Mathcenter Contest Round 2 Olympic Longlist

[nongtum]

ในการแข่งงวดนี้มี longlist แค่ระดับโอลิมปิกนะครับ ระดับอื่น โจทย์ longlist คือโจทย์ที่ใช้แข่งขันทุกข้อครับ

โจทย์ longlist

dektep
1.ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกจงพิสูจน์ว่า $$\frac {x}{\sqrt {x + y}} + \frac {y}{\sqrt {y + z}} + \frac {z}{\sqrt {z + x}}\geq\sqrt [4]{\frac {27(yz + zx + xy)}{4}}$$
ที่มา: Crux mathematicorum proposed by Jichen Ningbo

2. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกจงพิสูจน์ว่า
$$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2} \geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$
ที่มา: Gazeta Mathematica proposed by Vasile Cirtoaje

nooonuii
3. จงหาพหุนาม $P(x)$ ทั้งหมดซึ่งมีคุณสมบัติว่า

$~~~~~$1) $P(x)$ ไม่เป็นพหุนามคงตัวและเป็นพหุนามโมนิค

$~~~~~$2) $P(x)$ มีรากทั้งหมดเป็นจำนวนจริงและไม่มีรากซ้ำ

$~~~~~$3) ถ้า $P(a)=0$ แล้ว $P(a|a|)=0$

4. จงหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่สอดคล้องระบบอสมการ

$~~~~~x^2+12z\leq 3x+5y$

$~~~~~y^2+5x\leq 3y+8z$

$~~~~~z^2+5y\leq z+5x$

Art_ninja
5. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ที่สอดคล้องสมการ $f(x^2 + y^2 + 2f(xy))= (f(x+y))^2$ $\forall x,y \in \mathbb{R}$

ที่มา: IMO Shortlisted 1999

6. ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $n > 1$ นิยาม $g_n$ เป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของจำนวนเหล่านี้ และนิยาม $A_1,A_2,...,A_n$ เป็นลำดับของค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่นิยามโดย $A_k = \frac{a_1+a_2+...+a_k}
{k}$ เมื่อ $k = 1,2,...,n$ และให้ $G_n$ เป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ $A_1,A_2,...,A_n$ จงพิสูจน์ว่า
$$n\sqrt[n]{\frac{G_n}{A_n}}+\frac{g_n}{G_n}\leq n+1$$
และจงหาว่าอสมการเป็นสมการเมื่อใด

ที่มา: IMO Shortlisted 1999

7. ให้ $n \geq 2$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าคงที่ $C$ ที่ทำให้
$$\sum_{i<j} x_ix_j(x_i^2+x_j^2)\leq C(\sum_{i}x_i)^4$$
เป็นจริงสำหรับทุก $x_1,x_2,...,x_n$ (ผลรวมข้างซ้ายมีจำนวน $\pmatrix{n \\ 2}$ พจน์ ) และจงหาเงื่อนไขของตัวแปร $x_1,x_2,...,x_n$ ที่ทำให้อสมการเป็นสมการ

ที่มา: IMO Shortlisted 1999

8. ให้ $P$ เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม $ABC$ ซึ่ง $\angle APB-\angle C=\angle APC- \angle B$
ให้ $D$ และ $E$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $APB$ และ $APB$ ตามลำดับ
จงแสดงว่า $AP,BD,CE$ ตัดกันที่จุดเดียวกัน

ที่มา: IMO 1996

9. จงแสดงว่ามีจำนวนเต็มบวก $a$ เป็นจำนวนอนันต์ซึ่งสอดคล้องคุณสมบัติดังนี้
จำนวนเต็มบวก $z=n^4+a$ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสำหรับทุก $n\in \mathbb{N}$

ที่มา: IMO 1969

10. จงแสดงว่า
$$\sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{2k+1}8^k$$
หารด้วย $5$ ไม่ลงตัวสำหรับทุกจำนวนเต็ม $n \geq 0$

ที่มา: PEN

Heir of Ramanujan
11. สี่เหลี่ยมคางหมู $ABCD$ มีด้าน $AB$ และ $CD$ ขนานกัน $\hat{DAB} = 6^{\circ}$ และ $\hat{ABC} = 42^{\circ}$
จุด $X$ อยู่บนด้าน $AB$ ทำให้ $\hat{AXD} = 78^{\circ}$ และ $\hat{CXB} = 66^{\circ}$
ถ้าระยะห่างระหว่าง $AB$ และ $CD$ เท่ากับ $1$ หน่วย แล้ว
จงพิสูจน์ว่า $AD + DX - (BC + CX) = 8$ หน่วย

ที่มา: http://www.qbyte.org/puzzles/p154s.html

Mathophile
12. กำหนดให้ $P_1(x)=\frac{1}{x}$ และ $P_n(x)=P_{n-1}(x)+P_{n-1}(x-1)$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ ที่มากกว่า 1
จงหาค่าของ $P_{2008}(2008)$

gools
13. สำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก $n$ ให้ $\sigma(n)$ มีค่าเท่ากับผลบวกของตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ $n$ (ตัวอย่างเช่น $\sigma(6)=1+2+3+6=12$)
จงหาคำตอบของสมการ
\[\sigma(p^2)=\sigma(q^b)\]
เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะโดยที่ $p>q$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก

ที่มา: ส่วนหนึ่งของโครงงานคณิตศาสตร์ของ gools

14. กาลครั้งหนึ่งนานมาแล้วมีเผ่าหนึ่งชื่อว่าเผ่า Goblin โดยที่จะมีการละเล่นประะจำเผ่าคือ "An ATM Game(เกมแจก Level)" เล่นโดยมี Goblin อยู่จำนวนหนึ่งยืนเรียงกันเป็นวงกลม แล้วหัวหน้าเผ่าก็จะกำหนด Level ให้ Goblin แต่ละตัว ซึ่งจะเหมือนหรือต่างกันก็ได้ (Level เป็นตัวเลขซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ) เริ่มเล่นโดยการเลือก Goblin ตัวหนึ่งที่มี Level $k$ ($k \not= 0$) ขึ้นมา สมมติให้เป็น Goblin A แล้วให้ Goblin A ระเบิดตัวเอง แล้ว Level ของ Goblin A จะกลายเป็น 0 หลังจากนั้น Level ของ Goblin $k$ ตัวที่อยู่ถัดจาก Goblin A ตามเข็มนาฬิกาได้รับ Level เพิ่มขึ้น 1 Level จงพิสูจน์ว่า
1.) ถ้าหลังจากนั้นให้ Goblin ตัวที่ $k$ ที่อยู่ถัดจาก Goblin A ระเบิดตัวเอง แล้วทำแบบนี้ต่อไปเรื่อยๆ(ถ้า Goblin ตัวที่ระเบิดครั้งล่าสุดมี Level $k'$ ก็ให้ Goblin ตัวที่ $k'$ ที่อยู่ถัดจาก Goblin ตัวนั้นตามเข็มนาฬิการะเบิดตัวเอง) จงพิสูจน์ว่า Level ของ Goblin แต่ละตัวจะกลับมาเท่าเดิมอีกครั้ง
2.) ถ้าหลังจากนั้นเราสามารถเลือก Goblin ตัวไหนก็ได้ที่ Level ไม่เป็น 0 ให้ระเบิดตัวเอง แล้วทำแบบนี้ต่อไปเรื่อยๆ จงพิสูจน์ว่า ไม่ว่า Level เริ่มต้นจะเป็นเท่าไหร่เราก็สามารถทำให้ Level แต่ละตัวเป็นไปตามที่เราต้องการได้ แต่มีข้อแม้ว่าผลรวมของ Level ของ Goblin ทั้งหมดต้องเท่ากับตอนเริ่มต้น

ที่มา: ดัดแปลงจาก Moscow Olympiad, 2001, Grade 11, Problem 6,http://www.mathlinks.ro/viewtopic.ph...50169&t=170328

[RoSe-JoKer]

ผมเข้าใจน้อง owlpenguin แล้วแหละครับขอบคุณมากครับ $n^4+4k^4$ มันแยกตัวประกอบได้แล้วให้แต่ละตัวมากกว่า 1 นั้นเองขอบคุณมากครับ ;-)

[Art_ninja]

ผมว่าถูกแล้วล่ะครับ

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

เออข้อ 9 ผมไม่ทราบว่าผมเข้าใจโจทย์ผิดหรือป่าว เพราะผมรู้สึกว่ามันง่ายเกินไป
ให้ $a=p-1-n^4$ โดยที่ $p-1>n^4$ และเห็นได้ว่ามี prime ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเป็นอนันต์อยู่แล้วดังนั้นก็มี a เป็นอนันต์ ...จบ -*-

ไม่ใช่อย่างนั้นครับ เพราะถ้าทำแบบนั้น $a$ จะไม่เป็นค่าคงที่สำหรับแต่ละ $n$

สิ่งที่โจทย์ต้องการคือ... อย่างเช่น
$z=n^4+64$ ไม่เป็น prime เสมอ อะไรแบบนี้ครับ
ก็ให้ $a=4k^4$ เมื่อ $k\in\mathbb{N}; k\not =1$ ก็น่าจะจบแล้วครับ

[Heir of Ramanujan]

11.

Solution

ลากเส้นตั้งฉาก (ความยาว $1$ หน่วย) จาก $D$ ลงมาตั้งฉากกับ $AX$ และจาก $C$ ลงมาตั้งฉากกับ $BX$
จะได้ว่า
$AD = cosec\,6^{\circ}$
$DX = cosec\,78^{\circ}$
$BC = cosec\,42^{\circ}$
$CX = cosec\,66^{\circ}$
แสดงว่า ต้องการพิสูจน์ว่า $cosec\,6^{\circ} + cosec\,78^{\circ} - cosec\,42^{\circ} - cosec\,66^{\circ} = 8$

สังเกตว่า สำหรับ $x = 6^{\circ}, 78^{\circ}, -42^{\circ}, -66^{\circ}, 30^{\circ}$ จะได้ $sin\,5x = \frac{1}{2}$

พิจารณา $sin\,5x$ ในรูปของ $sin\,x$
จาก $cos\,5x + i\,sin\,5x = (cos\,x + i\,sin\,x)^{5}$
กระจายฝั่งขวา แล้วจัดพจน์ของส่วนจินตภาพ จะได้ว่า
$sin\,5x = sin^{5}\,x - 10\,sin^{3}\,x\,cos^{2}\,x + 5\,sin\,x\,cos^{4}\,x$
$= sin^{5}\,x - 10\,sin^{3}\,x\,(1 - sin^{2}\,x) + 5\,sin\,x\,(1 - sin^{2}\,x)^{2}$
$= sin^{5}\,x - 10\,sin^{3}\,x + 10\,sin^{5}\,x + 5\,sin\,x\,(1 - 2\,sin^{2}\,x + sin^{4}\,x)$
$= 16\,sin^{5}\,x - 20\,sin^{3}\,x + 5\,sin\,x$

จาก Fundamental Theorem of Algebra จะได้ว่า
$sin\,6^{\circ}, sin\,78^{\circ}, -sin\,42^{\circ}, -sin\,66^{\circ}, sin\,30^{\circ}$
เป็นคำตอบทั้งหมดของสมการ $16s^{5} - 20s^{3} + 5s = \frac{1}{2}$
หรือ $32s^{5} - 40s^{3} + 10s - 1 = 0\,\,...............(1)$
แยกตัวประกอบ $(2s - 1)(16s^{4} + 8s^{3} - 16s^{2} - 8s + 1) = 0$
เนื่องจาก $s = sin\,30^{\circ} = \frac{1}{2}$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ $(1)$
ดังนั้น $sin\,6^{\circ}, sin\,78^{\circ}, -sin\,42^{\circ}, -sin\,66^{\circ}$ เป็นคำตอบทั้งหมดของสมการ
$16s^{4} + 8s^{3} - 16s^{2} - 8s + 1 = 0\,\,...............(2)$

เนื่องจาก $0$ ไม่ใช่คำตอบของสมการ $(2)$
หารตลอดสมการ $(2)$ ด้วย $s^{4}$ และกำหนดให้ $\displaystyle{t = \frac{1}{s}}$ จะได้ว่า
$t^{4} - 8t^{3} - 16t^{2} + 8t + 16 = 0\,\,...............(3)$
เป็นสมการที่มีคำตอบทั้งหมดเป็น $cosec\,6^{\circ}, cosec\,78^{\circ}, -cosec\,42^{\circ}, -cosec\,66^{\circ}$

จาก Vieta's formulas ผลบวกของคำตอบของสมการ $(3)$ เท่ากับ $8$
ดังนั้น $AD + DX - (BC + CX) = 8$ หน่วย

[Tohn]

12.
จะพบว่า $$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}(\frac{1}{x-k})$$
พิจารณา $\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}(\frac{1}{n-k})$
$=\frac{n}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}(\frac{1}{n-k})$
$=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}=\frac{2^n-1}{n}$
ดังนั้น$P_{2008}(2008)=\frac{2^{2008}-1}{2008}$

[dektep]

ข้อของคุณ art_ninja น่าจะเป็น sl 2004 นะครับ

[Anonymous314]

ข้อ 6.ครับ IMO shortlists 2004

[Onasdi]

ไปดูเฉลยข้อ 14 มาแล้ว สวยมากครับ ไม่น่า้เชื่อว่าจะเอาข้อหนึ่งมาช่วยในข้อสองด้วย