สมการ directric ของวงรี

อยากทราบจังเลยครับว่าสมการ directric ของวงรีมีหรือไม่ , คืออะไร มาจากไหนหาสมการได้อย่างไรช่วยตอบด้วยนะครับ

**** สำหรับวงรีก็มีสมการเส้น Directrix เหมือนกันค่ะ มาดูสมการโดยจะแยกให้เป็นวงรีแบบต่าง ๆ เลยนะคะ

1. สมการขงวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ O(0,0) และแกนยาวคือแกน X
เส้น Di. ขนานแกน Y สมการคือ x = +/- a^2/c (x = บวกลบ เอกำลังสองส่วนซี)

2. สมการขงวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ O(0,0) และแกนยาวคือแกน Y
เส้น Di. ขนานแกน X สมการคือ y = +/- a^2/c (y = บวกลบ เอกำลังสองส่วนซี)

3. สมการขงวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ C(h,k) และแกนยาวขนานแกน X
เส้น Di. ขนานแกน Y สมการคือ x = h +/- a^2/c (x = เอช บวกลบ เอกำลังสองส่วนซี)

4. สมการขงวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ C(h,k) และแกนยาวขนานแกน Y
เส้น Di. ขนานแกน X สมการคือ y = k +/- a^2/c (y = เค บวกลบ เอกำลังสองส่วนซี)

ขอบคุณครับแต่ผมพยายามพิสูจฯ์อยู่หลายครั้งแตไม่สำเร็จซักที
พูดง่ายๆคือไม่รู้ที่มาน่ะครับ

สำหรับที่มาของเส้นไดเรกตริกซ์ของวงรีนั้น ถ้าสงสัยว่ามันมีที่มายังไง อันนี้ก็ต้องกลับไปมองที่ ที่มาของเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลากันก่อน

พาราโบลา กำหนดจากแนวทางเดินของจุดที่ห่างจากจุดโฟกัส และเส้นตรงเส้นหนึ่งเป็นระยะทางที่เท่าๆกัน นั่นก็หมายความว่าเส้นตรงเส้นนี้ เป็นตัวช่วยกำหนดเส้นทางให้มีรูปร่างเป็นพาราโบลาได้ โดยกำหนดให้ระยะทางจากจุดนั้นไปยังจุดโฟกัส และระยะทางจากจุดนั้นไปยังเส้นตรงเท่ากัน

ทีนี้ถ้าเราอยากจะหาเส้นไดเรกตริกซ์สำหรับวงรีบ้างละ มันจะได้ผลออกมายังไง ?
แน่นอนว่าต้องไม่ใช่เส้นตรงที่ทำให้ ระยะทางจากจุดนั้นไปยังจุดโฟกัส และระยะทางจากจุดนั้นไปยังเส้นตรงเท่ากัน เพราะมันจะกลายเป็นพาราโบลานั่นเอง ยิ่งไปกว่านั้นวงรีมีจุดโฟกัส 2 จุดแล้วมันจะไม่ยิ่งยุ่งยากขึ้นไปอีกหรือ ?

ถ้าเราจะพิจารณาหาเส้นไดเรกตริกซ์ของวงรี โดยเลียนมาจากพาราโบลา ก็จะพบว่าเราควรจะเลือกจุดโฟกัส จุดที่อยู่ใกล้เส้นไดเรกตริกซ์มาใช้ เพียงจุดเดียวเท่านั้น และเมื่อพิจารณาแล้วจะได้ว่า ระยะทางจากจุดนั้นไปยังจุดโฟกัส ต้องมีค่าน้อยกว่า ระยะทางจากจุดนั้นไปยังเส้นตรงแน่ๆ (ลองวาดภาพดูก็ได้ เป็นวงรี 1 วง และเส้นตรง 1 เส้นที่อยู่นอกวงรีห่างออกไปไกลๆ และตั้งฉากกับแกนเอกของวงรี ตอนนี้เราสมมติว่า วงรีน่าจะมีเส้นไดเรกตริกซ์ไปก่อน และเราจะพยายามหามันออกมาให้ได้)

สมมติเป็นสมการให้เลยละกันคือ วงรี 1 วงมีสมการคือ (x*x)/(a*a) + (y*y)/(b*b) = 1 โดย a > b และ เส้นตรง 1 เส้นคือ x = d โดยที่ d > a + (a - c)
ระยะจากจุดบนวงรีไปยังจุดโฟกัสคือ sqrt((x-c)^2 + (y*y))
ระยะจากจุดบนวงรีไปยังเส้นตรงคือ d - a

ลองแทนค่าที่จุด (0,b) จะได้ ระยะห่างจากจุดโฟกัสคือ a และ ระยะห่างจากเส้นตรงคือ d
ลองแทนค่าที่จุด (a,0) จะได้ ระยะห่างจากจุดโฟกัสคือ a - c และ ระยะห่างจากเส้นตรงคือ d - a

เนื่องจาก a < d ดังนั้น (a / d) < 1 และเนื่องจาก d > 2a - c ดังนั้น (a - c) / (d - a) < 1 ด้วย และเราสันนิษฐานว่า อัตราส่วนทั้งสองนี้อาจเท่ากันและน้อยกว่า1ได้ เนื่องจากเรารู้มาว่าในกรณีที่เป็นพาราโบลานั้นอัตราส่วนนี้เป็นค่าคงที่ที่เท่ากับ 1 ซึ่งจะได้ว่า
a / d = (a - c) / (d - a)
a*d - a*a = a*d - c*d
a*a - c*d = 0
d = a*a / c
แสดงว่าเราสามารถหา d ที่ทำให้ความสัมพันธ์นี้เป็นจริงได้ที่ 2 จุดข้างต้นแล้ว แต่ยังไม่แน่ใจว่าจะเป็นจริงกับจุดอื่นๆที่เหลือทั้งหมด หรือไม่ ดังนั้น ก็แทนค่านี้ลงไปในความสัมพันธ์
sqrt((x-c)^2 +(y*y)) / (d - x) = a / d ตามที่เราได้สันนิษฐานเอาไว้
ลองไปแทนค่าดูละกัน สุดท้ายจะสรุปได้ว่าค่า d ที่เราหามาได้นี้ยังคงทำให้สมการนี้เป็นจริง ((x*x)/(a*a) + (y*y)/(b*b) = 1) แสดงว่าข้อสันนิษฐานของเราถูกต้อง จึงได้ว่า เส้นไดเรกตริกซ์ของวงรีมีจริง และนิยามจาก เส้นตรงที่ทำให้ อัตราส่วนของ ระยะทางจากจุดบนวงรีไปยังจุดโฟกัส ต่อ ระยะทางจากจุดบนวงรีไปยังเส้นตรงเส้นนั้นเป็นค่าคงที่ที่น้อยกว่า 1***

จากเส้นไดเรกตริกซ์ที่ได้มานี้ทำให้เราอาจ นิยามทางเดินของวงรีได้เป็น ทางเดินของจุดที่ทำให้ ระยะห่างจากจุดนั้นไปยังจุดโฟกัส ต่อ ระยะห่างจากจุดนั้นไปยังเส้นไดเรกตริกซ์ เป็นค่าคงที่ที่น้อยกว่า 1

** เพียงแค่ใช้ จุดโฟกัส 1 จุด และ เส้นไดเรกตริกซ์ 1 เส้น เราก็สามารถสร้างวงรีได้ทั้งวง แต่เนื่องจากวงรีมีความสมมาตร เลยทำให้ได้เส้นไดเรกตริกซ์มา 2 เส้นนั่นเอง