Mathcenter Contest Round 2/2010 Longlist

[nongtum]

ขออนุญาตตัดมาแต่คำถามที่ส่งมาแต่ไม่ได้ใช้แข่งนะครับ ที่เหลือรบกวนไปดูโจทย์ในกระทู้โจทย์นะครับ

ขอบคุณครับ

ประถม

1. ถ้าเขียน$$\frac{54}{19} = w + \frac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}}$$ แล้ว จงหาค่าของ $\displaystyle{z + \frac{1}{y+\frac{1}{x+\frac{1}{w}}}}$ เมื่อ $w,x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนนับ
(เสนอโดยคุณ เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง)

2. นำตัวเลข 50 ตัวจากเซต ${1 , 2 , 3 , ... , 100}$ มารวมกันแล้วได้ผลลัพธ์เป็น $2010$ จำเป็นจะต้องใช้เลขคู่อย่างน้อยที่สุดกี่ตัวจึงจะสำเร็จ
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย)

มัธยมต้น

1. กำหนดให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีด้าน $AB=AC$ ซึ่งมีจุด$D$อยู่ภายในโดยที่มุม$DBC=DCB=10^O$ และมีจุด $E$ อยู่ภายในเช่นกัน
โดยมุม$ECB=30^0$ และมุม$EBC=20^0$ แล้ว จงหามุม $ADE$
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย)

2. ถ้า$\sqrt{3(12)(21)(30)+6561} =a$ และ $x^2-y^2=a$ เมื่อ x,y เป็นจำนวนนับแล้ว จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $xy$
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย)

3. กำหนดให้ $m^{m-n}=n^{243}$ และ $n^{m-n}=m^{27}$ เมื่อ $m>n$ จงหาค่าของ $n^9m-m^4+m^3n-n^{10}$
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย)

4. กำหนดให้ $x=\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}}$ และ$y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}$
เมื่อ $x\not= 0$ แล้วจงหาค่าของ $x+y$
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย)

มัธยมปลาย

1. จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ $a,b$เป็นอนันต์ที่ทำให้ $(2010a+1)(2010b+1)$เป็นกำลังสองสมบูรณ์
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย)

2. กำหนดให้ $f(x)=\frac{1}{1-x}$ และ $f^2(x)=f(f(x))$ จงหาค่าของ $f^{2010}(2010)$
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย)

ปล. ช่วงนี้ยุ่งจัดบวกติดบอลโลก อาจจะได้เริ่มตรวจคำตอบช้าหน่อย แต่ตรวจแน่นอนครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

2. ถ้า$\sqrt{3(12)(21)(30)+6561} =a$ และ $x^2-y^2=a$ เมื่อ x,y เป็นจำนวนนับแล้ว จงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $xy$
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย)

number 2.
Gives $21 = x$ Then We get
$\sqrt{x(x-9)(x+9)(x-18)+6561} = a$
$\sqrt{(x^2-9x)(x^2-9x-162)+6561} = a$
Gives$ x^2-9x= Y$
$Y-81 = a$
$x^2-9x-81 = a$
$21^2 - 9*21 - 81 = a$
$a = 171$
$14^2 - 5^2 = 171$
$xy = 70$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ขออนุญาตตัดมาแต่คำถามที่ส่งมาแต่ไม่ได้ใช้แข่งนะครับ ที่เหลือรบกวนไปดูโจทย์ในกระทู้โจทย์นะครับ

ขอบคุณครับ

ประถม
1. ถ้าเขียน$\frac{54}{19} = w + \frac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}}$ แล้ว จงหาค่าของ $\displaystyle{z + \frac{1}{y+\frac{1}{x+\frac{1}{w}}}}$ เมื่อ $w,x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนนับ
(เสนอโดยคุณ เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง)

มาเก็บของประถมก่อน

$\frac{54}{19} = 2 + \frac{16}{19} = 2 + \dfrac{1}{\frac{19}{16}}$

$= 2+ \dfrac{1}{1+ \frac{3}{16}}$

$= 2+ \dfrac{1}{1+ \frac{1}{\frac{16}{3}}}$

$= 2+ \dfrac{1}{1+ \frac{1}{ 5 + \frac{1}{3}}} = w + \dfrac{1}{x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}}$

$x = 1, \ \ y = 5, \ \ z = 3, \ \ w = 2$ .....(*)


$\displaystyle{z + \frac{1}{y+\frac{1}{x+\frac{1}{w}}}}$

$= \displaystyle{3 + \frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}$

$=3\frac{3}{17}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ประถม


2. นำตัวเลข 50 ตัวจากเซต ${1 , 2 , 3 , ... , 100}$ มารวมกันแล้วได้ผลลัพธ์เป็น $2010$ จำเป็นจะต้องใช้เลขคู่อย่างน้อยที่สุดกี่ตัวจึงจะสำเร็จ
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย)

อันนี้ยังไม่ได้ตรวจสอบ

คิดคร่าวๆ เราก็พยายามใช้เลขคี่แยะๆ (จะได้ครบ 50 ตัว)

1+3+5+7+....+83 +85 +87 +74 = 2010 มี 45 ตัว

แตก 74 เป็นเลขคู่ 6 ตัว ให้ได้ 74 เช่น 44+2+4+6+8+10

เดี๋ยวมาดูต่อ...... ว่าจะสามารถลดจำนวนคู่ได้อีกไหม

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

มัธยมต้น

4. กำหนดให้ $x=\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}}$ และ$y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}$
เมื่อ $x\not= 0$ แล้วจงหาค่าของ $x+y$
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย)[/hidden]

$x=\sqrt{y+\sqrt{y+\sqrt{y+...}}} = \sqrt{y+x} $

$x^2 = y+x$ ......(*)


$y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}} = \sqrt{x +y} $

$y^2 = x+y$ ...(**)


(*)=(**) $ \ \ \ \ x^2 = y^2$

$x = y$

แทนค่า $y$ ใน (*)

$x^2 = x+x = 2 x$

$x\not= 0 \ \ \ \ x \ \ $หารตลอด

$x = 2 ---> y = 2$

$x+y = 2 +2 = 4$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

มัธยมต้น
1. กำหนดให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีด้าน $AB=AC$ ซึ่งมีจุด$D$อยู่ภายในโดยที่มุม$DBC=DCB=10^O$ และมีจุด $E$ อยู่ภายในเช่นกัน
โดยมุม$ECB=30^0$ และมุม$EBC=20^0$ แล้ว จงหามุม $ADE$
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย)

หลวงปู่บอกให้ตอบ 40 ไปก่อน ดูท่าทางหลวงปู่ก็ไม่มั่นใจเหมือนกัน

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

มัธยมต้น


3. กำหนดให้ $m^{m-n}=n^{243}$ และ $n^{m-n}=m^{27}$ เมื่อ $m>n$ จงหาค่าของ $n^9m-m^4+m^3n-n^{10}$
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดาย แสวงพ่าย)

ข้อนี้ยังทำไม่ได้

แต่ถ้าให้เติมคำตอบ ก็จะตอบว่า $n^9m-m^4+m^3n-n^{10} =0$

ด้วยเหตุผลว่า คำตอบไม่น่าต้องติดค่าตัวแปร

ถ้าจะเป็นตัวเลข ก็น่าจะเป้น 0, 1, 2 ซึ่งโดยทั่วไปน่าจะเป็นอย่างนั้น

แต่เมื่อมามองๆดู ถ้า $m= n^3$ ลองแทนค่าดูก็จะได้

$n^9m-m^4+m^3n-n^{10}$ = $(m^3)m-m^4+m^3n-(m^3)n = 0$





เดี๋ยวพิสูจน์ได้แล้วจะมาบอก



14:07 1/7/2553 มาทำต่อ


จาก $n^{m-n}=m^{27}$

$(n^{m-n})^9= (m^{27})^9 = m^{243}$

$(n^9)^{m-n} = m^{243}$

$n^9 = m^{\frac{243}{m-n}}$

$(n^9)^{27} = n^{243}= (m^{\frac{243}{m-n}})^{27} = (m^{\frac{27\times243}{m-n}}) = m^{m-n}$

จะได้ $(\frac{27\times243}{m-n}) = m-n $


$ \ \ (m-n)^2 = 243 \times 27 = 3^2 \times 27^2 = 81 ^2$

$m-n = 81$



แทนค่า $81$ ใน $m^{m-n}=n^{243}$ จะได้

$m^{81}=n^{243}$

$m = n^{\frac{243}{81}} = n^3$

แทนค่า $m = n^3$ ใน $n^9m-m^4+m^3n-n^{10}$ จะได้

$n^9m-m^4+m^3n-n^{10}$ = $(m^3)m-m^4+m^3n-(m^3)n = 0$




ในที่สุด ความพยายามของเราก็สำเร็จ

[~ArT_Ty~]

สุดยอดจริงๆครับ

มีวิธีไหนอีกมั้ยครับ

[banker]

มาร่วมเฉลยกันนะครับ เริ่มจาก ประถม

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ประถมปลาย

1. จากรูปจงหาพื้นที่ส่วนที่แรเงา โดยสี่เหลี่ยมคางหมูถูกแบ่งส่วนสูงเป็น5ส่วน เท่าๆกันดังรูป

(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย)

ข้ออ้าง


จากโจทย์
สี่เหลี่ยมคางหมูมีพื้นที่ $\frac{1}{2}\times 10 \times (8+12) = 100 $ ตารางซม

เมื่อมาต่อกันจะได้สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีพื้นที่ 200 ตารางเซนติเมตร
โดยมีพื้นที่แบ่งเป็น 5 ส่วนเท่าๆกันดังรูป



พื้นที่แรเงา เป็น $\frac{3}{5} $ของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พื้นที่แรเงา เป็น $\frac{3}{5} $ของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

ดังนั้นพื้นที่แรเงาเท่ากับ $\frac{3}{5} \times 100 = 60 $ ตารางเซนติเมตร

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ประถมปลาย
2. จากรูปเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งเกิดจากการนำสี่เหลี่ยมผืนผ้าย่อยๆ ที่มีลักษณะเท่ากันทุกประการ 8 รูปมาประกอบกัน
ถ้าสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปใหญ่มีพื้นที่ 9720 ตร.หน่วย จงหาความยาวรอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปใหญ่นี้

(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย)

ตามรูป


$x = 27, \ \ y = 45$

ความยาวรอบรูป = $2(5x +x + y) = 12x + 2y = 12(27) + 2(45) = 324 +90 =414$ หน่วย

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ประถมปลาย

3. มีลูกแก้วอยู่ 10 ลูก น้องอุลตร้าสามารถเลือกเก็บลูกแก้วโดยจะเก็บได้ครั้งละ 1 ลูกหรือ 2 ลูกก็ได้
จะมีวิธีที่น้องอุลตร้าเลือกเก็บลูกแก้วได้ทั้งหมดกี่วิธี
(เสนอโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย)

แบบที่ 1 ละเลียดเก็บทีละเม็ด

1111111111 นับได้ 1 วิธี

แบบที่2 เก็บหนึ่งเม็ดบ้างสองเม็ดบ้าง
211111111 นับได้ 9 วิธี
22111111 นับได้ 28 วิธี
2221111 นับได้ 35วิธี
222211 นับได้ 15 วิธี

รวม 87 วิธี

แบบที่ 3 เก็บทีละ 2 เม็ด
22222 นับได้ 1 วิธี

รวมๆก็ได้ 1 + 87 + 1 = 89 วิธี


หรืออีกวิธีแบบประถมๆ ใช้การสังเกต

ถ้าลูกแก้วมีแค่ลูกเดียว จะมีวิธีเก็บ 1 วิธี (1)

ถ้ามีลูกแก้ว 2 ลูก จะมีวิธีเก็บ 2 วิธี (1,1)(2)

ถ้ามีลูกแก้ว 3 ลูก จะมีวิธีเก็บ 3 วิธี (1,1,1)(1,2)(2,1) < --- 1+2 = 3

ถ้ามีลูกแก้ว 4 ลูก จะมีวิธีเก็บ 5 วิธี (1,1,1,1)(2,2)(2,1,1)(1,2,1)(1,1,2) < --- 2+3 = 5

ถ้ามีลูกแก้ว 5 ลูก จะมีวิธีเก็บ 8 วิธี (1,1,1,1,1)(1,1,1,2)(1,1,2,1)(1,2,1,1)(2,1,1,1)(2,2,1)(2,1,2)(1,2,2) < --- 3+5 = 8

ถ้ามีลูกแก้ว 6 ลูก จะมีวิธีเก็บ 13 วิธี .... < --- 5+8 = 13

ถ้ามีลูกแก้ว 7 ลูก จะมีวิธีเก็บ 21 วิธี ... < --- 8+13 = 21

ถ้ามีลูกแก้ว 8 ลูก จะมีวิธีเก็บ 34 วิธี ... < --- 13+21 = 34

ถ้ามีลูกแก้ว 9 ลูก จะมีวิธีเก็บ 55 วิธี ... < --- 21+34 = 55

ถ้ามีลูกแก้ว 10 ลูก จะมีวิธีเก็บ 89 วิธี ... < --- 34+55 = 89

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ประถมปลาย

4. กำหนดลำดับ $0,5,20,51,x,185,300,455,y,909,1220,z,\dots$ จงหาค่าของ $x^2-2y+z$
(เสนอโดยคุณ SolitudE)

จากากรสังเกต รูปแบบลำดับเป็น $n^3-n^2+n-1$

พจน์ที่ 1 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 1^3-1^2+1-1 = 0 $

พจน์ที่ 2 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 2^3-2^2+2-1 = 5 $

พจน์ที่ 3 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 3^3-3^2+3-1 = 20 $

พจน์ที่ 4 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 4^3-4^2+4-1 = 51$

พจน์ที่ 5 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 5^3-5^2+5-1 = 104 = x$
.
.
.
พจน์ที่ 9 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 9^3-9^2+9-1 = 656 = y$
.
.
พจน์ที่ 12 $ \ \ n^3-n^2+n-1 = 12^3-12^2+12-1 = 1595 = z$



$x^2-2y+z = 104^2 - 2(656) + 1595 = 10816 -1312 + 1595 = 11099$



ตอบ ค่าของ $x^2-2y+z = 11099$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ประถมปลาย

5. จงหาค่า $n$ จากสมการ $$\frac{1}{1\times5} + \frac{1}{5\times9} + \frac{1}{9\times13} + ... + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = 0.244444...$$
(เสนอโดยคุณ เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง)

$\frac{1}{1\times5} + \frac{1}{5\times9} + \frac{1}{9\times13} + ... + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = 0.244444...$

$ \frac{1}{4}(\frac{4}{1\times5} + \frac{4}{5\times9} + \frac{4}{9\times13} + ... + \frac{4}{(4n-3)(4n+1)}) = \frac{24-2}{90} = \frac{11}{45}$

$\frac{1}{4} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{13}) + ... + (\frac{1}{(4n-3)} - \frac{1}{4n+1})] = \frac{11}{45}$

$\frac{1}{4} (\frac{1}{1} - \frac{1}{4n+1}) = \frac{11}{45}$

$ \frac{1}{1} - \frac{1}{4n+1} = \frac{44}{45}$

$1 - \frac{44}{45} = \frac{1}{4n+1}$

$\frac{1}{45} = \frac{1}{4n+1}$

$45 = 4n+1$

$n = 11 \ \ \ Ans.$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ประถมปลาย

6. มีห้องอยู่ 2010 ห้องเรียงกันเป็นแถวยาว ห้องที่ติดกันจะมีประตูเปิดถึงกัน
มีลิงตัวหนึ่งอยู่ในห้องใดห้องหนึ่งในตอนกลางวัน คุณสามารถเลือกห้องเพื่อค้นหาลิงได้สองห้อง
และในตอนกลางคืน ลิงจะย้ายไปอยู่ในห้องที่ติดกับห้องเดิมที่มันอยู่ทุกคืน
จงหาจำนวนวันที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้สามารถยืนยันได้ว่าจะหาลิงพบได้แน่นอน
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

ข้อนี้ ใครจับลิงได้บ้างครับ


(ทีหลังก็ติด GPS ไว้ที่คอลิงด้วยซิครับ จะได้ไม่ต้องเสียเวลาหา)

[Scylla_Shadow]

มาช่วยแปะคำตอบข้อของผมล่ะกัน
ข้อ6. ประถม 1340 วัน
ข้อ6. ม.ต้น 2010
ข้อ7. ม.ต้น 2554
ข้อ8. ม.ต้น 3333
ข้อ9. ม.ต้น 174
ข้อ10. ม.ต้น 543 ตารางหน่วย
ข้อ11. ม.ต้น 1009 หน่วย
ข้อ12. ม.ต้น 999888
ข้อ13. ม.ต้น 2896
ข้อ1. วิธีทำม.ต้น $\sqrt{\frac{2(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)(-a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}$
ข้อ2. วิธีทำม.ต้น 731
ข้อ3. วิธีทำม.ต้น $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
ข้อ4. วิธีทำม.ต้น 40 องศา
ข้อ5. วิธีทำม.ต้น 15 องศา

ถามจริงๆจากใจ
ข้อ12. ม.ต้นใครแอบใช้แคลมั่งเอ่ย
ข้อ11.ม.ต้นกับพวกเรขา ใช้ตรีโกณกันแหลกลานชัวร์ป๊าป 100%