|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Shortlist TMO 2009 มาแล้ว
พอดีได้มาตอนลงทะเบียนเข้าพิธีปิดครับ
A8.จงหาฟังก์ชัน $f$ :$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ทั้งหมดซึ่ง $f(m+f(n))=f(m)+n$ A4.(ข้อสอบจริง)จงหาฟังก์ชัน $f$ :$\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ทั้งหมดซึ่ง $f(xy+2x+2y-1)=f(x)f(y)+f(y)+x-2$ ถ้าว่างๆเดี่วยจะมาลงให้ใหม่ครับ 30 เมษายน 2009 11:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ littledragon |
#2
|
|||
|
|||
ถ้าเป็นไปได้ ข้อที่เป็นข้อสอบจริง ช่วยระบุ เลขที่ข้อกับวันที่สอบ (ก็คือเช่น ข้อ 7 วันแรก อะไรแบบนี้) ได้ไหมครับ? ขอบคุณครับ
A4 นี่ข้อสอบจริงเหรอครับ? มัน... สลับค่า $x,y$ ในโจทย์ ได้ว่า $f(xy+2x+2y-1)=f(x)f(y)+f(x)+y-2$ แต่จากโจทย์ ได้ว่า $f(xy+2x+2y-1)=f(x)f(y)+f(y)+x-2$ $\therefore f(x)+y=f(y)+x$ แทน $y=0$ ได้ว่า $f(x)=x+f(0)$ แทนกลับในสมการโจทย์ได้ว่า $xy+2x+2y-1+f(0)=(x+f(0))(y+f(0))+y+f(0)+x-2$ $2x+2y=(x+y)(f(0)+1)+f(0)^2-1$ $(f(0)-1)(x+y+f(0)+1)=0$ สำหรับทุก $x,y$ ที่เป็นจำนวนเต็ม $\therefore f(0)=1$ $f(x)=x+1$ ตรวจคำตอบ (ขอละ ณ ที่นี้) ได้ว่า $f(x)=x+1$ สอดคล้องสมการดังกล่าวจริง จบครับ EDIT: มาแปะเพิ่มครับ A8 ให้ $f(1)=a$ แทน $m=1$ ลงในสมการโจทย์ ได้ว่า $f(1+f(n))=a+n$ สมมติว่า $f(x)=f(y)$ สำหรับบาง $x,y$ ได้ว่า $1+f(x)=1+f(y)$ $f(1+f(x))=f(1+f(y))$ $a+x=a+y$ $\therefore x=y$ ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แทน $n=1$ ลงในสมการโจทย์ได้ว่า $f(m+a)=f(m)+1$ แทน $m=1$ ได้ว่า $f(a+1)=a+1$ และเราสามารถแสดงได้โดยการอุปนัยว่า $f(ka+1)=a+k$ ทุก $k$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก____(*) สมมติว่า $a\geq 2$ สังเกตว่า มีจำนวนเต็มบวกอนันต์ตัวที่ไม่อยู่ในรูป $ka+1$ (เช่น $ha$ ไม่อยู่ในรูป $ka+1$ สำหรับ $h,k$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ) แต่เนื่องจาก จำนวนเต็มบวกทุกตัวที่มีค่าอย่างน้อย $a+1$ ถูกใช้ไปแล้ว (จาก(*)) และ $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงได้ว่าเราต้องสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่ฝั่งโดเมนมีอนันต์ตัว ไปยังเรนจ์ที่มีจำกัดตัว จึงเกิดข้อขัดแย้ง (ตรงนี้อาจจะงงๆหน่อย ขอโทษทีนะครับ) ดังนั้น $a=1$ และได้ว่า $f(k+1)=k+1$ ทุกจำนวนเต็มบวก $k$ นั่นคือ $f(x)=x$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $x$ ที่มีค่่าอย่างน้อย $2$ และจาก $f(1)=a=1$ ดังนั้น $f(x)=x$ ทุกจำนวนเต็มบวก $x$ ตรวจคำตอบ เห็นได้ชัดว่าฟังก็ชัน $f(x)=x$ สอดคล้องโจทย์ จบครับ
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน 30 เมษายน 2009 13:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ beginner01 เหตุผล: ได้อีกข้อ...+แก้ code |
#3
|
||||
|
||||
รบกวนโพสต์ให้หมดด้วยครับ ผมเองก็อยากเห็น Shortlists TMO 2009 เสียดายที่ไม่มี ThMO แล้่ว
|
#4
|
||||
|
||||
เช่นกันครับๆ อยากเห็น ขอด้วยคนครับ
|
#5
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
คุณ beginner01 เก่งจังครับ แล้วเออ..คุณไม่ได้สอบเหรอครับ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Shortlist TMO2008 | tatari/nightmare | ข้อสอบโอลิมปิก | 29 | 25 เมษายน 2009 12:54 |
APMO 2009!! | tatari/nightmare | ข้อสอบโอลิมปิก | 2 | 17 เมษายน 2009 18:32 |
Inspired from A5, Shortlist 1996 | Spotanus | พีชคณิต | 2 | 15 เมษายน 2009 13:29 |
USA AMC 10 2009 | Platootod | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น | 4 | 17 กุมภาพันธ์ 2009 15:37 |
2009 | Mathephobia | ทฤษฎีจำนวน | 18 | 05 มกราคม 2009 23:51 |
|
|