอบเขตบนค่าหนึ่งที่หาได้

ในกรณีทั่วไป สมมติให้มีผู้เข้าแข่งขัน n คน และข้อสอบเป็นแบบ m ตัวเลือก(เพื่อให้ง่าย จะสมมติด้วยว่า m | n หรือ n = k m) ต้องการหาว่า จะมีจำนวนข้อสอบ มากที่สุดได้กี่ข้อ

เนื่องจากข้อสอบที่มี จำนวนข้อมากที่สุดเท่าที่ทำได้ ควรจะทำให้ "ทุกๆ 2 คน ของผู้เข้าแข่งขัน เลือกคำตอบเดียวกันเพียง 1 ข้อ" เสมอ มีผู้เข้าแข่งขัน n คน จึงมี จำนวนคู่ของผู้เข้าแข่งขัน คือ (n C 2) คู่

พิจารณาข้อสอบแต่ละข้อที่ทำ
เนื่องจาก จำนวนผู้เข้าแข่งขันมีมากกว่า จำนวนตัวเลือก( n > m ) ดังนั้นจะมีตัวเลือกที่ มีผู้เข้าแข่งขัน ตอบตรงกันเสมอ จึงมาพิจารณากันต่อที่ จำนวนตัวเลือกที่มี ผู้เข้าแข่งขันตอบตรงกัน

กรณีมีเพียง 1 ตัวเลือกที่มี ผู้ตอบตรงกัน ดังนั้นจะได้จำนวนคู่ของ ผู้เข้าแข่งขันที่ตอบตรงกัน คือ ( (n - m + 1) C 2) คู่
........................ ............................ ........................... ........................... ........................
....................... ............................. ........................... ........................... ........................
....................... ............................. ........................... ........................... ........................
กรณีมีเพียง (n / m) ตัวเลือกที่มี ผู้ตอบตรงกัน ดังนั้นจะได้จำนวนคู่ของ ผู้เข้าแข่งขันที่ตอบตรงกัน คือ m ((n / m) C 2) คู่

หมายเหตุ: เนื่องจาก กรณีอื่นๆที่อยู่ระหว่าง 2 กรณีที่ได้แสดงไว้ จะมีจำนวนคู่ของ ผู้เข้าแข่งขันที่ตอบตรงกัน อยู่ระหว่างค่าที่ได้ของ 2 กรณีนี้ เราจึงพิจารณาเฉพาะ 2 กรณีนี้เท่านั้น

เปรียบเทียบค่าที่ได้ของทั้ง 2 กรณี
เนื่องจาก ( (n - m + 1) C 2) = ( ((k - 1) m + 1) C 2) และ m ((n / m) C 2) = m (k C 2)
จะได้ว่า m ( k C 2) <= ( ((k - 1) m + 1) C 2) ดังนั้น กรณีที่มีเพียง (n / m) ตัวเลือกที่มี ผู้ตอบตรงกัน เป็นวิธีที่ทำให้ ผู้เข้าแข่งขันทุกคน สามารถทำข้อสอบ ได้มากข้อที่สุด

เนื่องจากมีจำนวนคู่ของ ผู้เข้าแข่งขันที่เลือก คำตอบเดียวกันเพียง 1 ข้อ อยู่ (n C 2) คู่ และในแต่ละข้อ จะมีจำนวนคู่ของ ผู้เข้าแข่งขันที่เลือก คำตอบเดียวกัน ที่น้อยที่สุดคือ m ((n / m) C 2) คู่

จึงมีจำนวนข้อสอบได้มากที่สุด คิดเป็น (n C 2) / (m ((n / m) C 2)) ข้อ

จากโจทย์บอกมาว่า มีผู้เข้าแข่งขัน 16 คน และข้อสอบเป็นแบบ 4 ตัวเลือก
ดังนั้น จำนวนคู่ของผู้เข้าแข่งขัน ที่ตอบตรงกันเพียง 1 ข้อคือ (16 C 2) = 120 คู่
แต่ละข้อที่ทำ จะมีจำนวนคู่ของ ผู้เข้าแข่งขัน ที่ตอบตรงกันน้อยที่สุด เมื่อมีเพียง 4 ตัวเลือกที่มี ผู้ตอบตรงกัน คิดเป็น 4 ( 4 C 2) = 24 คู่ (หากจำนวนตัวเลือก ที่มีผู้ตอบตรงกัน น้อยกว่านี้ จะใช้จำนวนคู่ของ ผู้เข้าแข่งขันที่ตอบตรงกัน มากกว่านี้)
เนื่องจากต้องการให้ "ทุกๆ 2 คน ของผู้เข้าแข่งขัน เลือกคำตอบเดียวกันเพียง 1 ข้อ" ดังนั้น คู่ของผู้เข้าแข่งขันที่ตอบซ้ำกัน ในข้อก่อนๆจะไม่มีสิทธิ ตอบซ้ำกันในข้อถัดมา จึงได้ว่า จำนวนข้อสอบที่มากที่สุดคือ 120 / 24 = 5 ข้อ

หมายเหตุ: วิธีคิดดังกล่าวไม่ได้สนใจว่า จะหาวิธีตอบมาได้หรือไม่ แต่เป็นการหา จำนวนข้อสอบที่ไม่สามารถ ทำตามเงื่อนไขได้

พิมพ์ผิดไปบรรทัดหนึ่งคือ
"กรณีมีเพียง (n / m) ตัวเลือกที่มี ผู้ตอบตรงกัน ดังนั้นจะได้จำนวนคู่ของ ผู้เข้าแข่งขันที่ตอบตรงกัน คือ m ((n / m) C 2) คู่ "

แก้เป็น

"กรณีทุกตัวเลือกมี ผู้ตอบตรงกัน(ในแต่ละตัวเลือกจะมีผู้ตอบ (n / m) คน) ดังนั้นจะได้จำนวนคู่ของ ผู้เข้าแข่งขันที่ตอบตรงกัน คือ m ((n / m) C 2) คู่ "