Mathcenter Contest Round 1/2011 Longlist

[No.Name]

ข้อไหนหรือครับ ??

ผมคิดว่าคุณ banker น่าจะได้เต็มๆ เลยนะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

ข้อไหนหรือครับ ??

ผมคิดว่าคุณ banker น่าจะได้เต็มๆ เลยนะครับ

มัธยมต้น ตอนที่ 1 ข้อ 10 กับ 12

[-InnoXenT-]

ข้อ 11.

จงหาสมการทั่วไปของ พาราโบลาเอียงในระบบพิกัดฉาก

My Solution

นิยามของพาราโบลาคือ เซตของจุด A ซึ่ง ทุกๆจุดในจุด A มีระยะห่างระหว่างจุดจุดหนึ่ง(จุดโฟกัส) กับ ระยะห่างระหว่างเส้นตรงเส้นหนึ่ง(เส้นไดเรกตริกซ์) มีค่าเท่ากัน กำหนด จุด $(h,k)$ เป็นจุดโฟกัส และเส้นตรง $ax+by+c =0$ เป็นเส้นไดเรกตริกซ์

$\displaystyle{\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}} = \frac{\left| ax+by+c\,\right| }{\sqrt{a^2+b^2}}$
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
$\displaystyle{(x^2-2hx+h^2+y^2-2ky+k^2)(a^b+b^2)=a^2x^2+b^2y^2+c^2+2acx+2bcy+2abxy}$
จะได้สมการตามต้องการ
$\displaystyle{b^2x^2+a^2y^2-2(h+ac)x-2(k+bc)y+h^2+k^2-c^2-2abxy = 0}$

จัดรูปนิดหน่อย จะได้

$\displaystyle{(bx-ay)^2-c(c+2ax+2by)-h(2x-h)-k(2y-k) = 0}$

หมายเหตุ : ค่าคงที่อาจเปลี่ยนแปลงได้

[No.Name]

ใครที่ทำข้อ 4-5 ได้วิธีทำ ม.ปลายได้ ช่วยเฉลยหน่อยได้ไหมครับ

อยากรู้มากๆเลย

[-InnoXenT-]

ข้อ ม.ปลาย รอประกาศคะแนนก่อนละกันครับ ให้คิดไปก่อน

[Amankris]

#34

Hint_4

$(i^2+i+1)i!=[(i+2)!-(i+1)!]-[(i+1)!-i!]$

Hint_5

$(2^x-3)(3^x-2)(2^x-3^x)=0$

Edited : อ่าว นี่มันเติมคำตอบนี่หว่า >_<

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ถ้าเราให้ a = 1 จะได้ $ 0+ \sqrt{b-1} =\sqrt{b-1}$

นั่นคือ $b = n^2+1 \ $ เช่น

$b = 2^2+1 \ $ จะได้ $\sqrt{5-1} =\sqrt{5-1} \ \ \ ----&gt; 2 = 2$

$b = 3^2+1 \ $ จะได้ $\sqrt{10-1} =\sqrt{10-1} \ \ \ ----&gt; 3 = 3$

จะได้ {a,b} ไม่จำกัด

ทำนองเดียวกัน ถ้าให้ b =1 ก็จะได้ {a,b} ไม่จำกัด

{a, b} = {1,2}, {2,1}, {1,5}, {5,1}, {1,10}, {10,1}, {1,17}, {17,1}, {1,26}, {26,1}, {1,37}, {37,1}, ...

อย่างไรก็ตาม อีกค่าที่เป็นไปได้ คือ {a,b} = {2,5}, {5,2}

ของผมมีอีกคู่นะครับ คือ(3,3)

[No.Name]

#36

ผมไม่เข้าใจ hint ที่คุณ Amankris ให้มาน่ะครับ งงมากว่าเริ่มตรงไหน

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ๛Cachy?Schwarz๛

ของผมมีอีกคู่นะครับ คือ(3,3)

อันนี้หาอย่างไรหรือครับ

[Cachy-Schwarz]

รู้สึกผมก็นั่งยกกำลังสองเเล้วกระจายเลยนะครับ

[No.Name]

ผมคิดว่ามันน่าจะแบ่งกรณีแบบนี้นะครับ

$a=b$ และ $a\not= b$

กรณีที่ a=b ก็จะมี 3 กับ 1

คิดว่าเฉลยน่าจะประมาณนี้นะครับ หรือไม่ของผมก็น่าจะมั่ว

[Cachy-Schwarz]

อ๋อใช่ครับผมลืมไป มีกรณี (1,1) อีกตัว ผมคิดว่ามันรวมอยู่ในกรณี (1,...) ของคุณ Banker แล้ว
ขออภัยทุกท่านครับ
เป็นความผิดพลาดของข้าพเจ้าเองที่มองผิดไปๆ

[Influenza_Mathematics]

จงหาจำนวนเต็มบวก $a,b$ ทั้งหมดที่ $\sqrt{a-1} +\sqrt{b-1} =\sqrt{ab-1} $

วิธีทำ $\sqrt{a-1} +\sqrt{b-1} =\sqrt{ab-1} ---(1) $
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง $a-1+b-1+2\sqrt{(a-1)(b-1)} = ab-1$

$2\sqrt{(a-1)(b-1)} = (a-1)(b-1)$

ให้ $\sqrt{(a-1)(b-1)} = x$
$2x = x^2$
$x= 0,2$

case 1.$\sqrt{(a-1)(b-1)} = 0$
จะได้ $b=1$ หรือ $a = 1$
case 1.1 $a=1$ แทนกลับใน (1)
$\sqrt{b-1} =\sqrt{b-1}=k $
จะได้ $b-1 = k^2 , b = k^2+1$
case 1.2 $b=1$ เหมือน 1.1 (ในทำนองเดียวกัน) $a=k^2+1$
(ทั้ง 1.1 ,1.2 $k \in \mathbb{Z} $)

case 2 $\sqrt{(a-1)(b-1)} = 2$
$(a-1)(b-1) = 4$
สามารถหาคำตอบไม่ยากโดย $a,b \in \mathbb{N} $
จะได้ $(a,b) = (5,2),(3,3),(2,5)$

คำตอบทั้งหมดของโจทย์ คือ $(a,b) = (5,2),(3,3),(2,5),(1,k^2+1),(k^2+1,1)$

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

จงหาจำนวนเต็มบวก $a,b$ ทั้งหมดที่ $\sqrt{a-1} +\sqrt{b-1} =\sqrt{ab-1} $

วิธีทำ $\sqrt{a-1} +\sqrt{b-1} =\sqrt{ab-1} ---(1) $
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง $a-1+b-1+2\sqrt{(a-1)(b-1)} = ab-1$

$2\sqrt{(a-1)(b-1)} = (a-1)(b-1)$

ให้ $\sqrt{(a-1)(b-1)} = x$
$2x = x^2$
$x= 0,2$

case 1.$\sqrt{(a-1)(b-1)} = 0$
จะได้ $b=1$ หรือ $a = 1$
case 1.1 $a=1$ แทนกลับใน (1)
$\sqrt{b-1} =\sqrt{b-1}=k $
จะได้ $b-1 = k^2 , b = k^2+1$
case 1.2 $b=1$ เหมือน 1.1 (ในทำนองเดียวกัน) $a=k^2+1$
(ทั้ง 1.1 ,1.2 $k \in \mathbb{Z} $)

case 2 $\sqrt{(a-1)(b-1)} = 2$
$(a-1)(b-1) = 4$
สามารถหาคำตอบไม่ยากโดย $a,b \in \mathbb{N} $
จะได้ $(a,b) = (5,2),(3,3),(2,5)$

คำตอบทั้งหมดของโจทย์ คือ $(a,b) = (5,2),(3,3),(2,5),(1,k^2+1),(k^2+1,1)$

ใช่เลยครับๆ ต้องเป็นเจ้าของโจทย์มาเคลียร์

[Influenza_Mathematics]

ข้อ 8 แสดงวิธีืทำ ม.ปลาย ข้อระบบสมการอะครับ (ตาม longlist)

[-InnoXenT-]

ม.ปลาย วิธีทำ ข้อ 8.

เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหา $(x,y,z)$ ที่เป็นบวกของระบบสมการ

$$(2n+1)(x+\frac{1}{x}) = (2n^2+2n)(y+\frac{1}{y}) = (2n^2+2n+1)(z+\frac{1}{z})$$
$$xy+yz+zx = 1$$

My Solution

กำหนดให้ $\displaystyle{x = \tan{A},y=\tan{B},z=\tan{C}}$

จากสมการที่ 2 จะได้

$\displaystyle{\tan{A}\tan{B}+\tan{B}\tan{C}+\tan{C}\tan{A} = 1}$

และ จากสูตรผลบวก

$\displaystyle{\tan{(A+B+C)} = \frac{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}-\tan{A}\tan{B}\tan{C}}{1-\tan{A}\tan{B}+\tan{B}\tan{C}+\tan{C}\tan{A}}}$

จะรู้ว่า $\displaystyle{A+B+C = \frac{\pi}{2}}$
$\displaystyle{2A+2B+2C = \pi}$

จากสมการที่หนึ่ง

$\displaystyle{(2n+1)(\tan{A}+\frac{1}{\tan{A}}) = (2n^2+2n)(\tan{B}+\frac{1}{\tan{B}}) = (2n^2+2n+1)(\tan{C}+\frac{1}{\tan{C}})}$

คูณด้วย 1/2 ทั้งสมการ และจัดรูปนิดหน่อยจะได้

$\displaystyle{(2n+1)(\frac{1+\tan^2{A}}{2\tan{A}}) = (2n^2+2n)(\frac{1+\tan^2{B}}{2\tan{B}}) = (2n^2+2n+1)(\frac{1+\tan^2{C}}{2\tan{C}})}$
ดังนั้น
$\displaystyle{\frac{2n+1}{\sin{2A}} = \frac{2n^2+2n}{\sin{2B}}} = \frac{2n^2+2n+1}{\sin{2C}}$ --(*)

และจาก $\displaystyle{2A+2B+2C = \pi}$ แสดงว่า มีสามเหลี่ยมรูปหนึ่งที่ประกอบไปด้วย มุมขนาด 2A,2B และ 2C

พิสูจน์ไม่ยากว่า $\displaystyle{(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2 = (2n^2+2n+1)^2}$ ดังนั้นสามเหลี่ยมที่ว่านั้น เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

$\displaystyle{\sin{2C} = \sin{90^{\circ}}}$
$\displaystyle{C = 45^{\circ}}$
$\displaystyle{z = \tan{C} = \tan{45^{\circ}} = 1}$

$\displaystyle{\sin{2B} = \frac{2n^2+2n}{2n^2+2n+1}}$
$\displaystyle{\frac{2\tan{B}}{1+\tan^2{B}} = \frac{2n^2+2n}{2n^2+2n+1}}$
$\displaystyle{(2n^2+2n)\tan^2{B} -2(2n^2+2n+1)\tan^2{B}+(2n^2+2n) = 0}$
$\displaystyle{(n\tan{B}-(n+1))((n+1)\tan{B}-n) = 0}$
$\displaystyle{y = \tan{B} = \frac{n}{n+1}}$ เพราะถ้าใช้ $\tan{B} = \frac{n+1}{n}$ จะได้ค่า $x$ เป็นลบ ซึ่งโจทย์ไม่ต้องการ

แทนค่า $z,y$ ลงในสมการที่ 2

จะได้ $\displaystyle{x(\frac{n}{n+1})+\frac{n}{n+1} + x = 1}$
$\displaystyle{\frac{2n+1}{n+1}x = \frac{1}{n+1}}$

$\displaystyle{x = \frac{1}{2n+1}}$

คำตอบของสมการที่เป็นบวกคือ $\displaystyle{(x,y,z) = (\frac{1}{2n+1},\frac{n}{n+1},1)}$