![]() |
|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ค้นหา | ข้อความวันนี้ | ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว |
![]() ![]() |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
![]() 1. ถ้า $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $4ab-1|4a^2-1$ แล้ว $a=b$
2.จงแสดงว่าสำหรับจำนวนเต็มบวก $m,n$ ใดๆ จะไม่มี$(m,n)$ ที่ทำให้ $4mn-m-n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ |
#2
|
||||
|
||||
![]() โจทย์ข้อ 1 เป็น IMO 2007 ข้อ 5 ครับ
แต่ต้องเป็น $4ab-1 \mid (4a^2-1)^2$ มีกำลังสองด้วย
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#3
|
||||
|
||||
![]() 2 ::
Lemma ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ $n \in \mathbb{N}$ ถ้า $p \equiv 3 \pmod 4$ แล้ว $p \nmid (n^2+1)$ Let $p=4k+3$ and $p \ | \ (n^2+1)$ FLT; $n^{4k+3} \equiv n \pmod p$ $n^{4k+4} \equiv n^2 \pmod p$ จาก $p \ | \ (n^2+1)$ $p \ | \ (n^4-1)$ $n^{4k+4} \equiv 1 \pmod p$ $\therefore n^2 \equiv 1 \pmod p$ ซึ่งไปแทนค่ากลับจะขัดแย้งกับ $p=4k+3$ and $p \ | \ (n^2+1)$ สมมติมี $a,b,k \in \mathbb{N}$ ซึ่ง $4ab-a-b=k^2$ จัด... $(4a-1)(4b-1)=(2k)^2+1$ โดย Lemma ถ้ามี prime $p$ ซึ่ง $p \ | \ (4a-1)(4b-1)$ แล้ว $p=2$ หรือ $p \equiv 1 \pmod 4$ Its clear that $p \not= 2$ จำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดซึ่งหาร $(4a-1)(4b-1)$ ลงตัวต้องสอดคล้องกับ $p \equiv 1 \pmod 4$ ส่งผลให้จำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดซึ่งหาร $4a-1$ ลงตัวต้องสอดคล้องกับ $p \equiv 1 \pmod 4$ ด้วย $\because 4a-1 \not= 1$ $4a-1$ เขียนได้ในรูปผลคูณจำนวนเฉพาะ $p$ ซึ่ง $p \equiv 1 \pmod 4$ $4a-1 \equiv 1 \pmod 4$ ...ซึ่งขัดแย้ง จึงไม่มี $(m,n)$ ซึ่ง $4mn-m-n$ is a perfect square Q.E.D
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 02 ธันวาคม 2012 11:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#4
|
||||
|
||||
![]() ขอโทษนะครับ ผมไม่เข้าใจครับTT"
__________________
ขอปลอบใจตัวเองหน่อยนะครับ: เอาน่า..นี่แค่สนามเดียว,ถือว่าฟาดเคราะห์ละกัน สนามหน้าต้องดีแน่[เคราะห์โดนฟาดไปเกลี้ยงแล้วนี่นา ![]() สู้ๆ ![]() ![]() ![]() |
#5
|
||||
|
||||
![]() คุณ Thgx เก่งจังอ่ะครับ
![]() ข้อเเรกตอนนี้ได้เเค่ว่า $p|a-b$ เองอ่ะครับ (ซึ่งผมสมมุติว่า $p|4ab-1$) เเล้วมันก็ติดไปติดมา 555 ช่วย Hint หน่อยครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#6
|
||||
|
||||
![]() 1.พิสูจน์ว่า $4ab-1 \mid (4a^2-1)^2$ ก็ต่อเมื่อ $4ab-1 \mid (a-b)^2$ (พิสูจน์ทั้งไปและกลับ)
2.สมมติ $a,b$ ไม่เท่ากัน 3.$S=\left\{\,(x,y) | x,y \in \mathbb{N} \wedge \frac{(x-y)^2}{4xy-1}=k \right\}$ และ $(a,b) \in S$ 4.$T=\left\{\,x+y | (x,y) \in S\right\}$ 5.$S,T$ ไม่เป็นเซตว่าง 6.$T$ มีสมาชิกน้อยสุด ให้ $(A,B) \in S$ สมมติ $A+B$ เป็นสมาชิกน้อยสุด WLOG $A > B$ 7.จาก 3 ได้ $\frac{(x-B)^2}{4xB-1}=k$ จะได้ $x^2-(2B+4kB)x+B^2+k=0$ สมมติให้มีรากเป็น $s,t$ และ $s \geq t$ 8. ใช้ความสัมพันธ์ของราก-สัมประสิทธิ์ $s+t=... , st=...$ และ $(s,B),(t,B) \in S$ 9. $(A,B) \in S$ จะได้ $\frac{(A-B)^2}{4AB-1}=k$ ได้ $A$ เป็นราก $x^2-(2B+4kB)x+B^2+k=0$ 10. จะได้ $A=s$ หรือ $A=t$ ซึ่งพิสูจน์ต่อว่าเป็นไปไม่ได้ (ใช้ความที่ $A+B$ น้อยสุดมาหาข้อขัดแย้งครับ) Cr. อ.ดำรง ![]()
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#7
|
||||
|
||||
![]() 1. ขอบคุณ คุณ Kheelzver คีย์ของอันนี้น่าจะเป็นหาข้อขัดแย้งที่บอกว่ามีค่าน้อยสุดแหละครับ
![]() วิธีผมนะ เราต้องพิสูจน์ให้ได้ก่อนเลยว่า $4ab-1|(4b^2-1)^2$ ลงตัวเหมือนกัน คราวนี้ลองสมมุติ 2 กรณีคือ $a>b,b>a$ แล้วใช้ข้อขัดแย้งที่คุณ Kheelzver บอกมาครับ คาราวะเลยครับ |
![]() ![]() |
![]() |
||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Number | Thgx0312555 | ทฤษฎีจำนวน | 9 | 14 กรกฎาคม 2012 14:15 |
Fun With Prime Number | คusักคณิm | ปัญหาคณิตศาสตร์ ประถมปลาย | 8 | 29 มกราคม 2010 12:19 |
ช่วยหน่อยคับ Number Theory | SoLuTioN | ทฤษฎีจำนวน | 1 | 24 ธันวาคม 2009 19:21 |
Number ที่คิดไม่ออก | tatari/nightmare | ทฤษฎีจำนวน | 20 | 26 กันยายน 2008 21:21 |
เกี่ยวกับ Number | tatari/nightmare | ทฤษฎีจำนวน | 3 | 12 กันยายน 2007 22:12 |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|