![]() |
|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ค้นหา | ข้อความวันนี้ | ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว |
![]() ![]() |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
![]() 1.จงแแสดงว่า $561\mid (2^{561}-2)$ และ $561\mid (3^{561}-3)$
2.ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p>5$ จงพิสูจน์ว่า จะมีสมาชิกในลำดับ $9,99,999,...$ เป็นจำนวนไม่จำกัดที่มี $p$ เป็นตัวหาร 3.ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงพิสูจน์ว่า $(p-1)!+1=p^k$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$ บางตัว ก็ต่อเมื่อ $p=2,3$ หรือ $5$ 4.จงพิสูจน์ว่า $(p-1)!\equiv (p-1)(mod$ $1+2+3+?+(p-1))$ เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ 5.ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะและ $h+k = p-1$ เมื่อ $h\geqslant 0$ และ $k\geqslant 0 $ จงพิสูจน์ว่า $h!k!+(-1)^h\equiv 0(mod$ $p)$ ![]() ![]() ![]() 06 กันยายน 2014 20:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ pont494 |
#2
|
||||
|
||||
![]() ข้อ 2 $a_{n}=10^n-1$
เมื่อ $p>5$ $gcd(10,p)=1,10^{p-1} \equiv 1\pmod{p} $ เลือก $n=p-1$
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. |
#3
|
||||
|
||||
![]() ผมทำวิธีทำการลดรูปลงไปเรื่อยๆ......ดังนี้ครับ
$561|2^{561}-2$ $561|(2^{9})^{62}(2^{3})-2$ $561|(-49)^{62}(8)-2$..............[561 หาร $2^{9}$ เสมือนได้เศษ $(-49)$] $561|(49)^{62}(8)-2$ $561|(49^{2})^{31}(8)-2$ $561|(157)^{31}(8)-2$..............[561 หาร $49^{2}$ ได้เศษ $157$] $561|(157^{2})^{15}(157)(8)-2$ $561|(-35)^{15}(1256)-2$...........[561 หาร $157^{2}$ เสมือนได้เศษ $(-35)$] $561|-(35^{3})^{5}(1256)-2$ $561|-(239)^{5}(134)-2$............[561 หาร $35^{3}$ ได้เศษ $239$ และ 561 หาร $1256$ ได้เศษ $134$] $561|-(239^{2})^2(239)(134)-2$ $561|-(-101)^{2}(49)-2$............[561 หาร $239^{2}$ เสมือนได้เศษ $(-101)$ และ 561 หาร $(239)(134)$ ได้เศษ $49$] $561|-(101)^{2}(49)-2$ $561|-(103)(49)-2$...........[561 หาร $101^{2}$ ได้เศษ $103$] $561|(-5049)$............ได้ $(-9)$ ลงตัว แสดงว่า..........$561|2^{561}-2$.......จริง 20 พฤศจิกายน 2014 20:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm |
#4
|
||||
|
||||
![]() ข้อ 4 ทำแบบนี้ได้หรือปล่าวครับ
1.กรณี $p=2$ แสดงได้โดยไม่ยาก 2.กรณี $p>2$ จะได้ว่า $2\nmid p$ จะได้ว่า $2 \mid p-1$ $(p-1)!\equiv p-1 \pmod{\frac{p(p-1)}{2}}$ เพราะว่า $gcd(p,\frac{p-1}{2})=1$ ดังนั้น $p,\frac{p-1}{2}$ ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน $(p-1)!-(p-1)\equiv 0\pmod{\frac{p(p-1)}{2}}$ $(p-1)((p-2)!-1) \equiv 0\pmod{\frac{p(p-1)}{2}}$ เห็นได้ชัดว่า $\frac{p-1}{2}\mid p-1$ และ จะแสดงว่า $(p-2)!-1 \equiv 0 \pmod{p}$ จาก Wilson's Theorem $(p-1)!\equiv -1 \pmod{p}$ $(p-1)!\equiv p-1 \pmod{p}$ $(p-1)!-(p-1)\equiv 0 \pmod{p}$ $(p-1)((p-2)!-1) \equiv 0\pmod{p}$ เพราะว่า $p \nmid p-1$ จะได้ว่า $p\mid (p-2)!-1$ ดังนั้น $(p-2)!-1 \equiv 0 \pmod{p}$
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. |
#5
|
||||
|
||||
![]() ข้อ 1 ต้องใช้ความรู้เรื่อง Fermat's little theorem ครับ (สามารถศึกษาได้ในหนังสือ สอวน. ครับ)
จาก $(3,2) = 1$ โดย Fermat's little theorem ได้ว่า $2^{3-1} \equiv 1 ( mod 3 )$ $2^{2} \equiv 1 ( mod 3 )$ $\therefore 2^{560} \equiv 1 ( mod 3 )$ $\therefore 2^{561} \equiv 2 ( mod 3 )$ $--- (1)$ จาก $(11,2) = 1$ โดย Fermat's little theorem ได้ว่า $2^{11-1} \equiv 1 ( mod 11 )$ $2^{10} \equiv 1 ( mod 11 )$ $\therefore 2^{560} \equiv 1 ( mod 11 )$ $\therefore 2^{561} \equiv 2 ( mod 11 )$ $--- (2)$ จาก $(17,2) = 1$ โดย Fermat's little theorem ได้ว่า $2^{17-1} \equiv 1 ( mod 17 )$ $2^{16} \equiv 1 ( mod 17 )$ $\therefore 2^{560} \equiv 1 ( mod 17 )$ $\therefore 2^{561} \equiv 2 ( mod 17 )$ $--- (3)$ จาก $(1) , (2) , (3)$ $\therefore 2^{561} \equiv 2 ( mod [3 , 11 , 17] )$ $\therefore 2^{561} \equiv 2 ( mod 561 )$ สรุปได้ว่า $561 \left|\,\right. 2^{561} - 2$ จาก $3 \left|\,\right. 3(3^{560} - 1) = 3^{561} - 3$ $\therefore 3^{561} \equiv 3 ( mod 3 )$ $--- (4)$ จาก $(11,3) = 1$ โดย Fermat's little theorem ได้ว่า $3^{11-1} \equiv 1 ( mod 11 )$ $3^{10} \equiv 1 ( mod 11 )$ $\therefore 3^{560} \equiv 1 ( mod 11 )$ $\therefore 3^{561} \equiv 3 ( mod 11 )$ $--- (5)$ จาก $(17,3) = 1$ โดย Fermat's little theorem ได้ว่า $3^{17-1} \equiv 1 ( mod 17 )$ $3^{16} \equiv 1 ( mod 17 )$ $\therefore 3^{560} \equiv 1 ( mod 17 )$ $\therefore 3^{561} \equiv 3 ( mod 17 )$ $--- (6)$ จาก $(4) , (5) , (6)$ $\therefore 3^{561} \equiv 3 ( mod [3 , 11 , 17] )$ $\therefore 3^{561} \equiv 3 ( mod 561 )$ สรุปได้ว่า $561 \left|\,\right. 3^{561} - 3$
__________________
กระผมเป็นเพียงแค่เด็กธรรมดาๆคนหนึ่ง.....ก็เท่านั้นเอง 09 ธันวาคม 2014 10:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ mathwarrior |
#6
|
||||
|
||||
![]() อ้างอิง:
จำนวน 561 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะค่ะ สวัสดีค่ะ |
#7
|
||||
|
||||
![]() อ้างอิง:
![]() เริ่มจาก Wilson's theorem ดูครับ $$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$$ ซึ่งตรงนี้เราแตกออกมาเป็นสองก้อน $$\Big[ (p-1)(p-2) \cdots (k+1) \Big] \cdot k! \equiv -1 \pmod{p}$$ ซึ่ง $p-1 \equiv -1 \pmod{p}$ และตัวอื่นๆก็เช่นกัน จึงได้ว่า $$\Big[ (-1)(-2) \cdots (-p+(k+1)) \Big] \cdot k! \equiv -1 \pmod{p}$$ เราก็จะได้ว่าในวงเล็บก้ามปู ตัวสุดท้ายคือ $-h$ นั่นเอง แสดงว่าในวงเล็บคือ $(-1)^{h} \cdot h!$ ดังนั้น $$(-1)^{h} \cdot h!k! \equiv -1 \pmod{p}$$ ซึ่งสามารถจัดรูป และสมมูลกับสิ่งที่โจทย์ต้องการครับ หมายเหตุ : เนื่องจาก $h+k=p-1$ ซึ่งเป็นเลขคู่ ดังนั้นตัวยกกำลังของ -1 จะเป็น h หรือ k ก็ได้ครับ มีค่าเท่ากัน |
![]() ![]() |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|