Mathcenter Contest Round 1/2009 Longlist

[banker]

Platootod
4. จงแสดงว่า $$\frac{4^{5555}+10^{5555}+5^{5555}-2^{5555}-7^{5555}-1}{3}$$ เป็นจำนวนเต็ม

ช้อนี้ผมทำแล้วไม่เป็นจำนวนเต็ม
หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1
คุณPlatootod ช่วยเฉลยหน่อยครับ


ผมทำแบบประถมนะครับ คือหาเลขท้าย 2 ตัว ของแต่ละจำนวน ดังนี้

4 เมื่อยกกำลังไปเรื่อยๆ 10 รอบ เลขท้าย 2 ตัวจะเริ่มวน
10 หาร 5555 เหลือเศษ 5 ซึ่งตรงกับเลขท้าย 2 ตัว = 24 นั่นคือ
$4^{5555} = .........24$

$10^{5555}$ เลขท้าย 2 ตัว $= 00$

5 ยกกำลังไปเรื่อยๆ เลขท้าย 2 ตัวจะเป็น 25 ดังนั้น
$5^{5555} = ........25$

2 เมื่อยกกำลังไปเรื่อยๆ 20 รอบ เลขท้าย 2 ตัวจะเริ่มวน
20 หาร 5555 เหลือเศษ 15 ซึ่งตรงกับเลขท้าย 2 ตัว = 68 นั่นคือ
$2^{5555} = .........68$


7 เมื่อยกกำลังไปเรื่อยๆ 4 รอบ เลขท้าย 2 ตัวจะเริ่มวน
4 หาร 5555 เหลือเศษ 3 ซึ่งตรงกับเลขท้าย 2 ตัว = 43 นั่นคือ
$7^{5555} = .........43$


ซึ่งเมื่อนำตัวเศษมารวมกัน ก็จะได้ $(.....24) + (....00) + (.....25) - (.....68) - (.....43) - (1) = ..... 37$

$\dfrac{4^{5555}+10^{5555}+5^{5555}-2^{5555}-7^{5555}-1}{3}$ = $\dfrac{(.........37)}{3}$


หารไม่ลงตัว

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ช้อนี้ผมทำแล้วไม่เป็นจำนวนเต็ม
หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1
....
หารไม่ลงตัว

คือผมสงสัยอ่าครับ
ว่าทำไมลงท้ายด้วย 37 แล้วหารด้วย 3 เหลือเศษ 1 อ่าครับ (ตัวอย่างค้าน เช่น 237)

[banker]

อ่า ... ใช่ครับ ถ้างั้นก็ต้องหา เลขท้าย 3 ตัว หรือใช้วิธีอื่น


คุณScylla_Shadow ช่วยเฉลยหน่อยครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

Platootod
4. จงแสดงว่า $$\frac{4^{5555}+10^{5555}+5^{5555}-2^{5555}-7^{5555}-1}{3}$$ เป็นจำนวนเต็ม

จับคู่ใหม่ เป็น $\frac{4^{5555}-1+10^{5555}-7^{5555}+5^{5555}-2^{5555}}{3}$

$\frac{(4-1)(....)+(10-7)(....)+(5-2)(....)}{3}$

$\frac{3(..ก้อน..)}{3}$

$ก้อน$

อ่าครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

Platootod
4. จงแสดงว่า $$\frac{4^{5555}+10^{5555}+5^{5555}-2^{5555}-7^{5555}-1}{3}$$ เป็นจำนวนเต็ม

ผมคิดแบบนี้อ่ะครับ
$$\frac{(3+1)^{5555}+(9+1)^{5555}+(6-1)^{5555}-(3-1)^{5555}-(6+1)^{5555}-1}{3}$$
แล้วจะได้เศษคือ $\frac{1+1-1+1-1-1}{3}=0$ อ่ะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

จับคู่ใหม่ เป็น $\frac{4^{5555}-1+10^{5555}-7^{5555}+5^{5555}-2^{5555}}{3}$

$\frac{(4-1)(....)+(10-7)(....)+(5-2)(....)}{3}$

$\frac{3(..ก้อน..)}{3}$

$ก้อน$

อ่าครับ

ขอบคุณอย่างสุดๆ

แต่ยังมองไม่ออก ช่วยแสดงตรงนี้ให้หน่อยครับ
(ถ้าเคลียร์ตรงนี้ ก็เข้าใจหมดครับ)


$10^{5555}-7^{5555} = (10-7)(....)$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ผมคิดแบบนี้อ่ะครับ
$$\frac{(3+1)^{5555}+(9+1)^{5555}+(6-1)^{5555}-(3-1)^{5555}-(6+1)^{5555}-1}{3}$$
แล้วจะได้เศษคือ $\frac{1+1-1+1-1-1}{3}=0$ อ่ะครับ

อันนี้ดูๆไป เหมือนใช้วิธีมดปลวกหรือเปล่าครับ

($\equiv mod$)

[Scylla_Shadow]

มาจากตรงนี้อ่าครับ

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^5-b^5=(a-b)(a^4+...+b^4)$

$a^7-b^7=(a-b)(....)$

$a^9-b^9=(a-b)(....)$
.
.
.
$a^{5555}-b^{5555}=(a-b)(....)$

อ่าครับ

[banker]

อ๋อ ..... ลืมไปครับ

ขอบคุณอีกครั้งครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

อันนี้ดูๆไป เหมือนใช้วิธีมดปลวกหรือเปล่าครับ

($\equiv mod$)

อันนี้ก็ไม่รู้เหมือนกันครับเพราะยังไม่ได้เรียนอ่ะ เหอๆ ที่คิดคือใช้ทวินามอ่ะ เพราะ $(a+b)^n$ จะมีแค่ $b^n$ ตัวเดียวที่ไม่มี a เป็นตัวประกอบอ่ะ

ปล. ชอบคำนี้จังเลย มดปลวก