Mathcenter Contest Round 1/2011 Longlist

[nongtum]

ครั้งนี้มีแต่ไฟล์นะครับ

pdf file

[banker]

คำตอบของผม สงสัยผิดอานเลย

มัธยมต้น ตอนที่ 1

ข้อ1. ตอบ -222

ข้อ2. ตอบ 9 ตารางหน่วย

ข้อ3. ตอบ มีหลายคำตอบ {a, b} = {1,2}, {2,1}, {1,5}, {5,1}, {1,10}, {10,1}, {1,17}, {17,1}, {1,26}, {26,1}, {1,37}, {37,1}, ...
{2,5}, {5,2},

ข้อ4. ตอบ

ข้อ5. ตอบ 123

ข้อ6. ตอบ $\frac{\sqrt{3} }{4} \times 181^2 \ $ตารางหน่วย (x=y=z = 181 = สามเหลี่ยมด้านเท่า)

ข้อ7. ตอบ $\frac{19}{4}- 2\sqrt{5} \ $หรือ$ \ \approx 0.277864 \ $ ตารางหน่วย

ข้อ8. ตอบ 6492

ข้อ9. ตอบ $\frac{9}{2}$ หรือ 4.5 (ส่วนอีกคำตอบ 2 นั้นไม่เป็นจริงในเงื่อนไข a>b>c>d>0)

ข้อ10. ตอบ 441

ข้อ11. ตอบ a+b+c = 6+2+1 = 9

ข้อ12. ตอบ $\frac{k^4+24k+16}{4k(4+k^2)}$

ข้อ13. ตอบ = $999^2$ หรือ $998001 $

ข้อ14. ตอบ xyz = 1

[banker]

มัธยมต้น ตอนที่ 2





อย่างละ 2 ตัว $ \ \frac{M}{N} = \frac{1001}{1001} = \frac{7\times 11 \times 13}{7\times 11 \times 13} = \frac{1}{1} = \frac{a}{b} \to a+b = 2$

อย่างละ 3 ตัว $ \ \frac{M}{N} = \frac{100011}{110001} = \frac{3\times 17 \times 37 \times 53}{3\times 37 \times 991} = \frac{ 901}{ 991} = \frac{a}{b} \to a+b = 1892$

อย่างละ 4 ตัว $ \ \frac{M}{N} = \frac{10000111}{11100001} = \frac{11
\times101 \times 9001}{11\times 97 \times 101 \times 103 } = \frac{9001}{9991} = \frac{a}{b} \to a+b = 18992$

อย่างละ 5 ตัว $ \ \frac{M}{N} = \frac{1000001111}{1111000001} = \frac{41\times
271 \times 90001}{41\times 271 \times 99991} = \frac{90001}{99991} = \frac{a}{b} \to a+b = 189992$


อย่างละ 6 ตัว $ \ \frac{M}{N} = \frac{100000011111}{111110000001} = \frac{3\times 7 \times 11 \times 13 \times 37 \times 900001}{3\times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 37 \times 59 \times 997} = \frac{900001}{999991}
= \frac{a}{b} \to a+b =1899992$
.
.
.

อย่างละ 1001 ตัว $ \ \ a+b =18$\(\overbrace{999\cdots999}^{เลข9 จำนวน 999 ตัว}\)$2$

ผลบวกเลขโดดของ a+b เท่ากับ 1+8+9(999) +2 = 9002



ตอนที่ 2 ทำได้ข้อเดียว แต่ข้อเดียว ถ้าถูก ก็ดีใจโคตรๆแล้วแหละที่ทำของScylla_Shadow ได้

[banker]

มัธยมต้น ตอนที่ 1

2. สี่เหลี่ยม $ABCD$ มี $\angle DAB = 60^\circ ,\angle ABC = 90^\circ,\angle BCD = 120^\circ$
เส้นทแยงมุม $AC$ และ $BD$ ตัดกันที่จุด $M$ ถ้า $MB =1 ,MD = 2$ จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม $ABCD$

(เสนอโดย คุณ Influenza_Mathematics)

สามเหลี่ยม $ ADB \ \ \ \frac{BD}{sin 60^\circ } = \frac{AD}{sin q^\circ } = \frac{3}{\frac{\sqrt{3} }{2}} = 2\sqrt{3} $

แต่ $sin q^\circ = \frac{AD}{AB} \ \ \ $ (สามเหลี่ยม ACD มี ADC เป็นมุมฉาก)

ดังนัี้น $\frac{AD}{sin q^\circ} = \frac{AD}{\frac{AD}{AB}} = 2\sqrt{3} ---> AC = 2\sqrt{3} = $เส้นผ่าศูนย์กลางวงกลม

ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม เชื่อม $OD, OB$

จะได้ BOD เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว MOB = 30 องศา



เพราะว่า ABCD แนบในวงกลม (มุมตรงข้ามรวมกันเท่ากับ 180 องศา)


$AM \cdot MC = DM \cdot MB$


$(\sqrt{3} + OM)(\sqrt{3} - OM) = 2$

$OM = 1 ---> $มุม $MOB = 30 $องศา ----> มุม DOC = 90 องศา ---> ACD เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

พื้นที่สามเหลี่ยม $ ACD = \frac{1}{2} (2\sqrt{3})^2 = 6$ ตารางหน่วย

พื้นที่สามเหลี่ยม $ABC = 3 $ ตราางหน่วย

พื้นที่สี่เหลี่ยม ABCD = 6+3 = 9 ตารางหน่วย

[banker]

มัธยมต้น ตอนที่ 1

3. จงหาจำนวนเต็มบวก $a,b$ ทั้งหมดที่ $\sqrt{a-1} +\sqrt{b-1} =\sqrt{ab-1}$

(เสนอโดย คุณ Influenza_Mathematics)

ถ้าเราให้ a = 1 จะได้ $ 0+ \sqrt{b-1} =\sqrt{b-1}$

นั่นคือ $b = n^2+1 \ $ เช่น

$b = 2^2+1 \ $ จะได้ $\sqrt{5-1} =\sqrt{5-1} \ \ \ ----> 2 = 2$

$b = 3^2+1 \ $ จะได้ $\sqrt{10-1} =\sqrt{10-1} \ \ \ ----> 3 = 3$

จะได้ {a,b} ไม่จำกัด

ทำนองเดียวกัน ถ้าให้ b =1 ก็จะได้ {a,b} ไม่จำกัด

{a, b} = {1,2}, {2,1}, {1,5}, {5,1}, {1,10}, {10,1}, {1,17}, {17,1}, {1,26}, {26,1}, {1,37}, {37,1}, ...

อย่างไรก็ตาม อีกค่าที่เป็นไปได้ คือ {a,b} = {2,5}, {5,2}

[banker]

มัธยมต้น ตอนที่ 1

5. จงหาสามหลักสุดท้ายของ $\displaystyle\sum_{k=0}^3 a^k+b^k+c^k$ เมื่อ กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ
$$x^3-543x^2+2011x-2554=0$$
(เสนอโดย คุณ จูกัดเหลียง)

$a,b,c$ เป็นรากของสมการ จะได้

$(x-a)(x-b)(x-c) = 0$

$x^3-(a+b+c)x^2 +(ab+ac+bc)x -abc =0$ เทียบสปส กับ $x^3-543x^2+2011x-2554=0$ จะได้

$a+b+c = 543$ .....(1)

$ ab+ac+bc =2011$ .....(2)


$abc = 2554$ .....(3)

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 +2(ab+ac+bc)$

$a^2+b^2+c^2 = 543^2 -2(2011) = 290827$ ...(4)

$(a+b+c)^3 = a^3+3 a^2 b+3 a^2 c+3 a b^2+6 a b c+3 a c^2+b^3+3 b^2 c+3 b c^2+c^3$

$543^3 = a^3+b^3+c^3 + 6abc + 3ab(a+b) + 3ac(a+c) +3bc(b+c)$

$160103007 = a^3+b^3+c^3 + 6abc + 3ab(543-c) + 3ac(543-b) +3bc(543-a)$


$160103007 = a^3+b^3+c^3 + 6abc + 3\cdot 543ab -3abc + 3\cdot 543ac -3abc +3\cdot 543bc -3abc$


$160103007 = a^3+b^3+c^3 - 3abc + 3\cdot 543(ab+bc+ca)$

$160103007 = a^3+b^3+c^3 - 3\cdot 2554 + 3\cdot 543(2011)$


$ a^3+b^3+c^3 = 160103007 + 7662 - 3275919 = 156834750$ ...(5)


$\displaystyle\sum_{k=0}^3 a^k+b^k+c^k = (a^3+b^3+c^3) + (a^2+b^2+c^2) + (a+b+c) +(a^0+b^0+c^0)$


$ = 156834750 +290827 +543 + 3 = 157126123$

สามหลักสุดท้ายคือ 123

[banker]

มัธยมต้น ตอนที่ 1

6. กำหนดให้ $x,y,z$ เเทนความยาวด้านของสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $$(x^2-xy)(x-y)+(y^2-yz)(y-z)+(z^2-zx)(z-x)=0$$ เเละมีความยาวรอบรูปเท่ากับ $543$ หน่วย จงหา พื้นที่ของสามเหลี่ยมรูปนี้
(เสนอโดย คุณ จูกัดเหลียง)

เนื่องจากด้านซ้าย มี 3 จำนวน ซึ่งเมื่อรวมกันเท่ากับ 0

ดังนั้นแต่ละจำนวนจึงเป็น 0

จะได้ x = y = z

แต่ x+y+z = 543

ดังนั้น x = y = z = 181

สามเหลี่ยมนี้เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า มีด้านยาวด้านละ 181 หน่วย

พื้นที่จึงเท่ากับ $\frac{\sqrt{3} }{4} \cdot 181^2 $ตารางหน่วย

[banker]

มัธยมต้น ตอนที่ 1

7. จากภาพ มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD สี่เหลี่ยมจัตุรัส CEFG และความยาวรอบรูปของหกเหลี่ยม ABEFGD มีค่าเป็น 2 หน่วย
ต่อ FC ไปทาง C ถึง M ทำให้ $MA=MB=MF$ แล้วพื้นที่ของหกเหลี่ยม ABFGMD มีค่าเท่าไร

(เสนอโดย คุณ Scylla_Shadow)

เส้นรอบรูปยาว 2

$4x +2y =2$

$2x+y =1 ----> y = 1-2x$ ......(1)


ฺ$BM^2 = \frac{x^2}{4} + (\frac{3x}{2})^2 = \frac{10x^2}{4} $ ....(2)

ฺ$FM^2 = 2(\frac{x}{2}+y)^2 = \frac{x^2}{2} +2xy + 2y^2 $ ....(3) (สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว FMN)

(2)=(3) $ \ \ \ \frac{10x^2}{4} = \frac{x^2}{2} +2xy + 2y^2$

$x^2 = xy + y^2$

จาก (1) แทนค่า $ \ \ x^2 = x(1-2x) + (1-2x)^2$

$ x^2 -3x +1 = 0$

$x = \frac{1}{2}(3-\sqrt{5} )$ ....(4)

$ y = \sqrt{5} -2 $ .....(5)


พื้นที่ของหกเหลี่ยม ABFGMD = จัตุรัส x + จัตุรัส y + เขียว + เหลือง

= $x^2 + y^2 +\frac{1}{2}y(x-y) + \frac{1}{2}\cdot \frac{x}{2}(x+y)$

= $\dfrac{5x^2+3xy+2y^2}{4}$


แทนค่า x, y จะได้ $\frac{19}{4}- 2\sqrt{5} \approx 0.277864 \ $ตารางหน่วย

[banker]

มัธยมต้น ตอนที่ 1

9. กำหนดให้ $a > b > c>d>0$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} = \frac{13}{2}$$
$$\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{d}+\frac{d}{b} = 9$$
จงหา $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

ให้ $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d} = m \ \ \ \ \ \dfrac{b}{c}+\dfrac{d}{a} = n$

จะได้ $m +n = \dfrac{13}{2}$

และ $mn = 9$

แก้สมการ จะได้ $m = 2, \ \ \dfrac{9}{2}$


แต่คำตอบ 2 ขัดแย้งกับเงื่อนไข $a > b > c>d>0$

จึงมีคำตอบเดียวคือ $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d} = \dfrac{9}{2}$

[banker]

มัธยมต้น ตอนที่ 1

11. ให้ $a,b,c\in \mathbb{N}$ จงหาค่าของ $a+b+c$ ถ้า $(1+\dfrac{8}{a^2})(1+\dfrac{8}{b^2})(1+\dfrac{8}{c^2})=33$

(เสนอโดย คุณ Real Matrik)

$(1+\dfrac{8}{a^2})(1+\dfrac{8}{b^2})(1+\dfrac{8}{c^2})=33 = 11 \times 3 \times 1 $

$(1+\dfrac{8}{\color{red}{6^2}})(1+\dfrac{8}{\color{red}{2^2}})(1+\dfrac{8}{\color{red}{1^2}}) = (\frac{44}{36})( \frac{12}{4})( \frac{9}{1})= 33 $

$a+b+c = 6+2+1 = 9$


ข้างล่างนี้ เจ้าของคำถามมาเฉลยเอง

[banker]

มัธยมต้น ตอนที่ 1

12. กำหนดให้ $\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = k$ จงหาค่าของ $\dfrac{x^8-y^8}{x^8+y^8}+\dfrac{x^8+y^8}{x^8-y^8}$ ในรูปของ $k$

(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)

$\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = k$

$(x^2+y^2)^2 + (x^2-y^2)^2 = k(x^2-y^2)(x^2+y^2)$

$(x^4+y^4+2x^2y^2) +(x^4+y^4-2x^2y^2) = k(x^4-y^4)$

$2x^4+2y^4 = kx^4-ky^4$


$ 2x^4-kx^4 = -ky^4-2y^4$

$x^4(2-k) = -(2+k)y^4$

$x^4 = \frac{k+2}{k-2}y^4$

แทนค่า x ใน$\dfrac{x^8-y^8}{x^8+y^8}+\dfrac{x^8+y^8}{x^8-y^8}$

$ = \dfrac{( \frac{k+2}{k-2}y^4)^2 - y^8}{(\frac{k+2}{k-2}y^4)^2 + y^8} + \dfrac{(\frac{(k+2}{k-2}y^4)^2 + y^8}{(\frac{k+2}{k-2}y^4)^2 - y^8} $

$ = \dfrac{( \frac{k+2}{k-2})^2 - 1}{(\frac{k+2}{k-2})^2 + 1} + \dfrac{(\frac{k+2}{k-2})^2 + 1}{(\frac{k+2}{k-2})^2 - 1} $

$\dfrac{\frac{k^2+4k+4}{k^2-4k+4}-1}{\frac{k^2+4k+4}{k^2-4k+4}+1} +

\dfrac{\frac{k^2+4k+4}{k^2-4k+4}+1}{\frac{k^2+4k+4}{k^2-4k+4}-1}$


$ = \dfrac{k^2+4k+4-k^2+4k-4}{k^2+4k+4+k^2-4k+4} + \dfrac{k^2+4k+4+k^2-4k+4}{k^2+4k+4-k^2+4k-4}$

$ = \dfrac{4k}{k^2+4} + \dfrac{k^2+4}{4k}$

$= \dfrac{k^4+24k^2+16}{4k(k^2+4)}$

[banker]

มัธยมต้น ตอนที่ 1

13. จงหาค่าของ
$$\genfrac{}{}{2pt}{}{\dfrac{1\times 2\times 3}{1000}+\dfrac{2\times 3\times 4}{1000}+\dfrac{3\times 4\times 5}{1000}+\cdots+\dfrac{998\times 999\times 1000}{1000}}{\dfrac{1000}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1000}{2\times 3\times 4}+\dfrac{1000}{3\times 4\times 5}+\cdots+\dfrac{1000}{998\times 999\times 1000}}$$
(เสนอโดย คุณ Scylla_Shadow)

$=
\dfrac{1}{1000} \times \dfrac{1}{1000} \times \dfrac
{ (1\times 2\times 3)+(2\times 3\times 4)+(3\times 4\times 5)+ ... + (998\times 999\times 1000) }
{ (\dfrac{1}{1\times 2\times 3)} +(\dfrac{1}{2\times 3\times 4})+(\dfrac{1}{3\times 4\times 5})+ ... + (\dfrac{1}{998\times 999\times 1000}) }$


ดูตัวเศษก่อน
$\because \ \ (1\times 2\times 3)+(2\times 3\times 4)+(3\times 4\times 5)+ ... + (n\times (n+1)\times (n+2)) = \dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

$\therefore \ \ (1\times 2\times 3)+(2\times 3\times 4)+(3\times 4\times 5)+ ... + (998\times 999\times 1000) = \dfrac{998(999)(1000)(1001)}{4} $



ตัวส่วน
$(\dfrac{1}{1\times 2\times 3)} +(\dfrac{1}{2\times 3\times 4})+(\dfrac{1}{3\times 4\times 5})+ ... + (\dfrac{1}{(n-2)\times (n-1)\times n}) $

$ = \dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{(n-1)n}\right]$

$ = \dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{(999)1000} \right]$



$ = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{(1000 \cdot 999 - 2)}{1000 \cdot 999}$


$ \dfrac{เศษ}{ส่วน} = \dfrac{1}{1000} \cdot \dfrac{1}{1000} \cdot \dfrac{998\cdot999\cdot 1000 \cdot1001 \cdot 1000 \cdot 999}{1000 \cdot 999 -2} $

$ = \dfrac{998\cdot999 \cdot1001 \cdot 999}{1000 \cdot 999 -2} $

$ = \dfrac{998\cdot999 \cdot1001 \cdot 999}{998998}$

$ = \dfrac{998\cdot999 \cdot 999}{998}$

$ = 999^2 = 998001$

[banker]

มัธยมต้น ตอนที่ 1

14. กำหนดให้ $a , b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $2a=b+c$ และ $2a^3=b^3+c^3$ ถ้า $\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}=x+y\sqrt{z}$ เมื่อ $x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าของ $xyz$

(เสนอโดย คุณ คุณ Scylla_Shadow)

$2a = b+c$

$4a^2 = b^2+c^2+2bc$

$8a^3 = b^3+bc^2+ 2b^2c+ b^2c+c^3+2bc^2$

$6a^3 = 3(b^2c+bc^2)$

$2a^3 = bc(b+c) = bc \cdot 2a$

$a^2 = bc$


$ \because \ \ \ \frac{b}{c} + \frac{c}{b} = \frac{b^2+c^2}{bc} = \frac{4a^2-2bc}{bc} = \frac{4a^2}{a^2} - 2 = 2$

$x+y\sqrt{z} = 2$

แต่โจทย์กำหฟนด $x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น

$x+y\sqrt{z} = 2 = 1 +1 = 1+1\sqrt{1} $

$xyz = 1 \times 1 \times 1 = 1$


ในห้องสอบก็มั่วๆอย่างนี้แหละ

[banker]

ถ้าผิด ถ้ามั่ว เดี๋ยวท่านผู้รู้ กูรู ทั้งหลาย คงมาชี้แนะให้เอง

อย่ากลัวผิด อย่าอาย (กว่าจะมาเป็นเทพฯ)ทุกคนเคยผิดมาแล้วทั้งนั้น


ผิดที่นี่ แก้ไขได้ ปรับปรุงได้ เรียนรู้ได้

แต่ไปผิดในห้องสอบเตรียมฯ หรือ ห้องสอบมหิดลนุสรณ์ฯ จะไม่ไมีโอกาสแก้ตัว

[Real Matrik]

เฉพาะของผมครับ

คลิก