ช่วย proof หน่อย

[natto]

1.เมตริกซ์จตุรัส A จะมีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อ l=0 ไม่เป็นค่าเฉพาะของ A
2.ให้ f : D อRⁿฎR ถ้ามีค่าคงที่ d>0,k>0 ซึ่งถ้า |x-x₀| <d และ xฮ D ทีทำให้ |ถf(x)/ถx_j|ฃ k สำหรับทุก j=1,2,...,nแล้ว f ต่อเนื่องที่ x₀
3.ให้ g ฮ C[a,b]และ g(x)ฮ[a,b] สำหรับทุก xฮ[a,b] แล้ว g จะมีจุดตรึงใน [a,b]

[passer-by]

ข้อ 3
CASE 1: ถ้า g(a) =a หรือ g(b)=b ก็จะได้ a,b เป็น fixed point ตามต้องการ

CASE 2: g(a) น a และ g(b) น b

เห็นได้โดยง่ายว่า f(x)= g(x) - x ต่อเนื่องบน [a,b]

เพราะ $ g(x) \in [a,b] $ ดังนั้น f(a) > 0 และ f(b)< 0

ผนวกกับ intermediate value theorem ทำให้ มี c ฮ(a,b) ซึ่ง f(c)=0 และ imply g(c)=c

เท่ากับว่า c เป็น fixed point ที่ต้องการ

ส่วนข้อ 1 ถ้าผมจำไม่ผิด ใช้หลักการที่ว่า det(A) เท่ากับผลคูณ eigenvalues ที่นับ multiplicity ก็น่าจะเพียงพอนะครับ