Mathcenter Contest Round 1/2009 Longlist

[nongtum]

ขออนุญาตเทกระจาดโจทย์ที่ส่งมาในรอบนี้ให้หมดก่อนนะครับ แล้วจะขอรับโจทย์ใหม่หมดอีกทีรอบหน้าครับ

Olympic

Dektep
1. (Phan Thanh Viet) Let $a,b,c$ be three positive real numbers.Prove that
$$\sum_{cyclic}\frac{a^4}{a^2+ab+b^2} \ge \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}$$

RoSe-JoKer
2. (Vasile Cirtoaje - WSP) Let a,b,c>0$ and $a+b+c=3 $
พิสูจน์ว่า $$abc+\frac{12}{ab+bc+ca}\geq 5$$

3. (Vasile Cirtoaje - WSP) Let $a,b,c>0 $ and $abc=1$
พิสูจน์ว่า $$\frac{2}{a+b+c}+\frac{1}{3}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}$$

nooonuii
4. (ดัดแปลงจาก TMO2009 Shortlist) ให้ $m,n$ เป็นจำนวนนับ จงพิสูจน์ว่า $$m^{m^{m^m}}+n^{n^{n^n}}\geq m^{n^{n^n}}+n^{m^{m^m}}$$

5. (nooonuii) ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริง โดยที่

$~~~~~\sin{x}+\sin{y}+\sin{z}=0$

$~~~~~\sin{2x}+\sin{2y}+\sin{2z}=0$

$~~~~~\sin{3x}+\sin{3y}+\sin{3z}=0$

จงพิสูจน์ว่า $\sin{nx}+\sin{ny}+\sin{nz}=0$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$

Anonymous314
6. Let $x,y,z\in \mathbb{R}^+_0$ such that $xy+yz+zx=1$. Prove that $$\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{y+z}}+\frac{1}{\sqrt{z+x}}\ge 2+\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

7. For $n\in\mathbb{N}$, prove that $2^n$ can begin with any sequence of digits.
Hint: $\log 2$ is irrational number.

8. Find the locus of points $P$ in the plane of a square $ABCD$ such that $$\max\{ PA,\ PC=\frac12(PB+PD)\}.$$

9. Let $f(x)=\sin x$ and $g(x)=\cos x$, for $k\in\mathbb{Z}^+$. Find $\max\{k\}$ such that $$\underbrace{f(f(\dots f(f(x))))}_k=\underbrace{g(g(\dots g(g(x))))}_k.$$

10. Prove that for each $k$ points in the plane, no three collinear and having integral distances from each other. If we have an infinite set of points with integral distances from each other, then all points are colinear.

ประถมศึกษา

คusักคณิm
1. มีจำนวนคี่ 5 จำนวนเรียงกัน ถ้าจำนวนคี่ที่หนึ่งรวมกับจำนวนคี่ที่ห้าได้ 74 ถามว่าผลบวก ของจำนวนคี่ทั้งห้าจำนวนเป็นเท่าใด?

2. (สมาคมคณิตศาสตร์ 2543) ถ้าต้องการสร้างกล่องกระดาษทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่สูง 20 ซม.มีเส้นรอบรูปของฐานกล่องยาว 52 ซม. เราสามารถสร้างกล่องให้มีความจุได้มากที่สุดเท่าไร โดยให้ความยาวของด้านเป็นจำนวนเต็มซม.

3. ปู่มีตัวเลขอยู่ 5 ตัว คือ 1 2 3 4 5 ปู่ได้นำมาเขียนเป็นจำนวนหมื่นดยไม่ใช้ตัวเลขซ้ำกันเลย อยากทราบว่าปู่เขียนจำนวนได้กี่จำนวน

4. (เพชรยอดมงกุฏ) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งถูกแบ่งเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดเท่ากันสามรูป โดยสี่เหลี่ยมมุมฉากแต่ละรูปมีเส้นรอบรูปยาว 16 เมตร รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้มีพื้นที่กี่ตารางเมตร

Scylla_Shadow
5. (Scylla_Shadow) เด็ก 25 คนกำลังวิ่งเล่นอยู่นอกบ้าทนหลังหนึ่งซึ่งมีประตู 52 บานอยู่รอบบ้าน พอประตูทั้งหมดเปิดเด็กทั้งหมด
ก็เข้าๆออกๆบ้านไปเล่น ถ้านับจำนวนครั้งที่เด็กเข้าและออกบ้านได้ 2552 ครั้ง แต่ไม่รู้ว่าแต่ล่ะคนเข้าและออกกี่ครั้ง
แล้วปิดประตูทั้งหมด
1. จะเป็นไปได้หรือไม่ที่มีเด็ก 25 คน อยู่นอกบ้านและ ไม่มีเด็กอยู่ในบ้าน
2. จะเป็นไปได้หรือไม่ที่มีเด็ก 25 คน อยู่ในบ้าน และไม่มีเด็กอยู่นอกบ้าน

Platootod
6. (2006 Wenzhou Invitational World Youth Mathematics Intercity Competition - Individual Contest)
คอลลีนใช้เครื่องคิดเลขคำนวณ(a+b)/c ซึ่ง a, b และ c เป็นจำนวนเต็มบวก.
เธอกด a, +, b, /, c และ = ตามลำดับ และได้รับคำตอบ 11.
เมื่อเธอกด b, +, a, /, c และ = ตามลำดับ,
เธอต้องประหลาดใจที่ได้รับคำตอบที่แตกต่างออกไปคือได้คำตอบ14.
และแล้วเธอตระหนักได้ว่าเครื่องคิดเลขต้องคำนวณ หาร ก่อน บวก
ดังนั้น เธอจึงกด (, a, +, b, ), /, c และ = ตามลำดับ.
สุดท้ายเธอจึงได้คำตอบที่ถูกต้อง คำตอบที่ถูกต้องคือเท่าใด?

[SIL]
7. กำหนดลำดับ 1,1,1,3,3,3,5,6,7,a,b,c,9,15,21,11,21,31,...
จงหาค่าของ a-2b+c

8. ในการก้าวเดินขึ้นบันได หากทำได้3แบบคือ ก้าวทีละ1 ขั้น ก้าวทีละ 2 ขั้น ก้าวทีละ 3 ขั้น จะบอกได้ว่าหากมีบันได 3 ขั้น จะมีวิธีขึ้นบันไดได้ 4 แบบ คือ ก้าวทีเดียว 3 ขั้น ก้าว 1 และ 2 ก้าว 2 และ1 และก้าว 1 3 ครั้ง
หากมีบันได 10 ขั้นแล้ว จะมีวิธีขึ้นบันไดกี่วิธี

nooonuii
9. จงหาค่าของ $$(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots (736^3-2)(737^3-1)(738^3-0)$$

มัธยมต้น

mercedesbenz
1. (สมาคมคณิตศาสตร์) จากรูป $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ $AE=EC$ และ $DC=2BD$ จงหาอัตราส่วนของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม $EFDC$ ต่อพื้นที่สามเหลี่ยม $BFD$ มีค่าเท่ากับเท่าใด


2. $ABCDEFGH$ เป็นกล่องทรงลูกบาศก์ ขนาด $9 \times 9 \times 9$ ลูกบาศก์หน่วย
"]
จุด $X$ อยู่บนด้าน $AB$ ทำให้ $AX:AB=1:3$
จุด $Y$ อยู่บนด้าน $GH$ ทำให้ $GY:GH=1:3$
และ จุด $Z$ อยู่บนด้าน $DE$ ทำให้ $DZ : DE=1:3$

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $XYZ$ คือเท่าใด

Scylla_Shadow
3. (Scylla_Shadow) กำหนด N เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เกิน 2552 หลักซึ่งทุกหลักของ N ประกอบด้วยเลขโดด 2 หรือ 5 เท่านั้น
ให้ S แทนผลบวกของ N ทุกจำนวน แล้ว 25 หาร S เหลือเศษเท่าใด

Platootod
4. จงแสดงว่า $$\frac{4^{5555}+10^{5555}+5^{5555}-2^{5555}-7^{5555}-1}{3}$$ เป็นจำนวนเต็ม

[SIL]
5. จงหาค่าของ $\frac{-xy}{z}$ จากสมการ $$(5x^2+15x+25)(6y^2+8y+4)(5z^2+2z+2) = 33$$

6. กำหนดให้ $x > 0$ จงหาคำตอบของระบบสมการ
$$4(\frac{\sqrt{x^2+1}+1}{\sqrt{x^2+1}})(\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}) = 12-\frac{x}{1+x^2}$$

7. จงหาค่าของ $cos72^\circ + tan75^\circ$ โดยไม่ใช้สูตรผลรวมมุมหรือผลต่างมุม

8. จากภาพ วงกลมมีจุดศูนย์กลางร่วมกันสองวง ตัวเลขแสดงความยาวส่วนของเส้นตรง
แล้ว x+y+z มีค่าเท่าใด


Mathophile
9. รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีคุณสมบัติว่า
ถ้าความกว้างเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 75% ถ้าความยาวเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 50% แต่ถ้าความสูงเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 25%
จงหาพื้นที่ผิวของรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้

มัธยมปลาย

nooonuii
1. จงแสดงว่า $2^n$ ไม่ลงท้ายด้วย $2552$ ทุกจำนวนนับ $n$

2. (nooonuii) จงหาจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $$\sqrt[4]{2-\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}+\sqrt[4]{2+\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}=\sqrt{2}$$

3. (nooonuii) จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมดซึ่งทำให้ $$\sin{A},\sin{2A},...,\sin{nA}$$ เป็นลำดับเลขคณิต สำหรับบางจำนวนจริง $A\in (0,\pi)$

Ne[S]zA
4. กำหนดให้ $S_n=\sum_{n=1}^{2553} (-1)^{n+1} n^2$ โดย $\dfrac{S_n}{1777}=L$ และ $Z_k=\sum_{k=1}^{L} (-1)^{k+1} \ln (\frac{k+3}{k+1}) = \ln (\frac{a}{b})$
และ $f(r)=\dfrac{2009^{2-r}}{2009^{1-r}+2009^r}$ โดย $a,b,L \in I^+$ ถ้า $h=\sum_{x=1}^{b-1} f(\frac{x}{b})$ และ $\frac{2h}{b-1}=d$ โดยที่ $h,b,d \in I^+$
จงค่าสูงสุดและต่ำสุดของ $\sin^{d+1991}\theta+\cos^{d+1991}\theta$ บนช่วง $[0,\frac{\pi}{2}]$

[SIL]
5. กำหนดลำดับ 1,3,5,3,5,7,5,7,9,... จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต 696 พจน์แรกของลำดับนี้

Mathophile
6. กำหนดให้ $A$ เป็นเซตที่เล็กที่สุดที่ซึ่ง $\{\{1,2\},\{3\}\}\in A\cap P(A)$ และ $\{\{1,\{2\},\{3\}\}\}\subset A\cap P(A)$
จงหาจำนวนคู่อันดับ $(a,b)$ โดยที่ $a,b\in A$ และ $a\not= b$ และมีคุณสมบัติว่า $a\in b$ หรือ $a\subset b$

7. กำหนดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC และจุด D, E, F บนส่วนของเส้นตรง BC, AB และ AD ตามลำดับ
โดยที่ $CD = \frac{1}{3}BC$ , $BE = \frac{1}{3}AE$ และ $AF = \frac{1}{3}AD$
จงหาความยาวด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยม DEF ในเทอมของ AB

Mathophile
8. กำหนดให้ $A$ เป็นเมตริกซ์ขนาด $2\times 2$ โดยที่ $A^3=A^2+A+2I$
จงหาค่าของ $\det A$

robot123
9. ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก
โดยที่ $x$ สอดคล้องกับอสมการ
$$ x = 6-\frac{9}{6-\frac{9}{6-\frac{9}{6-\frac{9}{x}}}} $$
และ $y$ สอดคล้องกับสมการ
$$\left|\,\left|\,y-4\right|+3 \right|-6 = 0 $$
จงหาค่าของรากที่สองของ $x+y$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้

[Anonymous314]

มาช่วยกันเฉลยเถอะครับ
ผม Hint ให้เฉพาะข้อที่ผมส่งแล้วกัน Olympiad Section !
ข้อ 6 - สมมติให้ $x=\max\{x,y,z\}$ แล้วใช้เรื่องฟังก์ชันเข้าช่วย - ท่าทางจะยากไป ใครมีวิธีสวยกว่านี้ก็มาลงได้นะครับ
ข้อ 7 - $\log 2$ is irrational.
ข้อ 8 - Ptolemy's Theorem
ข้อ 9 - ลองเมื่อ $k=3$ หรือ $k=4$
ข้อ 10 - Hyperbolas intersection.
ข้อ 5 สวยดีนะครับ

[banker]

ที่ผมทำส่งนะครับ

ระดับประถม

1. (3 คะแนน) จงหาค่าของ $(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots

(736^3-2)(737^3-1)(738^3-0)$


วิธีทำ

$(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots (736^3-2)(737^3-

1)(738^3-0)$

= $(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots (9^3-729)\cdots

(736^3-2)(737^3-1)(738^3-0)$

= $(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots (0)\cdots(736^3

-2)(737^3-1)(738^3-0)$

= 0 ANS

[banker]

ที่ผมทำส่งนะครับ
ระดับประถม

2. (5 คะแนน) กำหนดลำดับ

1,1,1,3,3,3,5,6,7,a,b,c,9,15,21,11,21,31,...
จงหาค่าของ a-2b+c

วิธีทำ
ลำดับที่กำหนดให้ เป็นอนุกรม 3 ชุดซ้อนกันอยู่
1 3 5 a 9 11
1 3 6 b 15 21
1 3 7 c 21 31

1 3 5 7 9 11
1 3 6 10 15 21
1 3 7 13 21 31

1,1,1,3,3,3,5,6,7,7,10,13, 9,15,21,11,21,31,...

a = 7, b = 10, c= 13

a-2b+c = 0 ANS

[banker]

ที่ผมทำส่งนะครับ


ระดับประถม

3. (3+3 คะแนน) เด็ก 25 คนกำลังวิ่งเล่นอยู่นอกบ้านหลังหนึ่งซึ่งมีประตู 52 บานอยู่รอบบ้าน พอ

ประตูทั้งหมดเปิดเด็กทั้งหมดก็เข้าๆออกๆบ้านไปเล่น
ถ้านับจำนวนครั้งที่เด็กเข้าและออกบ้านได้ 2552 ครั้ง แต่ไม่รู้ว่าแต่ล่ะคนเข้าและออกกี่ครั้ง แล้วปิดประตูทั้งหมด
1. จะเป็นไปได้หรือไม่ที่มีเด็ก 25 คน อยู่นอกบ้านและ ไม่มีเด็กอยู่ในบ้าน
2. จะเป็นไปได้หรือไม่ที่มีเด็ก 25 คน อยู่ในบ้าน และไม่มีเด็กอยู่นอกบ้าน

วิธีทำ
เนื่องจากโจทย์ไม่ได้กำหนดว่า เด็กแต่ละคนต้องผ่านประตูอย่างน้อยหนึ่งครั้ง
ดังนั้น ให้เด็ก 24 คนอยู่นอกบ้าน ไม่เข้าบ้านเลย แต่มีเด็กคนเดียวเท่านั้นที่เข้าๆออกๆ 2552 ครั้ง
2552 เป็นเลขคู่ ดังนั้นสุดท้ายเด็กคนนี้จะออกมานอกบ้าน
จึงเป็นไปได้ที่มีเด็ก 25 คนอยู่นอกบ้านและไม่มีเด็กอยู่ในบ่าน (คำตอบข้อ1)ANS

ข้อ 2 ให้เด็กทั้ง 25 คนเข้าไปในบ้าน ซึ่งเท่ากับ 25 ครั้ง เหลืออีก 2552-25 = 2527 ครั้ง
ให้ 24 คน เล่นในบ้าน มีคนเดียวที่เข้าๆออกๆ 2527 ครั้ง เป็นเลขคี่ สุดท้ายเด็กคนนี้จะอยู่นอกบ้าน
ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะมีเด็ก 25 คนอยู่ในบ้านและไม่มีเด็กอยู่นอกบ้าน (คำตอบข้อ2) ANS

[banker]

ที่ผมทำนะครับ

ระดับมัธยม

ข้อ1. (4 คะแนน)จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ AE=EC และ DC=2BD จงหาอัตราส่วนของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม EFDC ต่อพื้นที่สามเหลี่ยม BFD

ก่อนอื่นต้องหาอัตราส่วน BF : FE (ในห้องส่งคำตอบ รูปผมหาย)



ABC เป็นสามเหลี่ยม โดยที่ AE=EC ให้ G เป็นจุดกึ่งกลาง BC
ลาก EG แล้วต่อไปถึง H ให้ GH = GE, ลาก BH และ AH
จะได้ ABHE เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน มี EB, AH เป็นเส้นทแยงมุม ตัดกันที่ F
จะได้ F เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน EB (เส้นทแยงมุมตัดกัน แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน)

มีคำถามว่า แล้วจะรู้ได้อย่างไรว่า จุด D ทำให้ CD = 2DB (ตามที่โจทย์กำหนด)

ลากเส้น FG จะได้ว่า (สามเหลี่ยมEBH) มี BH = 2 FG (ลากเส้นเชื่อมจุดแบ่งครึ่งด้าน จะขนานและเป็นครึ่งหนึ่ง)


(ในห้องส่งคำตอบ รูปผมหาย)

สามเหลี่ยม$FGD$ คล้าย สามเหลี่ยม $DBH$

$\frac{FG}{BH} = \frac{GD}{BD} = \frac{FD}{DH} = \frac{1}{2}$

ดังนั้น $BD = 2GD$

นั่นคือ BD เป็นครึ่งหนึ่งของ CD (G แบ่งครึ่งBC)

จากรูป

สามเหลี่ยม EBC จะได้ BF:FE = 1 :1 (จากที่พิสูจน์ข้างต้น) และ BD:CD = 1 : 2 (จากโจทย์)


ขออนุญาตใช้สูตรที่ผมเคยพิสูจน์มาแล้วในเว็บนี้
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=7200

จะได้
$\frac{สามเหลี่ยมBFD}{สามเหลี่ยมBCE}$ = $\frac{1\cdot 1}{(1+1)(1+2)} =\frac{1}{6}$

ดังนั้นอัตราส่วนของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม EFDC ต่อพื้นที่สามเหลี่ยม BFD = $5 :1$ ANS

[banker]

ที่ผมทำนะครับ

มัธยม

2. (4 คะแนน) มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่เป็นตัวประกอบของของ (1)(2009)+(2)(2010)+(3)(2011)+:::+(543)(2551)
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

ให้ 2009 = A

$(1)(2009)+(2)(2010)+(3)(2011)+\dots+(543)(2551)$

= $(1)(A)+(2)(A+1)+(3)(A+2)+\dots+(543)(A+542)$

= $(1A)+(2A+2)+(3A+6)+\dots+(543A+542\cdot 543)$

=$ (1A+2A+3A+\dots+543A) + (1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+542\cdot 543)$

= $A(1+2+3+4+....+543) + \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

= $2009(\dfrac{(543)(543+1)}{2}) + \dfrac{542(542+1)(542+2)}{3}$

=$181\cdot 272\cdot 7111$

= $2^4\cdot 13\times 17\times 181\times 547$


ดังนั้นมีตัวประกอบ $(4+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 5 \times 2\times 2\times 2\times 2 = 80 $ จำนวน


หมายเหตุ จงแสดงว่า $1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+n\cdot (n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} ; n \in N$

บทพิสูจน์

ให้ p(n) แทนข้อความ
$1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+n\cdot (n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(1) การแสดงว่า p(1) เป็นจริง

$\because 1\cdot 2 = 2 = \frac{1(1+1)(1+2)}{3} $

$\therefore p(1) $เป็นจริง

(2) การแสดงว่า p(k) เป็นจริง

$\therefore 1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+k\cdot (k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$

$\because 1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+k\cdot (k+1)+(k+1)(k+2) $

$ = \dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) $

$= (k+1) (k+2)[\dfrac{k}{3}+1] $

=$\dfrac{(k+1)(k+2)(k+2)}{3}$

$\therefore p(k+1) $เป็นจริง

สรุปโดยหลักอุปมัยเชิงคณิตศาสตร์จะได้ว่า p(n) เป็นจริงทุกค่า n

เพราะฉะนั้น $1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+n\cdot (n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} ; n \in N$

[banker]

ที่ผมทำนะครับ

มัธยม

3. (4 คะแนน) รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีคุณสมบัติว่า
ถ้าความกว้างเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 75% ถ้าความยาวเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 50% แต่ถ้าความสูงเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 25%
จงหาพื้นที่ผิวของรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้
(เสนอโดยคุณ Mathophile)

วิธีทำ
ให้รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปนี้ มีความกว้าง, ยาว, สูง เป็น x, y, z ตามลำดับ

ให้ปริมตารรูปทรงนี้ $xyz = 100$ .................(1)

ถ้าความกว้างเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 75% จะได้ $(x+1)yz = 175$ .................(2)

ถ้าความยาวเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 50% จะได้ $(y+1)xz = 150$ .................(3)

ถ้าความสูงเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 25% จะได้ $(z+1)xy = 125$ .................(4)

จาก (2) จะได้ $xyz + yz = 175$
$ \because (xyz=100)$ จะได้ $yz = 75 $ ...............(5)

จาก (3) จะได้ $xyz + xz = 150$
$ \because (xyz=100)$ จะได้ $xz = 50 $ ...............(6)

จาก (4) จะได้ $xyz + xy = 125$
$ \because (xyz=100)$ จะได้ $xy = 25 $ ...............(7)



$\frac{(1)}{(5)}$ จะได้ $x = \frac{100}{75} = \frac{4}{3}$ .............(8)

$\frac{(1)}{(6)}$ จะได้ $y = \frac{100}{50} = 2 $..............(9)

$\frac{(1)}{(7)}$ จะได้ $z = \frac{100}{25} = 4 $..............(9)



พื้นที่ผิวของรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = $2(xy+xz+yz)$

= $2(\frac{4}{3}\times 2+ \frac{4}{3}\cdot 4 + 2\cdot 4)$

= $2(\frac{8}{3} + \frac{16}{3} +8)$

= 32

ตอบ พื้นที่ผิวของรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = 32 ตารางหน่วย

[banker]

ที่ผมทำนะครับ



มัธยมต้น

4. (5 คะแนน) จงหาคำตอบทั้งหมดที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ $\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{x+3}=4$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)

ให้ $ \ \ \ \ A = \sqrt[3]{(X+3)} $

$A^3 = X+3 $

$A^3 - 4 = X-1$

$\sqrt{A^3 - 4} =\sqrt{(X-1)} $

แทนค่า ใน $\sqrt{x-1} +\sqrt[3]{x+3} = 4 $

จะได้ $\sqrt{A^3 - 4} + A = 4 $

จะได้ $\sqrt{A^3 - 4} = 4 - A $

จะได้ $A^3 - 4 = 16 - 8A + A^2 $

$A^3 -A^2 +8A = 20$

$ A(A^2 -A+8) = 20$


$ A(A^2 -A+8) = (2\times 10), \ \ (-2)\times (-10), \ \ (1\times 20), \ \ (-1)\times (-20), \ \ (4)\times (5), \ \ (-4\times -5)$




.
.
.
.

ซึ่งจะได้ A ที่เป็นจำนวนเต็ม คือ $\pm 1, \ \ \pm 2, \ \ \pm 4, \ \ \pm 5, \ \pm 10, \ \ \pm 20, \ \ 3 $

และ A ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มคือ

$\frac{1}{2} (1\pm 3 i \sqrt{3}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{35}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{71}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{23}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{39}), \ \ $

$ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{111}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{15}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{47}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{11}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{51}), \ \ $





ทุกกรณีข้างต้น เมื่อแทนค่า A ในสมการ $A^3 = X+3 $ แล้ว
$x = 5 $ เท่านั้นที่ทำให้ สมการ $\sqrt{x-1} +\sqrt[3]{x+3} = 4 $ เป็นจริงตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด (จำนวนเต็ม)


ดังนั้น $X = 5 $

[banker]

ที่ผมทำนะครับ

มัธยมปลาย

4. (4 คะแนน) กำหนดลำดับ 1,3,5,3,5,7,5,7,9,... จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต 696 พจน์แรกของลำดับนี้
(เสนอโดยคุณ [SIL])

วิธีทำ
ลำดับ 1,3,5,3,5,7,5,7,9,... เป็นอนุกรม 3 ชุดซ้อนกันอยู่ แต่ละชุด มี $\frac{696}{3} = 232$ จำนวน คือ

$1, 3, 5, 7, 9. 11,.............,463$ (พจน์สุดท้ายหาได้จาก 2n-1) ................(1)
$ \ \ \ 3, 5, 7, 9. 11,.............,465$ (พจน์สุดท้ายหาได้จาก 2n+1) ................(2)
$ \ \ \ \ \ \ 5, 7, 9. 11, .............,467$ (พจน์สุดท้ายหาได้จาก 2n+3) ................(3)

ใช้สูตร ผลรวมเลขคี่
$1 + 3 + 5 + 7 +.........+ n = \frac{(n+1)^2}{4}$

ผลรวมชุดแรกจาก(1) ได้ $= \frac{(463+1)^2}{4} = 53824 $ .........(4)

ผลรวมชุดที่สองจาก(2) ได้ $= \frac{(465+1)^2}{4} -1 = 54288$ .........(5)

ผลรวมชุดที่สองจาก(3) ได้ $= \frac{(467+1)^2}{4} -4 = 54752$ .........(6)

ค่าเฉลี่ย = $\frac{53824+54288+54752}{696} = 234$ ANS


พิสูจน์สูตร ผลรวมเลขคี่
$1 + 3 + 5 + 7 +.........+ n = \frac{(n+1)^2}{4}$

คลิกที่นี่

พิสูจน์สูตร

$1= 1= \frac{(1+1)^2}{4}$
$1 + 3 = 4= \frac{(3+1)^2}{4}$
$1 + 3 + 5 = 9= \frac{(5+1)^2}{4}$
$1 + 3 + 5 +7 = 16= \frac{(7+1)^2}{4}$

.
.
.
.
.

$1 + 3 + 5 + 7 +9 +.....+ n = \frac{(n+1)^2}{4}$

[Anonymous314]

ข้อ 9 ระดับโอลิมปิก ลืมคำว่า has real solutions - มุมวัดในระบบ Rad ครับผม
(แอบมาพิมพ์ครับ )

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

[SIL]
5. จงหาค่าของ $\frac{-xy}{z}$ จากสมการ $$(5x^2+15x+25)(6y^2+8y+4)(5z^2+2z+2) = 33$$
[/hidden]

พิจารณา $(5x^2+15x+25)=5(x^2+3x+5)$
$=5(x+\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}$
$=\frac{5}{4}((2x+3)^2+11)$ .....(*)

พิจารณา $(6y^2+8y+4) = 6(y^2+\frac{4}{3}y+\frac{2}{3})$
$=6((y+\frac{2}{3})^2+\frac{2}{9})$
$=\frac{6}{9}((3y+2)^2+2)$.........(**)

พิจารณา $(5z^2+2z+2)=5(z^2+\frac{2}{5}z+\frac{2}{5})$
$=5((z+\frac{1}{5})^2+\frac{9}{25})$
$=\frac{1}{5}((5z+1)^2+9)$.........(***)

นำ (*),(**),(***) ไปแทนค่า
ได้ สมการใหม่คือ
$\frac{5}{4}\cdot \frac{6}{9}\cdot \frac{1}{5}((2x+3)^2+11))((3y+2)^2+2)(5z+1)^2+9)=33$

$((2x+3)^2+11))((3y+2)^2+2)(5z+1)^2+9)=2 \cdot 3^2\cdot 11 $
ได้ $x=\frac{-3}{2},y=\frac{-2}{3},z=\frac{-1}{5}$
$\frac{-xy}{z}=5$

Ps. ผมเกิดคิดว่า Contest ม.ต้นปีนี้ ตอบ 5 กันหลายข้อจัง...

[คusักคณิm]

1.จงหาค่าของ
$(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots (736^3-2)(737^3-1)(738^3-0)$
วิธีทำ $a^3=b$
$a^3=1ถึง738$
$b=738ถึง0$

จาก$a^3=1ถึง738$
ถอดรากที่3 ของ 738
$จะได้aเป็นจำนวนเต็มจาก1-9$
พิจารณาจาก
$(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots(9^3-729)$
จะทราบ$9^3=729$
$(0^3-738)*(1^3-737)*(2^3-736)...*(0)*...(736^3- 2)*(737^3-1)*(738^3-0)$จึง$=0$
คำตอบของ$(0^3-738)*(1^3-737)*(2^3-736)\cdots (736^3-2)*(737^3-1)*(738^3-0)=0$

$ตอบ 0$

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

2. (nooonuii) จงหาจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $$\sqrt[4]{2-\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}+\sqrt[4]{2+\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}=\sqrt{2}$$

จากโจทย์ให้ $u=\sqrt[4]{2-\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}$ และ $v=\sqrt[4]{2+\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}$
ได้ว่า $u+v=\sqrt{2}$ และ $u^4+v^4=4$
จากสมการทั้ง2ให้ $v=\sqrt{2}-u$ ไปแทน ได้ว่า
$$u^4+(\sqrt{2}-v)^4=4$$
$$2u^4-4\sqrt{2}u^3+12u^2-8\sqrt{2}u=0$$
$$2u(u-\sqrt{2})(u^2-\sqrt{2}u+4)=0$$
$$\therefore u=0,\sqrt{2}$$
ได้ $(u,v)=(0,\sqrt{2}),(\sqrt{2},0)$
แทนค่า $u=0$ ได้ $x=36$ ใช้ได้ และ $u=\sqrt{2}$ ได้ $\sqrt{x}=-10$ ใช้ไม่ได้
แทนค่า $v=\sqrt{2}$ ได้ $x=36$ ใช้ได้ และ $v=0$ ได้ $\sqrt{x}=-10$ ใช้ไม่ได้
$\therefore x=36$

[banker]

มัธยมต้น]
mercedesbenz


2. $ABCDEFGH$ เป็นกล่องทรงลูกบาศก์ ขนาด $9 \times 9 \times 9$ ลูกบาศก์หน่วย


จุด $X$ อยู่บนด้าน $AB$ ทำให้ $AX:AB=1:3$
จุด $Y$ อยู่บนด้าน $GH$ ทำให้ $GY:GH=1:3$
และ จุด $Z$ อยู่บนด้าน $DE$ ทำให้ $DZ : DE=1:3$

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $XYZ$ คือเท่าใด

มาทำโจทย์ที่เหลือครับ




วิธีคิด
หาความยาวด้านทั้งสามของ XYZ แล้วใช้สูตรหาพื้นที่ heron's formular


วิธีทำ

$(xz)^2 = 9^2 + 3^2 +3^2$
$xz = \sqrt{99} = 3\sqrt{11} $

$(zy)^2 = 9^2+6^2+6^2$
$zy = \sqrt{153} = 3 \sqrt{ 17} $

$(xy)^2 = 9^2+6^2+3^2$
$xy = \sqrt{126} = 3 \sqrt{ 14}$


พื้นที่ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $ เมื่อ $S = \frac{a+b+c}{2}$

$s = \frac{3}{2}(\sqrt{11} +\sqrt{14} +\sqrt{17} )$


พื้นที่ $= \sqrt{[ \frac{3}{2}(\sqrt{11} +\sqrt{14} +\sqrt{17} )] [ \frac{3}{2} (\sqrt{14} +\sqrt{17} -\sqrt{11})] [ \frac{3}{2} (\sqrt{11} +\sqrt{17} -\sqrt{14})] [ \frac{3}{2} (\sqrt{11} +\sqrt{14} -\sqrt{17})]} $



พื้นที่ $= \frac{9}{4}\sqrt{(2\sqrt{14 \cdot 17} + 20 )(2\sqrt{14 \cdot 17} - 20 )} $


พื้นที่ $= \frac{9}{4}\sqrt{(2\sqrt{14 \cdot 17})^2 - ( 20 )^2} $



พื้นที่ $= \frac{9}{4}\sqrt{952-400} $


พื้นที่ $= \frac{9}{4}\sqrt{552} $

พื้นที่ $= \frac{9}{4} \cdot 2\sqrt{138} $

พื้นที่ $= \frac{9}{2}\sqrt{138} $