![]() |
|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ค้นหา | ข้อความวันนี้ | ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว |
![]() ![]() |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
![]() Prove that $$ lim \ inf \ x_n \ + \ lim \ sup \ y_n \ \leqslant \ lim \ sup(x_n + y_n) \ where \ lim \ inf \ x_n = A \in R \ and \ lim \ sup \ y_n \ =B \in R $$
พิสูจน์ ยังไงดีครับ งง ![]()
__________________
เรื่อยๆ เฉื่อยๆ ![]() |
#2
|
||||
|
||||
![]() ลองมั่ว พิสจน์ดูเอง พอจะโอเคมั้ยอ่ะครับ
![]() $ From \ lim \inf \ x_n \ = \ A \ and \ lim \ sup \ y_n = B$ Let e>0, there exist $ N_1 \ and \ N_2$ such that if $ n\geqslant N_1 $ then $x_n \geqslant A-e/2$ and if $ n \geqslant N_2$ then $ y_n < B+e/2 $ and (*) there are infinitely many $ y_n , n \geqslant N_2$, such that $y_n \geqslant B-e/2$ From (*) construct a subsequence $ y{_n{_k}} $ define by $ y{_n{_k}} = y_n \ if \ y_n \geqslant B-e/2$ Hence if N= max{$N_1,N_2$} and $ n\geqslant N , n_k \geqslant k \geqslant N $ then $ y{_n{_k}} + x_n > A+B - e$ So $ lim \ inf \ (y{_n{_k}} + x_n) \geqslant A+B $ Form the fact that $ lim \ inf \ (y{_n{_k}} + x_n) \leqslant lim \ sup \ (y{_n{_k}} + x_n)$ Hence $$ lim \ sup \ (y{_n{_k}} + x_n) \geqslant A+B$$ Next the expression $ lim \ sup \ (y_n + x_n) \geqslant lim \ sup \ (y{_n{_k}} + x_n) $ will be shown true Notice that every $ n \geqslant N $ such that $ y_n < B-e/2 $ won't be any terms of $y{_n{_k}}$ So when N incerease the terms of $y{_n{_k{_m}}}$ that differ from $ lim \ sup \ y{_n{_k}}$ the least must be eliminated before the correspond term of $ y{_n{_k{_m}}}$ in the sequnce $y_n$. This imply that $ lim \ sup \ (y_n + x_n) \geqslant lim \ sup \ (y{_n{_k}} + x_n) $ Therefore $$lim \ sup \ (y_n + x_n) \geqslant A+B = \ lim \inf \ x_n \ + \ lim \ sup \ y_n$$ ![]() ![]() ![]() ![]()
__________________
เรื่อยๆ เฉื่อยๆ ![]() 31 สิงหาคม 2012 09:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ B บ .... |
#3
|
|||
|
|||
![]()
ผมจำเรื่องนี้ไม่ได้แล้วก็เลยยังไม่แสดงความคิดเห็น แต่บรรทัดนี้คิดว่านิยามของ $y_{n_k}$ ยังกำกวมครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
||||
|
||||
![]() เหมือนกับว่าจะสร้างลำดับย่อย จากบางพจน์ของลำดับเดิมอ่ะครับ(โดยเอาเฉพาะพจน์ของ $ y_n \ ซึ่ง \ y_n \geqslant B-e/2$) ผมก็ว่ามันยังนิยามไม่ค่อยดี แต่ไม่รู้จะนิยามยังไง เพราะ มันสมมติลำดับในรูปทั่วไป เลยไม่รู้สูตร หรือ เทอมที่ n ที่จะมาใช้เขียนความสัมพันธ์เลย ยังไงก็รบกวนผู้รู้ช่วยดูให้นิดนึงครับ ตอนนี้ตันมาก งง
__________________
เรื่อยๆ เฉื่อยๆ ![]() 31 สิงหาคม 2012 16:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ B บ .... |
#5
|
||||
|
||||
![]() ![]() ![]() ![]()
__________________
เรื่อยๆ เฉื่อยๆ ![]() |
#6
|
||||
|
||||
![]() ![]() ![]()
__________________
เรื่อยๆ เฉื่อยๆ ![]() |
#7
|
|||
|
|||
![]() ทิ้งนิยามให้หน่อยครับ
|
#8
|
||||
|
||||
![]() พอเข้าใจไอเดียแหละครับ ว่ามันเลิอกลำดับย่อยได้
แต่ตอนเอามาใช้มันดูวุ่นวายมากอยู่ อย่าง $ lim inf (y_{n_k}+ x_n) \leq lim sup (y_{n_k}+x_n) $ มันจะแหม่งๆเพราะ index มันจะเริ่มงง วิธีที่ผมแนะนำ น่าจะใช้นิยามของ lim sup แบบว่ามันคือลิมิตของ sup ไปเลย เช่น ให้ $B_m = \sup_{n >m} y_n$ ตามนิยามเราก็จะได้ลิมิตของ $B_m$ คือ $B$ แล้วก็นิยาม $A_m$ คล้ายๆกัน สิ่งที่จะสนใจคือ lim sup ของ $x_n + y_n$ ดังนั้นเราเลยต้องดู $C_m = \sup_{n >m} (x_n + y_n ) $ สำหรับ $n>m$ เราจะได้ $x_n + y_n \geq ( \inf_{n >m} x_n ) + y_n = A_m + y_n $ $A_m$ ไม่ขึ้นกับ $n$ แล้วเลยได้ $C_m \geq A_m + \sup_{n >m} y_n = A_m + B_m$ แล้วก็น่าจะจบครับ |
#9
|
||||
|
||||
![]() ![]() ![]() ปล. ผมเปลี่ยนพิสูจน์(มั่วเอง รอบ 2 เป็น แบบนี้ครับ) จากของเดิมนะครับ ไม่มีลำดับย่อยแล้ว เพราะ งง ลำดับย่อยเอง -*- เลยจากบรรทัดต่อจาก บรรทัดต่อไปนี้ จะมี infinitely many $y_n \ such \ that \ y_n >= B-e/2$ ต่อจากนั้น เปลี่ยนเป็น อย่างนี้แทน $Let \ N = \ max\{N_1,N_2\}$ so if $n_0 >= N \ then \ x_{n{_0}} + y_{n{_0}} >= A+B-e$ Because $y_n >= B-e/2$ are infinitely many so for all natural number N there must be some $y_{n^*} >= b-e/2 \ for\ some \ n^* >=N$ so for all $n_0>= N$ $$Sup \{x_n + y_n|n>= n_0\} >= x_{n{_0}} + y_{n{_0}} >= A+B-e$$ *Hence lim sup $(x_n + y_n) >= A+B-e$ for all positive real number e *It can be concluded that lim sup $(x_n + y_n) >= A+B $ ที่ * ไว้ คือ ลองวาดรูปคร่าวๆของลำดับ ดู แล้วสรุป(มั่วเอง) โดยไร้ทฤษฎีรองรับ ครับ -*- คาดว่าคงผิด ขอบคุณ คุณ Analist มากๆๆครับ แต่พอดีมันไม่มีเวลาทำความเข้าใจวิธีที่แนะนำมาอ่ะครับ จะก็อปไปส่งก็กลัวเค้าถามแล้ว ตอบไม่ได้ T T ถ้าส่งแล้วอาจารย์ให้แก้ไปส่งใหม่ จะลองทำความเข้าใจที่แนะนำมาดูครับ ถ้า งงมากๆ จะมาถามต่อครับ ขอบคุณมากๆๆๆ ครับ
__________________
เรื่อยๆ เฉื่อยๆ ![]() 10 กันยายน 2012 19:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 23 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ B บ .... |
#10
|
||||
|
||||
![]() ดีแล้วครับ นิยามใหม่ๆต้องใช้เวลาคุ้นเคยกับมัน ถ้ามีตัวอย่างหรือหลายมุมมองมันก็จะช่วยด้วย
ที่ทำข้างบนนี่คร่าวๆแล้วถูกนะครับ แต่อาจต้องเกลาตรง quantifier นิดหน่อย เริ่มแรกตรง * นี่เป็นข้อสรุปที่ถูกทั้งคู่ครับ อันแรกเป็นตามนิยาม อันสองเป็นทริกสำคัญใน Analysis อย่างนึง Terrene Tao เรียกว่า give yourself a room of epsilon คือเวลาจะพิสูจน์ $C \geq D $ ถ้าตรงๆไม่ได้ให้พิสูจน์ $C > D - \epsilon $ for all $\epsilon > 0$ แทน (ลองคิดดูว่าทำไมมันก็ต่อเมื่อกัน) ส่วนนิยาม lim sup มันคือดูหางของลำดับ ก็คือ $x_n $ ที่ $n > m$ เทค sup ของเซตนี้ แล้วก็เทคลิมิต $m \rightarrow \infty$ แนะนำให้ดูรูปบนวิกิ http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_s...limit_inferior ลองทำความเข้าใจนิยามนี้กับนิยาม $\epsilon$ ดูนะครับ |
#11
|
||||
|
||||
![]() ขอบคุณมากครับ ^ ^
__________________
เรื่อยๆ เฉื่อยๆ ![]() |
#12
|
|||
|
|||
![]() คณิตศาสตร์ที่ขึ้นกับแนวโน้นในวิชาแคลคูลัสนี้ อาศัยความจำไม่น้อย ความรู้ทั้งตอนเริ่ม และ ความรู้ตอนสรุป แล้วแต่จะเปรียบเทียบกับอะไรก็ด้วย
ผมคิดว่าต้องเจอปัญหาจริงก่อน แล้วค่อยมาคิดตามกระบวนการของคณิตศาสตร์ แม้วิชาอื่นอย่างเคมี ฟิสิกส์จะเน้นผลสรุปเป็นขั้นๆ มากกว่า แต่สุดท้ายก็คงคล้ายๆ กัน ประโยชน์ก็อาจจะมีด้านตรงกันข้ามกันก็เป็นได้ ไม่ตรงกันก้เป็นได้ สูตรที่มีรูปลักษณะยุ่งยาก ซับซ้อน มักจะใช้คอมพิวเตอร์ช่วย/ใช้ คิดกัน |
![]() ![]() |
![]() |
||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
limit ตรีโกณครับทำไม่ได้ | Kurosaki | Calculus and Analysis | 1 | 24 มิถุนายน 2011 21:55 |
Limit | Influenza_Mathematics | Calculus and Analysis | 13 | 25 เมษายน 2011 18:02 |
งง เรื่อง limit นิดหน่อยครับ | A.DreN@l_ine | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 14 | 24 เมษายน 2011 18:09 |
limit | MirRor | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 6 | 09 เมษายน 2011 11:00 |
ถามเรื่อง Limit | Influenza_Mathematics | Calculus and Analysis | 7 | 13 มีนาคม 2011 22:17 |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|