Mathcenter Contest Round 0 Longlist

[nongtum]

การแข่งขันครั้งนี้ มีโจทย์ส่งมาทั้งหมด 17 ข้อ แต่เลือกมาแข่ง 6 ข้อ
รายละเอียดอื่นๆเกี่ยวกับผลคะแนน และสิ่งที่คาดว่าจะทำในรอบถัดไป หรือข้อปรับปรุงอื่นๆ จะแจ้งให้ทราบพร้อมผลคะแนนนะครับ

หมดเวลาการแข่งขันรอบ 0 แล้ว ตอนนี้เชิญชวนสมาชิกทุกท่านลุยโจทย์ใน longlist ได้ ณ บัดนี้
อ้อ ไม่มีคะแนนนะครับ อยากตอบข้อไหนก็ตอบในกระทู้นี้ได้เลยนะครับ

longlist

หมายเหตุ: โจทย์ที่ใช้ในการแข่งขันคือข้อ 1,2,6,9,10,11

1. รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีเส้นรอบรูปยาว $2s$ ให้ $R,r,S$ เป็นรัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ รัศมีวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $ABC$ และพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ ตามลำดับ และผลบวกของส่วนกลับของความยาวด้านแต่ละด้านมีค่าไม่เกิน $1$ (นั่นคือ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 1$)
จงพิสูจน์ว่า $$Rr >\ (\frac{3}{2s})^3\sqrt{2S^3}$$
(เสนอโดยคุณ owlpenguin แต่งโจทย์เอง)


2. ให้ $a,$ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ จงพิสูจน์ว่า $$\frac {a}{a^3 + b^2 + c + 3} + \frac {b}{b^3 + c^2 + a + 3} + \frac {c}{c^3 + a^2 + b + 3}\leq\frac {1}{2}$$
(เสนอโดยคุณ dektep จากกระทู้ http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=201004 )


3. จงหาจำนวนจริง $a$ ทั้งหมดที่ทำให้ $$\displaystyle \left\lfloor\ \frac{a}{2} \right\rfloor+\left\lfloor\ \frac{a}{3} \right\rfloor+\left\lfloor\ \frac{a}{5} \right\rfloor = a $$
(เสนอโดยคุณ Art_ninja จาก Canadian MO 1998)


4. ให้ $a,b,c>0$ โดยที่ $abc=1$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a^5b}{a+1}+\frac{b^5c}{b+1}+\frac{c^5a}{c+1}\geq\frac{3}{2}$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii แต่งโจทย์เอง)


5. ถ้า $\mu^{13}=1 $ and $\mu\not=1$ จงหาสมการกำลังสองที่มีรากเป็น

$\qquad\qquad\mu+\mu^3+\mu^4+\mu^{-4}+\mu^{-3}+\mu^{-1}\qquad$ และ $\qquad\mu^2+\mu^5+\mu^6+\mu^{-6}+\mu^{-5}+\mu^{-2}$

(เสนอโดยคุณ kanakon จาก Mathematics Olympiad ,Rajeev Manocha)


6. กำหนด $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$ นิยามโดย $f(x)=(x+1)x^{(x-1)^{-1}}$
จงหาค่าของ $f(2008)f(\displaystyle{\frac{1}{2551}})-f(2551)f(\displaystyle{\frac{1}{2008}})$

(เสนอโดยคุณ Mathophile ดัดแปลงจากโจทย์ในหนังสือ "ลูกเล่น" คณิตศาสตร์ (หน้า 281) โดย สุทธิพจน์ สุปัญญาโชติสกุล)


7. ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ต่อ AD ออกไปทาง D ไปยัง E ทำให้ BE ตัดกับ CD ที่ F และตัดกับ AC ที่ G ถ้า EG=32 และ EF=24 จงหา BG

(เสนอโดยคุณ aorn ไม่ทราบที่มาของโจทย์)


8. วงกลม $k_1$ และ $k_2$ ซึ่งมีจุดศูนย์กลาง $O_1$ และ $O_2$ ตามลำดับ สัมผัสกันภายนอกที่จุด $C$
ให้วงกลม $K$ ซึ่งมีจุดศูนย์กลาง $O$ สัมผัสกับวงกลมทั้งสองและ $l$ เป็นเส้นสัมผัสร่วมของ $k_1$ และ $k_2$
ณ จุด $C$ และให้ $AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม $O$ โดยที่ $AB \perp l$
จงพิสูจน์ว่า $AO_2,BO_1,l$ ตัดกันที่จุด ๆ เดียว

(เสนอโดยคุณ Erken จาก http://www.imomath.com/index.php?opt...n=Bulgaria&p=0
และ http://www.imomath.com/othercomp/Bul/BulMO396.pdf )


9. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดซึ่งมีสมบัติต่อไปนี้
(i) $100 \leq n \leq 400$
(ii) $n$ กับ $2551n$ มีสามหลักสุดท้ายเหมือนกัน
(iii) $n$ มีตัวประกอบบวกทั้งหมด $12$ จำนวน

(เสนอโดยคุณ หยินหยาง ไม่ทราบที่มาของโจทย์)


10. จงพิสูจน์ว่า $$\tan\,50^{\circ}\,\tan\,60^{\circ}\,\tan\,70^{\circ} = \tan\,80^{\circ}$$
(เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan ไม่ทราบที่มาของโจทย์)


11. ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ จงหาจำนวนสับเซต $A\subset\{ 1,2,\dots,2n \}$ ที่ไม่มีสมาชิกสองตัว $x,y$ ใดใน $A$ ที่ทำให้ $x+y=2n+1$

(เสนอโดยคุณ nongtum จาก Swiss MO 2006 รอบคัดเลือก)


12. ให้ $a, b, c > 0$ โดยที่ $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3abc$
จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a}{b^{2}c^{2}} + \frac{b}{c^{2}a^{2}} + \frac{c}{a^{2}b^{2}}\geqslant \frac{9}{a+b+c}$$

(เสนอโดยคุณ CmKaN ไม่ทราบที่มาของโจทย์)


13. $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับเงื่อนไข $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4$$
จงพิสูจน์ว่า $$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}}\le 2(a+b+c+d)-4$$

(เสนอโดยคุณ RoSe-JoKer จาก Poland Second Round 2007 Day 2 ข้อสุดท้าย)


14. กำหนดให้ $x=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{7}-\frac{1}{\sqrt[3]{7}})$ จงหาค่าของ $(x+\sqrt{1+x^2})^{3}$

(เสนอโดยคุณ mercedesbenz จาก MY MATH ฉบับ December 2007)


15. กำหนดให้ $A,B$ เป็นเมตริกซ์มิติ 4 X 4 โดยที่ $A(adj( 2B^{-1} ))- I = B$ และ $\det B = 8$ จงหาค่าของ $\det (A-I)$

(เสนอโดยคุณ gnopy ไม่ทราบที่มาของโจทย์)


16. จงแสดงว่า $$\frac{20}{60}<\sin 20^\circ<\frac{21}{60}$$

(เสนอโดยคุณ Anonymous314 จาก IMO shortlists 1979)


17. วงกลม $C_{1}$ และ $C_{2}$ ตัดกันสองจุดที่ต่างกัน ให้ วงกลม $\omega$ เป็นวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สัมผัสวงกลมทั้งสอง ให้ $r_{1},r_{2},r$ เป็นรัศมีวงกลม $C_{1}$ $C_{2}$ และ $\omega$ ตามลำดับ
จงแสดงว่า $$\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}} >\frac{1}{r} $$

(เสนอโดยคุณ Ipod ไม่ทราบที่มาของโจทย์)

ปล. หวังว่าจะกะเวลาได้ 23:50 น. เป๊ะนะ

[RoSe-JoKer]

รู้สึกว่าโจทย์ของผมจะเป็นอสมการนะ.....
ข้อ 12 อสมการสมมูลกับ
$(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq(a^2+b^2+c^2)^2$

[dektep]

13. http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=3580

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

รู้สึกว่าโจทย์ของผมจะเป็นอสมการนะ.....

ขอบคุณที่ท้วงครับ ผมพิมพ์จากไฟล์ภาพที่โพสต์ไว้นานแล้วแต่ไม่ได้เช็ค แก้ให้แล้วนะครับ

[dektep]

My solution
พิจารณาว่า $a^3+b^2+c+3 = (a^3+1+1)+(b^2+1)+c \geq 3a+2b+c$ โดย $AM-GM$
ดังนั้น
$$\frac {a}{a^3 + b^2 + c + 3} + \frac {b}{b^3 + c^2 + a + 3} + \frac {c}{c^3 + a^2 + b + 3} \leq \sum_{cyclic}\frac{a}{3a+2b+c}$$

จะต้องพิสูจน์ว่า
$$\sum_{cyclic}\frac{a}{3a+2b+c} \leq \frac{1}{2}$$

ซึ่งเป็นจริงก็ต่อเมื่อ
$$-\sum_{cyclic}\frac{a}{3a+2b+c} \geq -\frac{1}{2}$$

$$\leftrightarrow \sum_{cyclic}(\frac{1}{3}-\frac{a}{3a+2b+c}) \geq \frac{1}{2}$$

$$\leftrightarrow \sum_{cyclic}\frac {2b + c}{9a + 6b + 3c} \geq \frac {1}{2}....................(*)$$

จากอสมการ $Cauchy-Schwarz$ จะได้ว่า
$$\sum_{cyclic}\frac {2b + c}{9a + 6b + 3c}=\sum_{cyclic}(\frac {b^2}{9ab + 6b^2 + 3bc} + \frac {b^2}{9ab + 6b^2 + 3bc} + \frac {c^2}{9ac + 6bc + 3c^2})$$

$$\geq \frac {9(a + b + c)^2}{15(a^2 + b^2 + c^2) + 39(ab + bc + ca)} \geq \frac {1}{2}$$

(เพราะว่า $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$)
ดังนั้น $(*)$ เป็นจริง
จะได้ว่า
$$\frac {a}{a^3 + b^2 + c + 3} + \frac {b}{b^3 + c^2 + a + 3} + \frac {c}{c^3 + a^2 + b + 3}\leq\frac {1}{2}$$
ทุก ๆ $a,b,c \in R^+$

[dektep]

ให้ $AC \cap O=U , BC \cap O=V$
$$\because AB \left\Vert\,\right. O_1C$$ และ $$\hat{AOU}=\hat{CO_1U}$$
$$\rightarrow \hat{AUO}=\hat{COU_1}$$ ดังนั้น $O,U,O_1$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
$$\therefore \Delta{OAU} \sim \Delta{O_1UC}$$ นั่นคือ $$\frac{AU}{UC}=\frac{OU}{UO_1}=\frac{r}{r_1}$$
ทำในทำนองเดียวกันใน $O_2$ จะได้ว่า $$\frac{BV}{VC}=\frac{OV}{VO_2}=\frac{r}{r_2}$$
เพราะว่า $CP,BM,AN$ concurrent โดย $Ceva theorem ;$ $$\frac{AJ}{JB}=(\frac{AU}{UC})(\frac{VC}{BV})=\frac{r_2}{r_1}...........(1)$$
สมมติว่า $BO_1$ ตัด $l$ ที่ $X$ และ $AO_2$ ตัด $l$ ที่ $Y$
จาก $\Delta{BXJ} \sim \Delta{XCO_1}$ และ $\Delta{AYJ} \sim \Delta{YCO_2}$
$$\therefore \frac{XC}{XO}=\frac{r_1}{BJ} และ \frac{YC}{YO}=\frac{r_2}{AJ}.......(2)$$
จาก $(1),(2)$ จะได้ว่า $$\frac{XC}{XO}=\frac{YC}{YO}$$
$\therefore X \cong Y$ QED.
http://www.mediafire.com/imageview.p...yixd2z&thumb=4

[dektep]

7. ให้ $BG=x$
$$\Delta{AGE} \sim \Delta{BGC} \rightarrow \frac{x}{32}=\frac{CG}{AG}$$
$$\Delta{CFG} \sim \Delta{ABG} \rightarrow \frac{CG}{AG}=\frac{8}{x}$$
$$\therefore \frac{x}{32}=\frac{8}{x}$$
$$\therefore x^2=256 \rightarrow x=16$$

[dektep]

12. $$a^2+b^2+c^2=3abc \rightarrow \frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}=3$$
โดยอสมการ Cauchy-Schwarz ; $$(a+b+c)(\frac{a}{b^2c^2}+\frac{b}{c^2a^2}+\frac{c}{a^2b^2}) \geq (\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab})^2 =9$$
$$\therefore \frac{a}{b^2c^2}+\frac{b}{c^2a^2}+\frac{c}{a^2b^2} \geq \frac{9}{a+b+c}$$

[dektep]

5. ให้ $A_1=\mu+\mu^3+\mu^4+\mu^{-4}+\mu^{-3}+\mu^{-1}=\mu+\mu^3+\mu^4+\mu^9+\mu^{10}+\mu^{12}$
$A_2=\mu^2+\mu^5+\mu^6+\mu^{-6}+\mu^{-5}+\mu^{-2}=\mu^2+\mu^5+\mu^6+\mu^7+\mu^8+\mu^{11}$
$A_1+A_2=-1$
$A_1\cdot A_2 = -3$
ดังนั้นสมการที่มี $A_1,A_2$ เป็นรากคือ $x^2+x-3=0$

[dektep]

4. $$LHS = \sum_{cyclic}\frac{a^5b}{a+abc}=\sum_{cyclic}\frac{a^4b}{1+bc}=\sum_{cyclic}\frac{a^4b}{abc+bc}$$
$$=\sum_{cyclic}\frac{a^4}{ac+c} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca+a+b+c} $$
จะต้องพิสูจน์ว่า $$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca+a+b+c} \geq \frac{3}{2}$$
$$\longleftrightarrow 2(a^4+b^4+c^4)+4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \geq 3(ab+bc+ca)+3(a+b+c)..........(*)$$
ซึ่งเป็นจริงโดย $$3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \geq 3abc(a+b+c)=3(a+b+c)........(1)$$
และ $$Am-Gm ; 2(a^4+b^4+c^4)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) = \sum_{cyclic}(a^4+a^4+b^2c^2) $$
$$\geq 3\sum_{cyclic}\sqrt[3]{a^8b^2c^2}=3(a^2+b^2+c^2) \geq 3(ab+bc+ca)..........(2)$$
จาก $(1),(2)$ จะได้ว่า $(*)$ เป็นจริง

[Tohn]

ทำข้อ $10.$ ดีกว่า
$\tan 50\tan 60\tan 70=\tan 80$
$\tan 50\tan 60\tan 70\frac{\tan 10}{\tan 10}=\tan 80$
พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $\sin 50\sin 60\sin 70= \frac{1}{8}$
$\cos 50\cos 60\cos 70=\frac{\sqrt{3}}{8}$
แทนลงไปแล้วจะได้ $\frac{1}{\tan 10}=\tan 80$
$\cot 10=\tan 80$

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Tohn

ทำข้อ $10.$ ดีกว่า
$\tan 50\tan 60\tan 70=\tan 80$
$\tan 50\tan 60\tan 70\frac{\tan 10}{\tan 10}=\tan 80$
พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $\sin 50\sin 60\sin 70= \frac{1}{8}$
$\cos 50\cos 60\cos 70=\frac{\sqrt{3}}{8}$
แทนลงไปแล้วจะได้ $\frac{1}{\tan 10}=\tan 80$
$\cot 10=\tan 80$

ถ้าลงแข่งแล้วทำแบบนี้ มีสิทธิ์โดนหักคะแนนกระจุยครับ

เท่าที่ตรวจ หลายคนยังติดสไตล์การตอบแบบเวบบอร์ดไปนิดนิง เลยโดนหักแต้มในส่วนที่ไม่น่าโดนหักนะ น่าเสียดาย

การพิมพ์เครื่องหมายองศา ให้ใช้คำสั่ง ^\circ ครับ

[Tohn]

โอ้ว..ขอบคุณมากคับพี่ nongtum แหะๆ ผมจะพยายามให้ดีกว่านี้ครับ
ข้อ$6.$
$f(x)=(x+1) x^{{x-1}^{-1}}$
แทน $\frac{1}{x} ลงใน f(x)$
จัดรูปต่อ จะเห็นได้ชัดว่า $f(x)=f(\frac{1}{x})$
ดังนั้น
$f(2008)f(\frac{1}{2551})-f(2551)f(\frac{1}{2008})=0$

ปล. ผมต้องขออภัยจริงๆครับ เดี๋ยวไปหัดฝึกพิมพ์มาใหม่

[Heir of Ramanujan]

10. เฉลยวิธีทำของผม
จะพิสูจน์ว่า $tan\,\theta\,tan\,(60^{\circ}-\theta)\,tan\,(60^{\circ}+\theta) = tan\,3\theta$
$\displaystyle{tan\,\theta\,tan\,(60^{\circ}-\theta)\,tan\,(60^{\circ}+\theta) = tan\,\theta\,\left[\frac{tan\,60^{\circ}-tan\,\theta}{1+tan\,60^{\circ}\,tan\,\theta}\right]\,\left[\frac{tan\,60^{\circ}+tan\,\theta}{1-tan\,60^{\circ}\,tan\,\theta}\right]}$
$\displaystyle{= tan\,\theta\,\left[\frac{\sqrt{3}-tan\,\theta}{1+\sqrt{3}\,tan\,\theta}\right]\,\left[\frac{\sqrt{3}+tan\,\theta}{1-\sqrt{3}\,tan\,\theta}\right]}$
$\displaystyle{= tan\,\theta\,\left[\frac{3-tan^2\,\theta}{1-3\,tan^2\,\theta}\right]}$
$\displaystyle{= \frac{3\,tan\,\theta-tan^3\,\theta}{1-3\,tan^2\,\theta} = tan\,3\theta}$

ดังนั้น
$\displaystyle{L.S. = tan\,50^{\circ}\,tan\,60^{\circ}\,tan\,70^{\circ} = \frac{tan\,10^{\circ}\,tan\,(60^{\circ}-10^{\circ})\,tan\,(60^{\circ}+10^{\circ})\,tan\,60^{\circ}}{tan\,10^{\circ}}}$
$\displaystyle{= \frac{tan\,30^{\circ}\,tan\,60^{\circ}}{tan\,10^{\circ}} = \frac{1}{tan\,10^{\circ}} = tan\,80^{\circ} = R.S.}$

[dektep]

11.วิธีทำ แบ่งเซตของจำนวนนับ $S=\left\{\,\right. {1,2,...,2n}\left.\,\right\} $ เป็นเซตย่อยดังนี้
$\left\{\,\right. {2n,1}\left.\,\right\} ,\left\{\,\right. {2n-1,2}\left.\,\right\} ,\left\{\,\right. {2n-2,3}\left.\,\right\} ,...,\left\{\,\right. {n+1,n}\left.\,\right\} $
ต่อไปจะหาวิธีในการสร้างสับเซตของ $S$
พิจารณาว่าในเซตย่อย $n$ เซตที่สร้างขึ้นข้างต้นนั้นไม่สามารถเลือกจำนวนสองจำนวนในเซตเดียวกันให้เป็นสมาชิกของสับเซตได้
ให้ $A_1=\left\{\,\right. {2n,1}\left.\,\right\} $
$A_2=\left\{\,\right. {2n-1,2}\left.\,\right\} $
$...$
$A_n=\left\{\,\right. {n+1,n}\left.\,\right\} $
ในการเลือกสมาชิกจาก $A_1$ สามารถเลือกได้ $3$ วิธี(คือเลือก $2n$ , เลือก $1$ , ไม่เลือกเลย)
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่าสามารถเลือกสมาชิกจาก $A_i$ ได้ $3$ วิธี $; i=1,2,3,...,n$(คือเลือก 2n-i,เลือก i,ไม่เลือกเลย)
โดยหลักการคูณ
จะได้ว่าวิธีเลือกสับเซตทั้งหมดโดยไม่มีสมาชิกสองจำนวนได ๆ ที่บวกกันได้ $2n+1$ คือ $3^n$
ตอบ $3^n$ สับเซต