Mathcenter Contest Round 3 Olympic Longlist

[nongtum]

เนื่องจากการแข่งขันงวดนี้ โจทย์ระดับอื่นที่ส่งมา ไม่พอดีตามโควตา ก็มีจำนวนน้อยกว่าโควตาสำหรับใช้แข่ง ดังนั้นการแข่งงวดนี้ผมลงให้แต่ Longlist ระดับโอลิมปิกครับ

ข้อที่ใช้ในการแข่งครั้งที่ 3 ได้แก่ข้อ 1,3,5,7,8,9,10,14,17,25

Tomoyo_jung
1. For any even integer a>1.Prove that there are infinitely many positive integer n such that $n\mid a^n+1$.

Dektep
2. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $(a+b)(b+c)(c+a) = 2007$
จงพิสูจน์ว่า $$\frac{(a+b+c)^3}{2008} \geq 3\sqrt[2008]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$$

3. (Mongolia TST 2000)$\triangle{ABC}$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมใด ๆ ซึ่งเส้นแบ่งครึ่งมุม $A,B$ และ $C$ ตัด $BC,AC$ และ $AB$ ที่ $A_1 , B_1 , C_1$ ตามลำดับ และสี่เหลี่ยม $BA_{1}B_{1}C_{1}$ มีวงกลมล้อมรอบ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{BC}{AC+AB} = \frac{AC}{AB+BC}-\frac{AB}{BC+AC}$$

4. (dduclam) กำหนดให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า
$$\sum_{cyc}\sqrt [3]{(a^2 + ab + b^2)^2}\le\sqrt [3]{3\left(\sum_{cyc}(2a^2 + bc)\right)^2}$$
ที่มา : http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=228984

5. (Vasile) กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $ab+bc+ca = 3$
จงพิสูจน์ว่า $$\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\geq\dfrac{3}{2}$$

nooonuii
7. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านตรงข้ามมุม $A,B,C$ เป็น $a,b,c$ ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{ab\sin{2C}+bc\sin{2A}+ca\sin{2B}}{ab+bc+ca}\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Source : คิดเอง

8. ให้ $n,d$ เป็นจำนวนนับ จงพิสูจน์ว่า มีลำดับเลขคณิตของจำนวนเต็มบวก $$a_1,a_2,...,a_n$$ ที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ $d$ และ $a_i$ มีตัวประกอบเฉพาะมากกว่าหรือเท่ากับ $i$ ทุกค่า $i=1,2,...,n$
Source : คิดเอง

passer-by
9. พิสูจน์ว่ามีจุด $A_0 \,\, ,A_1 \,\, , \cdots A_{2550}$ ที่ต่างกันบนระนาบ XY ซึ่งสอดคล้องกับคุณสมบัติต่อไปนี้พร้อมกัน

(i) 3 จุดใดๆ ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
(ii) ถ้า $ d(A_i,A_j)$ แทนระยะห่างระหว่าง $A_i\,\, , A_j $ แล้ว $$ \sum_{0 \leq i< j \leq 2550}\{d(A_i,A_j)\} < 10^{-2551}$$

NOTE : $ \{x \}$ แทนส่วนที่เป็นทศนิยมของ x เช่น $ \{ 3.16\} = 0.16$

square1zoa
10. กำหนด $P$ เป็นฟังก์ชันพหุนามโดย $p_n(x)=\sum_{k=0}^{n-1} x^k$
1. จงพิสูจน์ว่า สำหรับ $m,n\in N$ เมื่อหาร $p_n(x)$ ด้วย $p_m(x)$ แล้ว จะเหลือเศษเป็น
$$p_i(x),\forall i=0,1,...,m-1$$
2. จงหาจำนวนเต็มบวก $i,j,k$ ทั้งหมดที่ทำให้ $$p_i(x)p_j(x^2)p_k(x^4)=p_{100}(x)$$

11. จะพิสูจน์ว่า สำหรับ $a,b,c,d,e,f\in N$ โดยที่ $a\leqslant b\leqslant c ,d\leqslant e\leqslant f $ สำหรับ
$$(1-x^a)(1-x^b)(1-x^c)=(1-x^d)(1-x^e)(1-x^f).......(*)$$ ถ้ามี $x$ ที่ทำให้สมการนี้เป็นจริงแล้ว $$ a=d , b=e , c=f$$

12. อย่างที่ทุกคนทราบกันดีว่า $$x^n+y^n=z^n$$ นั้นไม่มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็ม(ไม่เอา0) มาจากทบ.สุดท้ายของแฟร์มาต์ ที่มีชื่อเสียงมาก ถึงแม้ว่าจะมีนักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามคิดหาวิธีพิสูจน์ด้วยวิธีต่างๆหลายต่อหลายครั้ง แต่ก็ยังไม่สามารถทำได้ จนในกระทั่งในปี 1995 แอนดรูว์ ไวลส์ และคณะเป็นได้เสนอบทพิสูจน์ที่หนามากกว่า 100 หน้า แน่นอนครับว่า $$x^3+y^3=z^3$$ นั้นไม่มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มเช่นเดียวกันกับข้างต้น $แต่ แต่ แต่$
แต่สมมติว่าเราไม่ทราบทบ.นี้เลย
จงพิสูจน์ว่า สำหรับ $x,y,z\in Z ,xyz\not= 0$ ถ้า $$x^3+y^3=z^3$$ แล้ว $x,y,z$ จะต้องมีอย่างน้อย $1$ ตัวที่เป็นพหุคูณของ $3$

13. (IMO1979(NT))
ให้ $m,n\in N$ โดยที่ $$\frac{m}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319} $$
ถ้า $(m,n)=1$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $$1979\mid m$$

Art_Ninja
14. กำหนดให้ $p,q,r \in \mathbb{R}^+$ และสำหรับทุก $n \in \mathbb{N}$ ซึ่ง $pqr=1$ จงแสดงว่า
$$ \frac{1}{p^n+q^n+1} + \frac{1}{q^n+r^n+1} + \frac{1}{r^n+p^n+1} \leq 1$$

15. ให้ $P(x)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ที่ไม่ติดลบซึ่งอสมการ $P(x)P(\frac{1}{x})\geq 1$ เป็นจริงเมื่อ $x=1$ จงแสดงว่า อสมการนี้เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริงบวก $x$

tatari/nightmare
16. ให้ $AA"$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยมมุมแหลม $ABC$,$M$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $AA"$
ให้ $P,Q$ เป็นจุดบน $BM,CM$ ตามลำดับโดยที่ $\angle APC=\angle AQB=90^{\circ}$
จงพิสูจน์ว่า $P,M,A",Q$ เป็นจุดบนวงกลมเดียวกัน

17. ในสามเหลี่ยม ABC($AB\not= AC$)วงกลมแนบในสัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่ $D,E,F$ ตามลำดับ
ให้ $AD$ พบกับวงกลมแนบในอีกครั้งที่จุด P,ให้ $EF$ และเส้นตรงที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับ $AD$ ตัดกันที่ $Q$
และให้ $AQ$ ตัดกับ $DE$ ที่ $X$ และ $DF$ ที่ $Y$ จงพิสูจน์ว่า $AX=AY$

18. กำหนดให้วงกลมแนบใน $\bigtriangleup ABC$ สัมผัสด้าน $BC$ ที่ $D$
และวงกลมแนบนอกที่ตรงข้ามกับจุดยอด $B$ สัมผัส $BC$ ที่ $E$
ถ้า $AD=AE$ จงพิสูจน์ว่า $2\angle C-\angle B=180^{\circ} $

19. ให้สี่เหลี่ยม $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบได้ม$M$,$N$ ป็นจุดกึ่งกลางด้าน $AB,CD$ ตามลำดับ
ให้ $O=AC\cap BD$ และจุด $P,Q$ เป็น projection ของจุด O บน $AD,BC$ ตามลำดับ(i.e. $OP\bot AD
,OQ\bot BC$) จงหาพร้อมพิสูจน์ขนาดของมุมที่เกิดจากการตัดกันของ $MN$ และ $PQ$

20. กำหนดให้ $\theta =\dfrac{m}{n}\pi $ เมื่อ $m,n\in\mathbb{N}$
ถ้า $\cos\theta\in\mathbb{Q}$ จงหาพร้อมพิสูจน์ค่าทีเป็นไปได้ทั้งหมดของ$\cos\theta$

21. ให้ $$F=max_{1\leq x\leq 3}|x^3-ax^2-bx-c|$$
โดยที่ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงใดๆ
จงหาค่าต่ำสุดของ $F$

22. ให้ $a$ เป็นจำนวนนับ ถ้าทุกๆ $n\in\mathbb{N},4(a^n+1)$
เป็นกำลังสามสมบูรณ์ จงหาค่า $a$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

23. ให้ $a,b,c,k$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ จงพิสูจน์ว่า
$$(a^2+k+1)(b^2+k+1)(c^2+k+1)\geq (k+2)^2(ab+bc+ca+k-1)$$

24.100 people from 25 countries, four from each countries, stay on a circle. Prove that one may partition them onto 4 groups in such way that neither no two countrymans, nor two neighbours will be in the same group.

25. .An exam paper consists of five multiple-choice questions, each with four different choices; $2000$ students take the test, and each student chooses exactly one answer per question. Find the smallest value of $n$ for which it is possible for the students' answer sheets have the following property : among any $n$ of the students' answer sheets, there exist four of them among which any two have at most three common answer

26. For a prime $p$ and a given integer $n$ let $v_p(n)$ denote the exponent of $p$ in the
prime factorizationof $n!$.Given $d\in\mathbb{N}$ and ${p_1,p_2,\ldots p_k}$a set of $k$ primes,show that there are infinitely many positive integers $n$ such that $d\mid v_{p_i}(n)$ for all $1\leq i\leq k$

[beginner01]

มาแปะเฉลยบางข้อละกันครับ
2.จาก $(a+b+c)^3=(a^3+b^3+c^3)+3(a+b)(b+c)(c+a)=(a^3+b^3+c^3)+2007(3)$ แล้วก็ใช้ AM-GM ครับ

5.เท่าที่ผมนึกออกก็กระจายแล้ว homogenize ตามด้วย AM-GM ครับ

11 นี่โจทย์ถูกหรือเปล่าครับ คือ $x=1$ เป็นคำตอบไม่ว่า $a,b,c,d,e,f$ จะเป็นอะไรนะครับ?

12. ให้ลองเช็ค mod 9 ครับ

13.http://www.mathlinks.ro/Forum/viewto...=367332#367332

14.http://www.mathcenter.net/forum/show...2&postcount=14

15.ให้ $$f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$$ แล้วใช้ Cauchy เพื่อแสดงว่า $P(x)P(\frac{1}{x})\geq P(1)^2$

23.

Solution

จาก AM-GM $a^2b^2c^2+2\geq (abc)^\frac{2}{3}$
จาก Schur ได้ว่า $$\left(\sum_{cyc}a^2\right)+a^2b^2c^2+2\geq\left(\sum_{cyc}a^2\right)+(abc)^\frac{2}{3}$$
$$\geq\sum_{cyc}(ab)^\frac{2}{3}(a^\frac{2}{3}+b^\frac{2}{3})$$
$$\therefore\left(\sum_{cyc}a^2\right)+a^2b^2c^2+2\geq 2\sum_{cyc}ab$$___(1)
จาก $$(k+1)\sum_{cyc}(a^2b^2+1)\geq (2k+2)\sum_{cyc}ab$$___(2)
และ $$(k^2+2k)\sum_{cyc}a^2\geq (k^2+2k)\sum_{cyc}ab$$___(3)
และ $$k^3+3k^2+2k-2\geq k^3+3k^2-4$$___(4) ($\because k\geq 0$)
รวมทั้ง 4 สมการ ได้อสมการโจทย์ ตามต้องการ

[Mathephobia]

ข้อ 20 รู้สึกว่าจะอยู่ที่นี่ครับ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=3859
ส่วนข้อ 3 ลองหาในหนังสือก็คงมีครับผม

[square1zoa]

ข้อ 11 ความจริงแล้วคือส่วนหนึ่งของข้อที่ 10.2 หมายความว่า ถ้าหา $x$ ซักค่าที่ทำให้สมการจริงแล้ว ต้องพิสูจน์ว่า ........

[Let it be]

ข้อสุดท้ายเป็น ISL 2007