|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
รบกวนโจทย์พีชคณิตทีครับ
จงแสดงว่า
$p(x)=(x^2+1^2)(x^2+2^2)(x^2+3^3)...(x^2+10^2)+1$ ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของพหุนามสองตัวที่มีสัมประสิทธฺ์เป็นจำนวนเต็มได้ |
#2
|
|||
|
|||
ถ้าหาเหตุผลได้ว่า a+b = a*b จริง แล้วแปลงผลบวกเป็นผลคูณหรือกลับกันกลับผลคูณเป็นผลบวก จัดรูปต่อน่าจะได้เป็นพหุนามคูณกัน 2 สมการก็ทำได้
|
#3
|
|||
|
|||
เยี่ยม!
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
||||
|
||||
งงอะครับ. รบกวนหน่อยนะครับ
|
#5
|
||||
|
||||
ใครทำเป็นรบกวนทีครับ
|
#6
|
||||
|
||||
ตอนผมส่งข้อนี้ไปทำ solution ไม่สมบูรณ์ยังมีอีก case หนึ่งที่ยังคาใจ จึงยังไม่ได้ตอบ
ปล. กำลังจัดการกับสิ่งที่คาใจอยู่ เสร็จแล้วจะโพสให้ ปล.2 แต่ถ้าอยากเห็นแนวคิดเดี๋ยวโพสไว้ให้ก่อนก็ได้ครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#7
|
||||
|
||||
ขอแนวคิดหน่อยครับ(เอาแค่ที่จะทำยังไม่ต้องเป็นsolnก็ได้ครับ)
ขอบคุณครับ ปล.วันนี้สอบFE กับ nt คะแนนเน่าเลยครับ ไว้สอบเสร็จจะเอาโจทลงให้ครับ 03 เมษายน 2012 20:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ polsk133 |
#8
|
||||
|
||||
เสร็จแล้วครับ
แนวคิดคือ สังเกตุว่า $p(x)$ มีดีกรีเท่ากับ $20$ สมมติว่า $p(x)=q(x)r(x)$ โดยที่ $q(x),r(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า $1=p(yi)=q(yi)r(yi)$ สำหรับ $y=\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$ แต่เนื่องจาก $q(x),r(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า $(q(yi),r(yi))=(1,1),(-1,-1),(i,-i),(-i,i)$ ถ้ามี $y_1,y_2$ ซึ่งทำให้ $(q(y_1i),r(y_1i))=(1,1),(-1,-1)$ และ $(q(y_2i),r(y_2i))=(i,-i),(-i,i)$ พิจรณาพหุนาม $q(x)-r(x)$ และ $q(x)+r(x)$ มีดีกรีเท่ากันคือ $max(deg(q(x)),deg(r(x)))$ และ $\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$ เป็นรากของ $q(x)-r(x)$ หรือ $q(x)+r(x)$ ถ้า $max(deg(q(x)),deg(r(x))) >10 $ จะได้ว่า $q(x)-r(x)$ และ $q(x)+r(x)$ มีรากรวมกัน มากกว่า $20$ ขัดแย้งกับ $\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$ เป็นรากของ $q(x)-r(x)$ หรือ $q(x)+r(x)$ ถ้า $max(deg(q(x)),deg(r(x))) <10 $ จะได้ว่า $deg(q(x))+deg(r(x))<20$ ขัดแย้งกับ $p(x)$ มีดีกรีเท่ากับ $20$ ถ้า $max(deg(q(x)),deg(r(x))) = 10 $ สมมติว่าเท่ากับ $deg(q(x))$ จะได้ว่า $deg(r(x))$ ด้วยเพราะ $deg(q(x))+deg(r(x))= 20$ จะได้ว่า $deg(q(x)-r(x))<10=max(deg(q(x)),deg(r(x)))$ ซึ่งขัดแย้งกับ $q(x)-r(x)$ มีดีกรีเท่ากับ $max(deg(q(x)),deg(r(x)))$ ดังนั้นจะได้ว่า $(q(yi),r(yi))=(1,1),(-1,-1)$ หรือ $(q(yi),r(yi))=(i,-i),(-i,i)$ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ถ้า จะได้ว่า $\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$ เป็นรากของ $q(x)-r(x)$ นั่นคือ $deg(q(x)-r(x))=max(deg(q(x)),deg(r(x))=20$ นั่นคือ ไม่ $q(x)$ ก็ $r(x)$ ต้องเป็นค่าคงที่ ซึ่งขัดแย้งกับโจทย์ ถ้า จะได้ว่า $\pm 1,\pm 2, \pm 3,...,\pm 10$ เป็นรากของ $q(x)+r(x)$ นั่นคือ $deg(q(x)+r(x))=max(deg(q(x)),deg(r(x))=20$ นั่นคือ ไม่ $q(x)$ ก็ $r(x)$ ต้องเป็นค่าคงที่ ซึ่งขัดแย้งกับโจทย์ $\therefore $ ไม่มี $q(x),r(x)$ ที่สอดคล้องกับโจทย์ $ \ \ \ \ \ \square$ ปล. เดี๋ยวนี้แก่แล้ว ไม่ค่อยได้ฝึก คิดอะไรช้าลงเยอะเลย =="
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 03 เมษายน 2012 22:51 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#9
|
||||
|
||||
ข้อนี้โหดจังครับ
|
#10
|
||||
|
||||
โจทย์น่าจะเขียนผิดนะ ตรง $3^3$ น่าจะเป็น $3^2$ มากกว่านะครับ
แต่จะแสดงเป็นกรณีทั่วไปเลยนะครับ (เฉลยจาก Mathematical Olympiads 1999-2000 ของ Titu ครับ) อ้างอิง:
สมมติว่ามี $n \ge 2$ ที่ทำให้ $p(x)$ สามารถลดทอนได้เหนือจำนวนเต็มเป็น $p(x)=g(x) \cdot h(x)$ โดยที่ $g(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k$ $h(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_lx^l$ เมื่อ $a_i,b_i \in \mathbb{Z}$ และ $k+l=2n$ สำหรับ $m \in \{ \pm 1, \pm 2, ..., \pm n\}$ พบว่า $(mi)^2+m^2=0$ ดังนั้น $f(mi)=0+1$ $1=g(mi) \cdot h(mi)$ แต่ทั้ง $g,h$ เป็นพหุนามเหนือจำนวนเต็ม สมการข้างต้นจึงบ่งว่า $g(mi),h(mi)$ ต้องมีค่าอยู่ในกลุ่ม $\{ 1,-1,i,-i \}$ สำหรับ $m \not= \pm 1$ เราพบว่าส่วนจินตภาพของ $g(mi)$ คือ $m(a_1-a_3m^2+a_5m^4-\cdots)$ แปลว่าส่วนจินตภาพเป็นจำนวนเท่าของ $m$ ซึ่งจะบังคับให้อยู่ในกลุ่ม $i,-i$ ไม่ได้ ดังนั้น $g(mi)= \pm 1$ และทำให้ $h(mi)= \pm 1$ แสดงว่ามีบางพหุนาม $q$ เหนือจำนวนเต็ม ซึ่งสอดคล้องกับ $g(x)-h(x)=(x^2+2^2)(x^2+3^2) \cdots (x^2+n^2)q(x)$ โดยที่ $q(x)$ มีดีกรีอย่างมากเป็น $1$ กลับมาพิจารณา $(g(i),h(i))$ ที่อยู่ในกลุ่ม $(1,1),(-1,-1),(i,-i),(-i,i)$ สังเกตว่า $2 \ge |g(i)-h(i)| = (2^2-1)(3^2-1) \cdots (n^2-1) |q(i)|$ สำหรับ $n \ge 2$ จึงเป็นไปได้เพียงว่า $|q(i)|=0$ แต่ $q$ มีดีกรีอย่างมากเป็น $1$ แสดงว่าต้องไม่มีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น $q(x)=0$ เท่านั้น ทำให้ $g=h$ ส่งผลให้ $a_0^2=g(0) \cdot h(0) = f(0) = (n!)^2+1$ หรือก็คือ $(a_0+n!)(a_0-n!)=1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น $f$ ไม่สามารถลดทอนได้เหนือจำนวนเต็ม # ปล. ข้อสอบจาก Japanese MO 1999 ปล2. ตอบไม่ทัน LightLucifer
__________________
keep your way.
03 เมษายน 2012 23:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#11
|
||||
|
||||
พรุ่งนี่้ผมต้องเจอแบบนี้หรอครับ TT
โหดมากๆทั้งคู่เลยครับ |
#12
|
|||
|
|||
ข้อนี้อาจจะมีคำตอบได้ แบบว่าเป็นค่าประมาณไงครับ
|
#13
|
|||
|
|||
สุภาษิต สมัยเด็กของผมมีว่า " เชื่อตามครูหมดเป็นหมา เช่น ครูบอกให้ไปตายจะตายไหม ? " เป็นเหตุผลหนึ่งที่ผมตอบแบบเบี่ยงประเด็นออกไปจากคำสั่งของโจทย์
แนวความคิดสมัยที่ผมเริ่มเรียนคณิตศาสตร์ มีอิทธิพลต่อแนวคิดของผมมาก อาจเพราะจำมาเยอะ คำสั่งสอนของอาจารย์ที่ให้ชื่นชมสาขาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ <-- ตรงนี้แหละหากเชื่อและผมถ่ายทอดให้กับเด็กๆ ยุคใหม่ จะเเน่ใจได้อย่างไรว่าสังคมโอบอุ้มเด็กที่เรียนด้วย หากเค้าหลงไหลงงงวยกับที่มาที่ไปที่ไร้ที่สิ้นสุด เป็นการสร้างกรรมหากผมมองนะ แต่อาจมีหลายอย่างที่เราไม่รู้ แต่ผมก็พยายามจะคาดเดาอยู่เรื่อยๆ บางเรื่องก็ปัดทิ้งไป เช่น มองว่าเป็นคำโกหก หรือ ไม่ใช่เรื่องของเราสำหรับวิชาคณิตศาสตร์ทุกเรื่อง แน่นอนมีผู้รู้มากมายต่างจากผม มองได้ชัดเจนกว่าผม จนอาจจะมองว่าผมกล่าว Vage ผมก็ไม่ได้รู้สึกว่าตนเองสับสน แต่คงกล่าวไม่เข้าประเด็นของเค้า เช่น เอาเรื่องคณิตศาสตร์ไปกล่าวกับผู้เชี่ยวชาญที่เป็นวิศวกรชาวอเมริกัน เหมือนกับเค้ารู้ Know How แต่ให้เราสร้าง Know How ใหม่ของตัวเอง ที่ไม่ใช่พื้นฐานจากวิชาวิทยาศาสตร์ เพราะต้องการสร้างสิ่งที่จับต้องได้ บอกไว้เผื่อคนอื่นๆ ที่ตามมาจะได้ไม่หลงทาง |
#14
|
|||
|
|||
ข้อนี้ให้พิสูจน์ว่า รากของสมการ p(x)=0 ไม่เป็นจำนวนเต็มใช่ไหมครับ
__________________
ใช้เวลาว่างศึกษาคณิตเพื่อติวลูก นักเรียนศึกษานารี และทวีธาภิเศก http://www.facebook.com/bpataralertsiri คณิตมัธยมปลาย http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ |
#15
|
||||
|
||||
#14คิดว่าน่าจะไม่ใช่นะครับ และอีกอย่างคือจะเห็นว่าไม่มีจํานวนจริงxที่ทําให้P(x)=0 เพราะP(x)มากกว่า0
|
|
|