Mathcenter Contest Round 1/2010 Longlist

[nongtum]

โอลิมปิก

ทุกข้อเสนอโดยคุณ tatari/nightmare

1. ให้ $a,b,c\in\mathbb{N}$ จงพิสูจน์ว่าถ้ามีพหุนาม $P,Q,R\in\mathbb{C}[x]$ ซึ่งไม่มีตัวประกอบร่วมกันและสอดคล้องสมการ $$P^a+Q^b=R^c$$ แล้ว $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>1$

2. กำหนด $k$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $k>1$ และ $0\leq d<9$ จงพิสูจน์ว่าจะมีจำนวนนับ $n$ ซึ่งเลขโดดในตำแหน่งที $k$(นับจากขวา) ของ $2^n$ คือ $d$

3. กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่ $B$ วงกลมแนบในสามเหลี่ยมสัมผัสด้าน$BC,CA,AB$ ที่จุด $D,E,F$ ตามลำดับ
ให้ $CF$ ตัดวงกลมแนบในที่จุด $P$.ถ้า $\angle APB=90$.จงหาค่าของ $\dfrac{CP+CD}{PF}$

4. กำหนด $P$ เป็นระนาบ.จงพิสูจน์ว่าไม่มีฟังก์ชัน $f :P\rightarrow P$ โดยที่สำหรับรูปสี่เหลี่ยมนูน $ABCD$ ใดๆ จุด $f(A),f(B),f(C),f(D)$ เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมเว้า

5. เซต $X$ ของจำนวนนับจะเรียกว่า "ดี" ถ้าสำหรับแต่ละคู่ $a,b\in X$ มีจำนวนเพียงตัวเดียวจาก $a+b,\mid a-b\mid$ เป็นสมาชิกของ $X$($a,b$ อาจเท่ากันได้)
จงหาจำนวนเซตดีทั้งหมดที่มี $2008$ เป็นสมาชิก

6. (Generalize of IMO1987)Find all $a\in\mathbb{N}$ such that there exist a bijective function $g :\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ and function $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ such that for all $x\in\mathbb{N}$ $$f(f(f(...f(x)))...)=g(x)+a$$ โดยที่มี $f$ ปรากฏทั้งหมด $2009$ ครั้ง

7. ในการฝึกซ้อมการบินร่วมกันระหว่างกองทัพอากาศสหรัฐกับกองทัพอากาศรัสเซีย โดยปล่อยเครื่องบินรบ $F-16$ และ $Mig-35$ จากสนามบิน $A$ และให้เครื่องบินทั้งสองบินวนเป็นวงกลมแล้วมาสวนกันที่จุดหนึ่งก่อนที่จะแล่นลงกลับที่สนามบิน $A$ เหมือนเดิม โดยที่เครื่องบินทั้งสองจะต้องกลับมาที่สนามบิน $A$ พร้อมกัน.เพื่อเป็นการตรวจสอบตำแหน่งของเครื่องบิน ประเทศทั้งสองจึงพยายามที่จะสร้างฐานยิงเลเซอร์ $P$ ที่พื้นดินเพื่อวัดระยะห่างระหว่างเครื่องบินกับสถานี $P$ ซึ่งทุกวินาทีใดๆระยะห่างระหว่าง$F-16$ กับสถานี $P$ จะเท่ากับระยะทางระหว่าง $Mig-35$ กับสถานี $P$ เสมอ เป็นไปได้หรือไม่ที่พวกเค้าสามารถที่จะสร้างสถานี $P$ ได้ตามที่ต้องการ

มัธยมปลาย

1. กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริงใดๆ จงหาค่าต่ำสุดของ $$\sqrt{x^2-70x+1234}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2-30y+666}$$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

2. กำหนด $n!=n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)$
ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $$\frac{(n-1)!+n!+(n+1)!}{(n+1)!+(n+2)!-6n!}=\frac{2}{n}$$และให้ $f(x)=x^2-1$ และ $\tan \theta = \sqrt{\dfrac{f(n)+f(n+1)}{(f(n))^2+(f(n+1))^2}}$ โดย $0^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 90^{\circ}$
จงหาค่าของ $\theta$
(เสนอโดยคุณ Ne[S]zA)

3.

กำหนดให้ $P\hat QR=90^{\circ}$ และ $PQ=QR_1=1$ และ $PR_{k-1}=QR_k$ สำหรับ $k=2,3,4,...,n$
ให้ $[\Delta PQR_n]$ แทนพื้นที่ของ $\Delta PQR_n$
$$A=\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{[\Delta PQR_{k-1}]+[\Delta PQR_k]}$$
จงหาค่าของ $\sin \theta$ เมื่อ $\tan \theta = \sqrt{\dfrac{A+2}{3}}$ (ตอบในรูปส่วนไม่ติดราก)
(เสนอโดยคุณ Ne[S]zA)

มัธยมต้น

1. ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $2555(3^x)-2012(3^y)=16959$ จงหาค่าของ $\sqrt{x^2-y^2}$
(เสนอโดยคุณ Ne[S]zA)

2. จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ทั้งหมดที่เป็นคำตอบของสมการ $x^2+2x+y^2-y-xy-2=0$ ในระบบจำนวนเต็ม
(เสนอโดยคุณ -SIL-)

3. ให้ $$a_n=\frac{2552^n}{2552^{2n+1}-2552^{n+1}-2552^n+1}$$
จงแสดงว่า $a_1+a_2+a_3+....+a_{2552}<1$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

4. ถ้า $x,y$ เป็นจำนวนจริงซึ่ง $$2009\sqrt{x-2009^2}+2552\sqrt{y-2552^2}=\frac{x+y}{2}$$ จงหา $\dfrac{x}{2009}+\dfrac{y}{2552}$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

5. โดยไม่ใช้แคลคูลัส จงหาค่าของ $1x+2x^2+3x^3+4x^4+...$ เมื่อ $0\leqslant |x|<1$
Note. $1x+2x^2+3x^3+4x^4+...$ จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ $0\leqslant |x|<1$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

6. จงหาค่า $x$ ที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดจากสมการ $\dfrac{8^x+27^x}{12^x+18^x}=\dfrac{7}{6}$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

7. ให้ $x$ เป็นจำนวนจริงโดยที่ $x\not= 0$ และ $1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}+...+\dfrac{1}{x^{2009}}=1$ จงหาค่าของ $x^{2009}+2009$
(เสนอโดยคุณ Ne[S]zA)

8. กำหนดให้ $a+b+c=1$ และ $a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=a^4+b^4+c^4$ จงหาค่าของ $a^5+b^5+c^5$
(เสนอโดยคุณ -SIL-)

ประถมปลาย

1. จงหาค่าของ $$\frac{(1\times3\times6)+(2\times6\times12)+\cdots+(2010\times6030\times12060)}{(1\times2\times3)+(2\times4\times6)+\cdots+(201 0\times4020\times6030)}$$
(เสนอโดยคุณ เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง)

2. มีนาฬิกาทราย 2 ชนิด คือ ชนิด 7 นาที และชนิด 13 นาที จงหาวิธีการบอกเวลา 3 นาทีจากการใช้นาฬิกาทรายทั้ง 2 นี้
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

3. จงหาจำนวนนับ $n$ ที่มากกว่า 2222 ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้ $$\frac{n-2010}{2},\frac{n-2010}{3},\frac{n-2010}{4},\dots,\frac{n-2010}{2553}$$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำทุกจำนวน
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

4. ผลคูณของ $4^{16}\times5^{33}$ มีกี่หลัก
(เสนอโดยคุณ คusักคณิm)

5. จงหาค่าของ $29\dfrac{27}{28}\times27\dfrac{14}{15}$
(เสนอโดยคุณ คusักคณิm)

[หยินหยาง]

ข้อ 2. ม.ปลาย กับข้อ 8. ม.ต้น ออกโดยคุณ Ne[S]zA เป็นข้อเดียวกันนี่ครับ

[nongtum]

#2
ขอบคุณที่แจ้งครับ ลบและเลื่อนข้อ 9 ม.ต้นที่ซ้ำออกให้แล้วนะครับ

[หยินหยาง]

ขอโทษนะครับผมก็ยังเห็นเหมือนเดิมนี่ครับผมหมายถึงข้อนี้ใน ม.ปลาย
2. กำหนด $n!=n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)$
ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $$\frac{(n-1)!+n!+(n+1)!}{(n+1)!+(n+2)!-6n!}=\frac{2}{n}$$และให้ $f(x)=x^2-1$ และ $\tan \theta = \sqrt{\dfrac{f(n)+f(n+1)}{(f(n))^2+(f(n+1))^2}}$ โดย $0^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 90^{\circ}$
จงหาค่าของ $\theta$
(เสนอโดยคุณ Ne[S]zA)

และส่วนของ ม.ต้นคือ
8. กำหนด $n!=n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)$
ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $\dfrac{(n-1)!+n!+(n+1)!}{(n+1)!+(n+2)!-6n!}=\dfrac{2}{n}$
และให้ $f(x)=x^2-1$ และ $\tan \theta = \sqrt{\dfrac{f(n)+f(n+1)}{(f(n))^2+(f(n+1))^2}}$ โดย $0^{\circ} \leqslant \theta \leqslant 90^{\circ}$
จงหาค่าของ $\theta$
(เสนอโดยคุณ Ne[S]zA)

[nongtum]

#4
หลุดอีกแล้ว ขอบคุณครับที่แจ้ง

[banker]

มาดูเซียน ปุจฉา - วิสัชนา กัน

[Siren-Of-Step]

ไม่มีคะแนน ติดหรอครับ

[nongtum]

#7
เดี๋ยวจะมีในกระทู้สรุปการแข่งขัน พร้อมกับเรื่องอนาคตและแนวทางของการแข่งรอบต่อๆไปที่จะตั้งในวันพรุ่งนี้ครับ

[หยินหยาง]

มาให้กำลังใจครับเหลือเวลอีก 4 นาทีเอง

[nongtum]

แหะๆ โดนคุณ banker ท้วงหลังไมค์ว่าลืมตรวจไปหนึ่งข้อ (ได้ยังไงเนี่ย)
เอาเป็นว่าอาจช้าไปสักหนึ่งถึงสองชั่วโมงละกันน่อ...

[กิตติ]

กระทู้นี้ทำไมดูเงียบๆไป หรือเลิกเฉลยกันแล้วหรือครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

[มัธยมปลาย]
1. กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริงใดๆ จงหาค่าต่ำสุดของ $$\sqrt{x^2-70x+1234}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2-30y+666}$$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

แยกเป็นสามส่วนคือ
1.$\sqrt{x^2-70x+1234} =\sqrt{(x-35)^2+9}$ จะมีค่าต่ำสุดคือ $3$
2.$\sqrt{x^2+y^2}$ มีค่าต่ำที่สุดคือ $0$
3.$\sqrt{y^2-30y+666}=\sqrt{(y-15)^2+441}$ มีค่าต่ำสุดคือ $21$
ดังนั้น$\sqrt{x^2-70x+1234}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2-30y+666}$ มีค่าต่ำสุดคือ$3+0+21 =24$
ได้ข้อเดียว...

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

กระทู้นี้ทำไมดูเงียบๆไป หรือเลิกเฉลยกันแล้วหรือครับ


แยกเป็นสามส่วนคือ
1.$\sqrt{x^2-70x+1234} =\sqrt{(x-35)^2+9}$ จะมีค่าต่ำสุดคือ $3$
2.$\sqrt{x^2+y^2}$ มีค่าต่ำที่สุดคือ $0$
3.$\sqrt{y^2-30y+666}=\sqrt{(y-15)^2+441}$ มีค่าต่ำสุดคือ $21$
ดังนั้น$\sqrt{x^2-70x+1234}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2-30y+666}$ มีค่าต่ำสุดคือ$3+0+21 =24$
ได้ข้อเดียว...

ปัญหาคือมันไม่มี x,y ที่เป็นจำนวนจริงซึ่งทำให้เกิด 24 อ่ะครับ

[nongtum]

#11
ค่า $x,y$ ในทั้งสามส่วนต้องเป็นค่าเดียวกันนะครับ ใบ้ให้นิดว่ามาเกือบถูกทางแล้วล่ะ มองให้ออกละกันว่าแต่ละวงเล็บหมายถึงอะไรได้บ้าง

[กิตติ]

ขอคิดก่อนครับ ขอบคุณทั้งสองท่านที่แนะให้ครับ

[-InnoXenT-]

ใช้ โปรแกรมคิดได้ $(x,y) = (\frac{77}{3},\frac{33}{4})$ :P