Mathcenter Contest Round 1 Matayom Longlist

[nongtum]

ระดับมัธยม

(โจทย์แยกตามผู้เสนอโจทย์)
ข้อที่ใช้แข่งขัน ข้อ 1,2,3,6,7,10,12,13
โจทย์ระดับโอลิมปิกของคุณ Mathophile 1 ข้อได้รับเลือกไปใช้ในครั้งถัดไปครับ

Top
1. ศาสตราจารย์สติเฟื่องท่านหนึ่ง เดินขึ้นบันไดเลื่อนในห้างพันธุ์ทิพย์ ด้วยความเร็วคงที่ 1 ขั้นบันไดเลื่อนต่อวินาที เมื่อท่านเดินถึงบันไดเลื่อนชั้นบนสุด ก็นึกขึ้นได้ว่าลืมบัตร ATM ที่เพิ่งเบิกเงินสดไว้ในตู้ ATM ชั้นล่าง บังเอิญช่วงเวลานั้น ยังไม่มีใครขึ้นบันไดเลื่อน ท่านจึงตัดสินใจวิ่งย้อนลงบันไดเลื่อน ด้วยความเร็วคงที่ 3 ขั้นบันไดเลื่อนต่อวินาที เมื่อท่านเก็บบัตร ATM ได้แล้ว ก็เกิดอาการสนุกลองเดินขึ้น และวิ่งลงบันไดเลื่อนแบบเดิมอีกครั้ง แต่คราวนี้ท่านสังเกตว่า ในขาขึ้นท่านเดินผ่านขั้นบันไดเลื่อน 18 ขั้น และในขาลงท่านวิ่งผ่านขั้นบันไดเลื่อน 90 ขั้น อยากทราบว่า ณ เวลาหนึ่ง เรามองเห็นขั้นบันไดเลื่อนกี่ขั้น ?
ที่มา: Problem Solving Through Recreational Mathematics

2. O N E T W X เป็นเลขโดดที่แตกต่างกันทั้งหมด จงหาเลขฐานทั้งหมดซึ่งทำให้ การบวกต่อไปนี้มีผลเฉลยเพียงหนึ่งเดียว
\[\begin{array}{c}
\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{O} & \rm{N} & \rm{E} & _+ \end{array} \\
\underline{\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{T} & \rm{W} & \rm{O} & \;\;\end{array}} \\
\underline{\underline{\begin{array}{rrrrr}\rm{N} & \rm{E} & \rm{X} & \rm{T} & \;\end{array}}}
\end{array}\]
ที่มา: Problem Solving Through Recreational Mathematics

passer-by
3. $ A , B $ เป็นจุดบนวงกลม โดยมีพิกัด $ (-16,-9) $ และ $ (20 ,18)$ ตามลำดับ
$C$ เป็นจุดบน $AB$ โดย $ AC : CB = 4 :5 $
ถ้า $ D, E $ เป็นจุดบนวงกลมโดย $ DC > CE $ และ $D, C, E $ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน หาระยะ $ DC $ เมื่อ $ DC^2+ CE^2 = 5000 $

4. สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC
พิสูจน์ว่า $ 2\cos A \cos B \cos C \geq \cos A \cos B +\cos B \cos C+ \cos A \cos C - \frac{1}{2}$

nooonuii
5. จงหาจำนวนเต็มบวก $a< b< c$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ $$2^a+2^b+2^c=33554466$$
(แต่งโจทย์เอง)

6. จงหาจำนวนจริง $x,y$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ
$$\displaystyle{x=\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2y}}}}$$
$$\displaystyle{y=\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2x}}}}$$
(แต่งโจทย์เอง)

Mathophile
7. จงบอกวิธีสร้าง (พร้อมพิสูจน์) วงกลมที่มีพื้นที่เป็น 1 ใน 3 ของวงกลมที่กำหนดให้ โดยใช้เพียงวงเวียนและสันตรง

Aorn
8. จำนวนเชิงซ้อน $z=1-\frac{\sqrt3}{2}i$ จงหาค่าของ $z^5$ และตำแหน่งของ $z^5$ ในระบบพิกัดฉาก
ที่มา: http://www.thai-mathpaper.net/papers_offline.php

Gon
9. จงพิสูจน์ว่า $\sin \frac{2\pi}{15} + \sin \frac{4\pi}{15} + \sin \frac{8\pi}{15} + \sin \frac{16\pi}{15} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Heir of Ramanujan
10. กำหนดให้ $\log_{10} 2 \approx 0.3010, \log_{10} 3 \approx 0.4771, \log_{10} 5 \approx 0.6990$ และ $\log_{10} 7 \approx 0.8451$
จงหาค่าของเลขโดดหลักซ้ายมือสุดของ $5^{200}$ เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน $10$
ที่มา: http://www.artofproblemsolving.com/F...c.php?t=198870

หยินหยาง
11. กำหนดสมการ $log_x36 +log_{18}(3x) = 3$ จงหาค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้

12. จากรูป จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยม PQRS โดยที่สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉากและมีความยาวแต่ละด้านดังรูป โดยมีหน่วยเป็นเซนติเมตร


Timestopper_STG
13. จงหาค่าของ $\displaystyle{\cos^{2}71^{o}+\cos^{2}79^{o}+\sqrt{3}\cos 71^{o}\cos 79^{o}}$
แนวคิดในการแต่งโจทย์มาจากกระทู้ http://www.vcharkarn.com/vcafe/142502 ข้อ 55

14. กำหนดให้โลกใช้เวลาในการโคจรรอบดวงอาทิตย์ 365 วันและดาวพุธโคจรรอบดวงอาทิตย์ใช้เวลา 88 วัน
ถามว่าดวงอาทิตย์ ดาวพุธ และ โลกจะอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันทุก ๆ กี่วัน(ตอบเป็นจำนวนเต็ม)
(ให้ประมาณว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เป็นวงกลมแทนที่จะเป็นวงรี)

[Heir of Ramanujan]

10.

My Solution

$\log_{10} 5^{200} = 200\,\log_{10} 5 \approx 200(0.6990) = 139.8$
จะได้ $5^{200} \approx 10^{139.8} = 10^{0.8} \times 10^{139}$
เนื่องจาก $1 < 10^{0.8} < 10$
เลขโดดหลักซ้ายมือสุดของ $5^{200}$ คือ เลขหลักหน่วยของ $10^{0.8}$ (เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน $10$)
เนื่องจาก $\log_{10} 6 = \log_{10} 3 + \log_{10} 2 \approx 0.7781$
และ $log_{10} 7 \approx 0.8451$
และ $0.7781 < 0.8 < 0.8451$
แสดงว่า $10^{0.7781} < 10^{0.8} < 10^{0.8451}$
$10^{\log_{10} 6} < 10^{0.8} < 10^{\log_{10} 7}$
นั่นคือ $6 < 10^{0.8} < 7$
เลขหลักหน่วยของ $10^{0.8}$ คือ $6$
ดังนั้น เลขโดดหลักซ้ายมือสุดของ $5^{200}$ คือ $6$

ป.ล. ไม่มีใครเข้ามาเฉลยเลย อย่างน้อยเจ้าของโจทย์เข้ามาเฉลยวิธีของตัวเองซะหน่อยก็ยังดีนะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Heir of Ramanujan

ป.ล. ไม่มีใครเข้ามาเฉลยเลย อย่างน้อยเจ้าของโจทย์เข้ามาเฉลยวิธีของตัวเองซะหน่อยก็ยังดีนะครับ

จัดให้ครับ ขอทยอยทำนะครับ
ข้อ 1.

my solution

ให้ n แทนจำนวนขั้นของขั้นบันไดเลื่อน, และ v แทนความเร็วของบันไดเลื่อน
จากโจทย์ทีกำหนดให้ ความเร็วที่ใช้ขึ้นบันไดเลื่อน 1 ขั้น/วินาที และในขาขึ้นเดินผ่านขั้นบันไดเลื่อน 18 ขั้นดังนั้นใช้เวลา 18 วินาที สำหรับขาลงใช้ความเร็วคงที่ 3 ขั้นบันไดเลื่อนต่อวินาที แต่ผ่านขั้นบันไดเลื่อน 90 ขั้นแสดงว่าใช้เวลา 30 วินาที จากการวิเคราะห์โจทย์ข้างต้นจะสามารถตั้งเป็นสมการได้ดังนี้
$18v+18=n .................(1)$
$90-30v=n ..................(2)$
จะเห็นว่าสมการ (1)= สมการ (2) แก้สมการได้ $v = \frac{3}{2}$ ขั้นต่อวินาที
นำ $v = \frac{3}{2}$ ขั้นต่อวินาที ไปแทนลงในสมการที่ (1) เพื่อหา $n$ จะได้ว่า $n=45$

เพราะฉะนั้น ณ เวลาหนึ่ง เรามองเห็นขั้นบันไดเลื่อนทั้งหมด 45 ขั้น

ข้อ 3.

my solution

วิธีทำ
จากสิ่งที่โจทย์กำหนดจะได้ว่าระยะของ $AB =\sqrt{((20-(-16))^2+((18-(-9))^2} = 45$
จากโจทย์ที่กำหนด $AC:CB=4:5 $ ทำให้ได้ว่าระยะ $AC=20;CB=25$
สมมุติให้จุด $C$ มีโคออร์ดิเนต $(h,k)$ สามารถหาจุด $(h,k)$ ได้โดย
$AC = \sqrt{(h+16)^2+(k+9)^2} = 20 .............(1)$
$CB = \sqrt{(20-h)^2+(18-k)^2} = 25 .............(2)$
แก้สมการหา$ (h,k)$ ได้ $(0,3)$
จากทบ.เรขาคณิตที่กล่าวไว้ว่า คอร์ด 2 คอร์ดตัดกันภายในวงกลมพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ประกอบด้วยส่วนตัดของคอร์ดย่อมเท่ากัน นั่นคือ
$(AC)(CB)=(DC)(CE) $
$2(AC)(CB)=2(DC)(CE)=2(20)(25)=1000 $
โจทย์กำหนดว่า$ DC>CE$ และ $DC^2+CE^2=5000$
เพราะฉะนั้น$(DC+CE)^2=6000$ และ $(DC-CE)^2=4000$
จากเงื่อนไขโจทย์ แก้สมการข้างต้นทำให้ได้ว่า $DC =10( \sqrt{15}+\sqrt{10})$ และ $EC =10( \sqrt{15}-\sqrt{10})$
ดังนั้น $DC =10( \sqrt{15}+\sqrt{10})$

ข้อ 6.

my solution

วิธีทำ
${x=\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2y}}}}..........(1)$
${y=\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2x}}}}..........(2)$
นำค่าของ y ในสมการที่(2) แทนลงในสมการที่ (1) ตรงพจน์หลังและต่อจากนั้นก็นำค่าของ x แทนต่อสลับไปมาเเรื่อยๆ จะได้ว่า
${x=\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{....}}}}}}}}.....(3)$
ดังนั้นจะได้ว่า
$x^2 =x+2y.....(4)$
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า
${y=\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{....}}}}}}}}......(5)$
และ $y^2 = y +2x.......(6)$
นำสมการ (4)$-$สมการ(6)
$x^2-y^2 = y-x$
$(x-y)(x+y)+(x-y) = 0$
$(x-y)(x+y+1) = 0$
แต่ $x+y+1>0$ ดังนั้น $x=y$
แทนค่า$x=y$ ในสมการที่ (4)
$x^2 =x+2x$
$x(x-3) = 0$
$\therefore x=0,3$
นำไปแทนค่าในสมการที่โจทย์กำหนดพบว่าเป็นจริงทั้ง 2 ค่า
$x ={0,3}$

ข้อ 11.

my solution

วิธีทำ
$log_x36 +log_{18}(3x) = 3$

$\frac{2log6}{logx} + \frac{log3+logx}{log3+log6} = 3$

$(2log6)(log3+log6) + (log3+logx)(logx) =3(logx)(log3+log6)$

$2(log6)(log3)+2(log6)(log6) + (log3)(logx)+(logx)(logx) =3(logx)(log3)+3(logx)(log6)$

$2(log6)(log3)+2(log6)^2 +(logx)^2 - 2(logx)(log3)- 3(logx)(log6) = 0$

$(logx-log6)(logx-2log6-2log3) = 0$

$logx = log6, 2log6 + 2log3$

จะได้ว่า

$x= 6$ หรือ $324$

นำค่าของ $x$ ที่ได้ไปแทนลงในสมการที่กำหนด พบว่าเป็นคำตอบของสมการ
ดังนั้น $x$={6, 324}

ข้อ 12.

my solution

วิธีทำ
นำรูปไป plot ลงในกราฟ เพื่อหาจุดตัดของ PQRS และต่อจากนั้น ก็จะหาพื้นที่จากจุดตัดดังกล่าว ซึ่งจะได้รูปดังข้างล่าง



ต่อจากนั้นก็หาสมการของเส้นตรงของ AG, CE, BH และ DF เพื่อหาจุดตัดของ สี่เหลี่ยม PQRS
จะได้ว่าสมการเส้นตรง AG คือ $y =\frac{5}{8}x$
จะได้ว่าสมการเส้นตรง CE คือ $y =\frac{5}{8}x+1$
จะได้ว่าสมการเส้นตรง BH คือ $y =-x+8$
จะได้ว่าสมการเส้นตรง DF คือ $y =-x+6$
จากสมการทั้ง 4 เส้นจะหาจุดตัดของ สี่เหลี่ยม PQRS ได้ดังนี้
จุด P คือ $(\frac{40}{13},\frac{38}{13})$
จุด Q คือ $(\frac{48}{13},\frac{30}{13})$
จุด R คือ $(\frac{64}{13},\frac{40}{13})$
จุด S คือ $(\frac{56}{13},\frac{48}{13})$
พื้นที่ของสี่เหลี่ยม PQRS จะเท่ากับ

$= \frac{1}{2}\vmatrix{\frac{40}{13} & \frac{48}{13} & \frac{64}{13} & \frac{56}{13} & \frac{40}{13} \\ \frac{38}{13} & \frac{30}{13} & \frac{40}{13} & \frac{48}{13} & \frac{38}{13}} $

$ =\frac{1}{2}\left|\,[(\frac{40}{13})(\frac{30}{13})+(\frac{48}{13})(\frac{40}{13})+(\frac{64}{13})(\frac{48}{13})+(\frac{56}{13})(\frac{38}{13})]-[(\frac{38}{13})(\frac{48}{13})+(\frac{30}{13})(\frac{64}{13})+(\frac{40}{13})(\frac{56}{13})+(\frac{48}{13})(\frac{40}{13})]\right.\left.\,\right|$

$ = \frac{16}{13}$

พื้นที่สี่เหลี่ยม $PQRS = \frac{16}{13}$ ตารางเซนติเมตร

[หยินหยาง]

มาทำต่อให้ครับ
ข้อ 5.

my solution

วิธีทำ
จาก $a< b< c$ และ $2^a+2^b+2^c=33554466$ จะได้ว่า
$33554466$ สามารถแยกตัวประกอบได้ $2*3^3*11*56489$ ดังนั้น
$2^a+2^b+2^c = 2^a(1+2^{b-a}+2^{c-a}) = 2*3^3*11*56489$
$\therefore a = 1$ และจะได้ว่า
$1+2^{b-a}+2^{c-a} = 3^3*11*56489 = 16777233$
$2^{b-a}+2^{c-a} = 16777233-1 = 16777232$
$2^{b-a}(1+2^{c-a-b+a}) = 16777232 = 2^4*17*61681$
$\therefore b-a = 4$ นั่นคือ $b=5$ และจะได้ว่า
$1+2^{c-a-b+a} = 17*61681 =1048577$
$2^{c-a-b+a} = 1048577-1 = 1048576 =2^{20}$
$\therefore c-b = 20$ นั่นคือ $c = 25$
สรุป ค่าของ $a=1, b=5, c=25$

ข้อ 13.

my solution

วิธีทำ
$\cos^{2}71^{o}+\cos^{2}79^{o}+\sqrt{3}\cos 71^{o}\cos 79^{o}= (\cos71^{o}+\cos79^{o})^2+(\sqrt{3}-2)\cos 71^{o}\cos 79^{o}$
$=(\cos71^{o}+\cos79^{o})^2+(\frac{\sqrt{3}-2}{2})2\cos 71^{o}\cos 79^{o}$
$=(2\cos75^{o}\cos4^{o})^2+(\frac{\sqrt{3}-2}{2})(\cos 150^{o}+\cos 8^{o})$
$=(2(\cos45^{o}\cos30^{o}-\sin45^{0}\sin30^{o})\cos4^{o})^2+(\frac{\sqrt{3}-2}{2})(-\cos 30^{o}+\cos 8^{o})$
$=(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\cos4^{o})^2+(\frac{\sqrt{3}-2}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cos ^{2}4^{o}-1)$
$=(2-\sqrt{3})cos^24^o+\frac{1}{4}+(\sqrt{3}-2)cos^24^o$
$=\frac{1}{4}$

[nooonuii]

ว่าจะเอาเฉลยมาลงให้เหมือนกัน แต่ตอนนี้ไม่ต้องแล้วครับ

[TOP]

ข้อ 2 ยังไม่มีใครมาเฉลยสักที ผมเองก็เกือบจะลบไฟล์เฉลยที่ทำทิ้งไว้นานแล้วทิ้งไป ขอเอามาลงเลยละกัน

2. O N E T W X เป็นเลขโดดที่แตกต่างกันทั้งหมด จงหาเลขฐานทั้งหมดซึ่งทำให้ การบวกต่อไปนี้มีผลเฉลยเพียงหนึ่งเดียว
\[\begin{array}{c}
\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{O} & \rm{N} & \rm{E} & _+ \end{array} \\
\underline{\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{T} & \rm{W} & \rm{O} & \;\;\end{array}} \\
\underline{\underline{\begin{array}{rrrrr}\rm{N} & \rm{E} & \rm{X} & \rm{T} & \;\end{array}}}
\end{array}\]

Solution

สมมติว่าเป็นการบวกของเลขฐาน $B$

เนื่องจาก มีเลขโดด $6$ ตัวแตกต่างกันทั้งหมด ดังนั้น $B \geqslant 6$

เห็นได้ชัดว่า $N = 1$ เสมอ เพราะว่าเลขสามหลักสองจำนวน มีผลรวมไม่ถึง $B^3 + B^3 = 2B^3$ หรือ $2000_B$
จึงได้
\[\begin{array}{c}
\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{O} & \rm{1} & \rm{E} & _+ \end{array} \\
\underline{\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{T} & \rm{W} & \rm{O} & \;\;\end{array}} \\
\underline{\underline{\begin{array}{rrrrr}\rm{1} & \rm{E} & \rm{X} & \rm{T} & \;\end{array}}}
\end{array}\]
จะพิจารณา ผลบวกของตัวเลขทางขวามือสุด แบ่งได้เป็น $2$ กรณีคือ

1. บวกแล้วไม่มีทด หรือ $E + O = T$ -------- (1)
   
   พิจารณาผลบวกของตัวเลขทางขวามือถัดมาตัวที่สอง แบ่งได้เป็น $2$ กรณีคือ
   1. บวกแล้วไม่มีทด หรือ $1 + W = X$ -------- (1.a)
      
      กรณีนี้จะได้ $O + T = B + E$
      บวก $O$ ทั้งสองข้าง และใช้ผลของ (1) จะได้
      $\begin{array}{rcl}
      2O + T & = & B + T \\
      2O & = & B
      \end{array}$
      
      เนื่องจาก $B \geqslant 6$ ดังนั้น $O \geqslant 3$
      
      • กรณี $O = 3$
        พิจารณาผลบวกของตัวเลขทางขวามือสุด จะพบว่า $E = 2$ เท่านั้น ($1$ กับ $3$ ใช้ไม่ได้เพราะ $N$ กับ $O$ ใช้ไปแล้ว และ $4$ ใช้ไม่ได้เพราะจะทำให้ $T = 4 + 3 = 7$ เกิดการทดในเลขฐาน $6$)
        
        จึงได้ $T = 2 + 3 = 5$
        
        เหลือตัวเลขที่ $W$ จะใช้ได้คือ $0$ หรือ $4$ ซึ่งใช้ไม่ได้ เพราะจะทำให้ได้ค่า $X$ ซ้ำกับ $N$ หรือ $T$
        
        ดังนั้นกรณีนี้จึงเป็นไปไม่ได้
        
      • กรณี $O = 4$
        พิจารณาผลบวกของตัวเลขทางขวามือสุด จะพบว่า $E = 2$ หรือ $E = 3$ เท่านั้น ($1$ กับ $4$ ใช้ไม่ได้เพราะ $N$ กับ $O$ ใช้ไปแล้ว และ $E \geqslant 5$ ใช้ไม่ได้เพราะจะทำให้ $T \geqslant 4 + 5 = 9$ เกิดการทดในเลขฐาน $8$)
        
        กรณี $E = 2$ จะได้ $T = 2 + 4 = 6$ แต่จะพบว่า ไม่สามารถหา $W\ ,\ X$ ที่ตรงตามเงื่อนไขได้ เพราะ ค่าของ $W$ ที่เป็นไปได้คือ $3\ ,\ 5\ ,\ 7$ ล้วนทำให้ค่าของ $X$ ซ้ำกับตัวอื่นหรือไม่ก็เป็นเลข $8$ ซึ่งไม่มีในเลขฐาน $8$
        
        กรณี $E = 3$ จะได้ $T = 3 + 4 = 7$ จะพบว่า เหลือค่า $W$ ที่เป็นไปได้จริงเพียงค่าเดียวคือ $W = 5$ และจะได้ $X = 1 + 5 = 6$
        นั่นคือผลเฉลยในกรณีนี้คือ $413_8 + 754_8 = 1367_8$
        
      • กรณี $O \geqslant 5$
        กรณี $E = 2$ จะได้ $T = 2 + O \geqslant 7$
        จะพบว่า เราสามารถหาค่า $W\ ,\ X$ ที่เป็นไปได้จริงอย่างน้อย $2$ แบบ คือ $W = 3\ ,\ X = 4$ และ $W = B - 2\ ,\ X = B - 1$ ($\because W = 2O - 2 > T = 2 + O$ เมื่อ $O \geqslant 5$)
        นั่นคือจะได้ผลเฉลยมากกว่าหนึ่งแบบ จึงใช้ไม่ได้
   2. บวกแล้วมีทด หรือ $1 + W = B + X$ -------- (1.b)
      
      กรณีนี้จะได้ $1 + O + T = B + E$
      บวก $O$ ทั้งสองข้าง และใช้ผลของ (1) จะได้
      $\begin{array}{rcl}
      1 + 2O + T & = & B + T \\
      2O + 1 & = & B
      \end{array}$
      
      เนื่องจาก $B \geqslant 6$ ดังนั้น $O \geqslant 3$
      นอกจากนี้เราจะได้ $W\ ,\ X$ ที่เป็นไปได้เพียง $1$ รูปแบบเท่านั้น (รูปแบบอื่นจะไม่เกิดการทด) คือ $W = B - 1\ ,\ X = 0$
      
      • กรณี $O = 3$
        พิจารณาผลบวกของตัวเลขทางขวามือสุด จะพบว่า $E = 2$ หรือ $E = 4$ เท่านั้น ($1$ กับ $3$ ใช้ไม่ได้เพราะ $N$ กับ $O$ ใช้ไปแล้ว และ $E \geqslant 5$ ใช้ไม่ได้เพราะจะทำให้ $T \geqslant 3 + 5 = 8$ เกิดการทดในเลขฐาน $7$)
        
        แต่ $E = 4$ ก็ยังใช้ไม่ได้ เนื่องจากจะได้ $T = 4 + 3 = 7$ ใช้ไม่ได้เพราะไม่มีในเลขฐาน $7$
        
        จึงเหลือเพียงกรณีเดียวคือ $E = 2$ จะได้ $T = 2 + 3 = 5$
        นั่นคือผลเฉลยในกรณีนี้คือ $312_7 + 563_7 = 1205_7$
        
      • กรณี $O \geqslant 4$
        กรณี $E = 2$ จะได้ $T = 2 + O$ ซึ่งใช้ได้เพราะ $W = (2O + 1) - 1 > T = 2 + O$ เมื่อ $O \geqslant 4$
        กรณี $E = 3$ จะได้ $T = 3 + O$ ซึ่งใช้ได้เพราะ $W = (2O + 1) - 1 > T = 3 + O$ เมื่อ $O \geqslant 4$
        นั่นคือจะได้ผลเฉลยมากกว่าหนึ่งแบบ จึงใช้ไม่ได้
2. บวกแล้วมีทด หรือ $E + O = B + T$ -------- (2)
   
   พิจารณาผลบวกของตัวเลขทางขวามือถัดมาตัวที่สอง แบ่งได้เป็น $2$ กรณีคือ
   1. บวกแล้วไม่มีทด หรือ $2 + W = X$ -------- (2.a)
      
      กรณีนี้จะได้ $O + T = B + E$
      บวก $O$ ทั้งสองข้าง และใช้ผลของ (2) จะได้
      $\begin{array}{rcl}
      O + T + O & = & B + (B + T) \\
      O & = & B
      \end{array}$
      ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะเลขฐาน $B$ จะมีเลขโดดตัวที่มากที่สุดคือ $B - 1$
      
   2. บวกแล้วมีทด หรือ $2 + W = B + X$ -------- (2.b)
      
      กรณีนี้จะได้ $1 + O + T = B + E$
      บวก $O$ ทั้งสองข้าง และใช้ผลของ (2) จะได้
      $\begin{array}{rcl}
      1 + O + T + O & = & B + (B + T) \\
      \frac{2O + 1}{2} & = & B
      \end{array}$
      ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะจะได้เลขฐาน $B$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้นเลขฐานซึ่งทำให้ได้ผลเฉลยเดียวคือ เลขฐาน $7$ และ เลขฐาน $8$

[knotAmat]

จากข้อ 5 ของ คุณหยินหยาง
ผมอยากรู้ว่า ตรง
33554466 สามารถแยกตัวประกอบได้ 2*33*11*56489
กับ
16777232=24*17*61681

ใช้สมบัติอะไรในการแยกหรือป่าวคับ
หรือ มีวิธีแยกยังไง

ขอบคุณครับ

[-InnoXenT-]

ผมว่า สุ่มตัวเลข หารไปเรื่อยๆก็น่าจะออกแล้วนะครับ

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

ผมว่า สุ่มตัวเลข หารไปเรื่อยๆก็น่าจะออกแล้วนะครับ

ผมก็สงสัยอ่ะครับ

เพราะว่า ถ้าจะเช็คว่า 56489 เป็นจำนวนเฉพาะ มันก็น่าจะยากนะครับ

[nooonuii]

ไม่จำเป็นต้องแยกจนถึงจำนวนเฉพาะหรอกครับ แค่แยกเป็นจำนวนคู่กับจำนวนคี่ก็ได้แล้ว

[ครูโซ่]

ข้อ5 https://www.facebook.com/photo.php?f...type=1&theater

[nooonuii]

โจทย์ข้อ 5 เป็นโจทย์ที่ผมแต่งเองกับมือไม่ได้ลอกใครมาแน่นอน

ถ้ามันจะถูกเผยแพร่ออกไปสู่แหล่งอื่นมันควรจะถูกอ้างอิงที่มาว่ามาจากที่นี่

ฝากบอกคนที่เอาโจทย์ไปใช้ด้วยนะครับว่าคราวหลังบอกว่าเอามาจาก mathcenter ซักนิดนะ

เด็กที่ไปเรียนเขาจะได้รู้ว่ายังมีชุมชนของคนไทยที่รักคณิตศาสตร์อยู่ที่นี่