Mathcenter Contest Round 1 University Longlist

[nongtum]

ระดับมหาวิทยาลัย

แยกตามผู้เสนอโจทย์

M@gpie
1. จงหาค่าของ $\max \{\pi^e, e^\pi\}$

2. จงหาฟังก์ชันต่อเนื่อง $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
\[ f(x) = \lambda (1+x^2)\left( 1+ \int_0^x \frac{f(t)}{1+t^2}dt\right)\]
สำหรับทุก $x\in \mathbb{R}$ ในที่นี้ให้ $\lambda$ เป็นจำนวนจริงที่มีค่าคงตัว

mercedesbenz
3. จงพิสูจน์ว่า $\sum_{k=1}^{\infty}ke^{-k^2}$ ลู่เข้า และหาค่าประมาณของผลบวกโดยให้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 3
ที่มา : เอกสารประกอบการเรียนวิชา Advanced Calculus II ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลับขอนแก่น

nooonuii
4. สำหรับจำนวนนับ $n\geq 3$ จงพิสูจน์ว่า $$(1+2+\cdots + n)^{1+2+\cdots+(n-1)}<(1+2+\cdots+(n-1))^{1+2+\cdots+n}$$

5. ให้ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ จงพิสูจน์ว่า

ถ้า $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}f(x)=A>0}$ แล้ว $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}f'(x)=0}$

passer-by
6. กำหนด $ f $ มีอนุพันธ์ทุกอันดับ สำหรับทุกจำนวนจริง $ x $ และสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
(1) $ f(0) = 1 , f’(0) = -1 $
(2) $ f^{(n)}(0) \leq \frac{1}{n^2-n} \,\, \forall n \geq 2 $
พิสูจน์ว่า มีจำนวนจริง $ c \in (0,1) $ ซึ่ง $ f^{''}( c) < \frac{1}{2c} $

ข้อที่ใช้แข่งขัน คือข้อ 1,2,5,6

[owlpenguin]

1.

Solution

พิจารณา $f(x)=\frac{x}{ln(x)}$ จะพบว่าจุดต่ำสุดเมื่อ $x>1$ เกิดขึ้นที่ $x=e$
$\therefore\frac{e}{ln(e)}<\frac{\pi}{ln(\pi)}$
$eln(\pi)<\pi$
$ln(\pi^e)<\pi$
$\therefore\pi^e<e^\pi$

2.

Solution

$\frac{f(x)}{1+x^2}=\lambda\left( 1+ \int_0^x \frac{f(t)}{1+t^2}dt\right)$
ให้ $g(x)=\frac{f(x)}{1+x^2}$
$\therefore g(x)=\lambda\left(1+\int_0^x g(t)dt\right)$
ดิฟทั้งสองข้าง ได้ว่า
$g'(x)=\lambda g(x)$
$\therefore g(x)=Ae^{\lambda x}\rightarrow f(x)=Ae^{\lambda x}(1+x^2)$
เอาไปแทนในสมการโจทย์จะได้ $A=\lambda$
$\therefore f(x)=\lambda e^{\lambda x}(1+x^2)$

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

พิจารณา $f(x)=\frac{x}{ln(x)}$ จะพบว่าจุดต่ำสุดเมื่อ $x>1$ เกิดขึ้นที่ $x=e$
$\therefore\frac{e}{ln(e)}<\frac{\pi}{ln(\pi)}$
$eln(\pi)<\pi$
$ln(\pi^e)<\pi$
$\therefore\pi^e<e^\pi$

4.ถ้า $a>b>e$ set $a=\frac{n(n+1)}{2},b=\frac{n(n-1)}{2}$
เพราะว่า $f(x)$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $(e,\infty)$
$\frac{a}{ln a}>\frac{b}{ln b}$
ได้ว่า $a^b<b^a$
นั่นคือ $(1+2+\cdots + n)^{1+2+\cdots+(n-1)}<(1+2+\cdots+(n-1))^{1+2+\cdots+n}$

[owlpenguin]

ข้อ 3 ผมพิสูจน์ได้แค่ว่ามัน converge ครับ...
Ratio Test
$\lim_{x \to \infty}\left|\frac{(k+1)e^{-(k+1)^2}}{ke^{-k^2}}\right|=\lim_{x \to \infty}\frac{k+1}{k}e^{-2k+1}=0<1$
ดังนั้น ผลบวก converges

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

ข้อ 3 ผมทำผมตรงไหน ช่วยเช็คให้ทีครับ
Ratio Test
$\lim_{x \to \infty}\left|\frac{(k+1)e^{-(k+1)^2}}{ke^{-k^2}}\right|=\lim_{x \to \infty}\frac{k+1}{k}e^{\frac{k^2}{(k+1)^2}}=e>1$
ดังนั้น ผลบวก diverges

เลขชี้กำลังของ e ต้องลบกันสิครับ ไม่ใช่หารกัน

[owlpenguin]

ผมเครียดเลยครับ มึนของแบบนี้ได้ไง...
ข้อ 3 นี่หน้าตามันคล้ายๆ error function นะครับ แต่ไม่รู้ว่ามันจะเอามาใช้ได้หรือเปล่า

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

ผมเครียดเลยครับ มึนของแบบนี้ได้ไง...
ข้อ 3 นี่หน้าตามันคล้ายๆ error function นะครับ แต่ไม่รู้ว่ามันจะเอามาใช้ได้หรือเปล่า

อย่าเพิ่งถอดใจสิครับ เปลี่ยนจากหารเป็นลบก็คิดต่อได้แล้ว ข้อนี้ใช้ Ratio, Comparison, Integral Test ได้หมดครับ

[owlpenguin]

วิธีหาค่าประมาณในข้อ 3 นี่ทำยังไงครับ ช่วยแสดงวิธีคิดให้ทีครับ
ไม่แน่ใจว่าข้อ 5 นี่ถูกหรือไม่ แต่มีความรู้สึกว่าผิด ช่วยเช็คให้ทีครับ
$\lim_{x \to \infty} f'(x)=\lim_{x\to\infty}\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\lim_{x\to\infty}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{A-A}{h}=\lim_{h\to 0}0=0$

[nooonuii]

สำหรับโจทย์ข้อ 5 คุณ thisisclick ได้ให้ตัวอย่างค้านไว้ดังนี้

$\displaystyle{f(x)= \cases{\frac{\sin{(x^3)}}{x^2}+2 & , x \neq 0 \cr 2 & , x = 0}}$

ลองดูวิธีคิดของผมแล้วลองจับผิดดูนะครับ

My Wrong Solution:

สังเกตว่า $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}f(x)e^x=\infty}$

โดยกฎของ L'Hospital จะได้

$\displaystyle{A=\lim_{x\to\infty}f(x)}$

$\displaystyle{=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)e^x}{e^x}}$

$\displaystyle{=\lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))}$

ดังนั้น $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}f'(x)=0}$

ต้องขออภัยเป็นอย่างสูงสำหรับความผิดพลาดในครั้งนี้ครับ

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

สำหรับโจทย์ข้อ 5 คุณ thisisclick ได้ให้ตัวอย่างค้านไว้ดังนี้

$\displaystyle{f(x)= \cases{\frac{\sin{(x^3)}}{x^2}+2 & , x \neq 0 \cr 2 & , x = 0}}$

ลองดูวิธีคิดของผมแล้วลองจับผิดดูนะครับ

My Wrong Solution:

สังเกตว่า $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}f(x)e^x=\infty}$

โดยกฎของ L'Hospital จะได้

$\displaystyle{A=\lim_{x\to\infty}f(x)}$

$\displaystyle{=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)e^x}{e^x}}$

$\displaystyle{=\lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))}$

ดังนั้น $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}f'(x)=0}$

ต้องขออภัยเป็นอย่างสูงสำหรับความผิดพลาดในครั้งนี้ครับ

ถ้าจะให้ผมเดาจุดผิด ผมจะเดาตรงตอนที่คูณ $e^x$ ทั้งเศษและส่วน เพราะว่ามันเหมือนกับการคูณด้วย $\frac{\infty}{\infty}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ owlpenguin

ถ้าจะให้ผมเดาจุดผิด ผมจะเดาตรงตอนที่คูณ $e^x$ ทั้งเศษและส่วน เพราะว่ามันเหมือนกับการคูณด้วย $\frac{\infty}{\infty}$

จุดที่ผิดคือการใช้ L'Hospital Rule ครับ มีใครมองออกบ้างว่าผิดยังไง

[Onasdi]

เพราะว่า $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))}$ อาจจะไม่มีค่ารึเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

เพราะว่า $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))}$ อาจจะไม่มีค่ารึเปล่าครับ

ใช่ครับ ที่เป็นเช่นนี้มาจากการใช้ L'Hospital Rule แบบผิดๆครับ

L'Hospital Rule ใช้ได้ข้างเดียว คือ

$$\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\Rightarrow\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=A$$

แต่ขากลับจะไม่จริง ผมเอาขากลับมาใช้ด้วยความเคยชินก็เลยผิดครับ

[owlpenguin]

ใครก็ได้ช่วยเฉลยข้อ 6 ให้ทีครับ

[passer-by]

อันนี้เป็นวิธีของคุณ Timestopper ครับ

วิธีทำ :
เนื่องจาก $f$ มีอนุพันธ์ทุกอันดับ สำหรับทุกจำนวนจริง ดังนั้นจะได้ว่า $\displaystyle{f\in C^{\infty}}$ ทำให้ได้ว่า
$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)x^{k}}{k!}=1-x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)x^{k}}{k!}\rightarrow f'(x)=-1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{f^{(k+1)}(0)x^{k}}{k!}$$
$$f'\left(\frac{1}{2}\right)\leq -1+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\frac{1}{k(k+1)k!}$$
ให้ $\displaystyle{a_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\frac{1}{n(n+1)!}}$ จะได้ว่า $\displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n}{2(n+1)(n+2)}<\frac{1}{6}}$ ทำให้ได้ว่า
$$f'\left(\frac{1}{2}\right)\leq\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}<-1+\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{6}\right)^{k}=-\frac{7}{10}$$
จากทฤษฎีบทค่ามัชฌิมจะได้ว่ามี $\displaystyle{c\in\left(0,\frac{1}{2}\right)}$ ที่ $\displaystyle{f''(c)=\frac{f'\left(\frac{1}{2}\right)-f'(0)}{\left(\frac{1}{2}\right)-0}=\frac{3}{5}}$
และ $\displaystyle{\frac{1}{2c}>1>\frac{3}{5},\forall c\in\left(0,\frac{1}{2}\right)}$
ดังนั้นจึงได้ว่ามี $c$ ที่มีคุณสมบัติตามที่โจทย์ต้องการ