Mathcenter Contest Round 2 Non-Olympic Longlist

[nongtum]

พื้นที่ตรงนี้ สำหรับสมาชิกทุกท่านที่อยากนำเสนอเฉลยของโจทย์ทุกระดับที่ไม่ใช่โจทย์ใน longlist ระดับโอลิมปิกในรอบ 2 ดูโจทย์ได้ที่นี่ครับ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=4802

เชิญแสดงฝีมือได้แล้วครับ

[Timestopper_STG]

มหาวิทยาลัยข้อ 5
โจทย์ :
กำหนดลำดับ $\displaystyle{a_{n}=\sin(n!\cdot\pi\cdot e)}$ ลำดับนี้ลู่ออกหรือลู่เข้าสู่ค่าใดจงพิสูจน์
วิธีทำ :
เขียน $\displaystyle{e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}}$ จะได้ว่า
$$|a_{n}|=\sin\left|m\pi+\pi\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]\right)\right|,\exists m\in\mathbb{N}$$
เมื่อ$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]}$มีค่าน้อยๆประมาณ$\sin x=x$แล้วใส่ลิมิตเข้าไปจะได้ว่า
$$\lim_{n\rightarrow\infty}|a_{n}|=\lim_{n\rightarrow\infty}\sin\left|m\pi+\pi\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]\right)\right|=\pi\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]=0$$
ทำให้ได้ว่า $a_{n}$ ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์สู่ 0
คำอธิบายเพิ่มเติม :
$$\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots$$
$$0\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n-1}=0$$
หมายเหตุ : http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=207438

[Heir of Ramanujan]

มัธยมปลาย ข้อ 5

Solution

ให้ $k$ เป็นผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต ($k$ เป็นจำนวนเต็มบวก เพราะ $0 < p < q < s < t$)
จะได้ $p, p+k, p+2k$ เป็นลำดับเลขคณิต
$\displaystyle{r = \frac{p+2k}{p+k}}$ เป็นอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต
และ $\displaystyle{p+k, p+2k, \frac{(p+2k)^{2}}{p+k}}$ เป็นลำดับเรขาคณิต

นั่นคือ $\displaystyle{\frac{(p+2k)^{2}}{p+k} - p = 30}$
$(p+2k)^{2} - p(p+k) = 30(p+k)$
$3pk + 4k^{2} = 30p + 30k$
หรือ $4k^{2} = 3(10p + 10k - pk)\,\,............(1)$
แสดงว่า $k$ หารด้วย $3$ ลงตัว

จาก $(1)$ จะได้ $4k^{2} - 30k = 30p - 3pk$
หรือ $k(4k - 30) = 3p(10 - k)\,\,............(2)$
เนื่องจาก $k$ และ $p$ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ $4k - 30 > 0$ และ $10 - k > 0$
นั่นคือ $7.5 < k < 10$
(กรณี $4k - 30 < 0$ และ $10 - k < 0$ จะไม่สามารถหาค่าของ $k$ ได้)

จาก $k$ หารด้วย $3$ ลงตัว และ $7.5 < k < 10$ จะได้ว่า $k = 9$
แทนค่า $k$ ใน $(2)$ จะได้ $p = 18$

จะได้ว่า ลำดับเลขคณิตคือ $18, 27, 36$ และ ลำดับเรขาคณิตคือ $27, 36, 48$
ดังนั้น $p + q + s + t = 18 + 27 + 36 + 48 = 129$

หมายเหตุ
ที่มา: USA AIME 2003

[passer-by]

เกือบลืมว่าต้องเฉลย

มหาวิทยาลัย ข้อ 1 ครับ

พิสูจน์ว่า $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(\frac{2551x}{2}) cosec(\frac{x}{2}) -1 \,\, dx > \frac{152}{105} $$

SOLUTION

จาก Dirichlet Kernel ใน Fourier Series
$$ \frac{1}{2} + \cos x + \cos 2x +\cdots \cos nx = \frac{\sin(n+\frac{1}{2})x}{2\sin\frac{x}{2}} .....(*)$$

นำมาเขียน integrand ใหม่ กลายเป็น $$ 2(\cos x + \cos 2x +\cdots \cos 1275x)$$

หลังจาก integrate จะได้ $$ LHS = 2(\sum_{n=1}^{1275} \frac{\sin \frac{n\pi}{2}}{n}) = 2 ((1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+ \cdots +(\frac{1}{1273}-\frac{1}{1275}) ) > 2 ((1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})) = \frac{152}{105} $$