Mathcenter Contest Round 2/2009 Longlist

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

Scylla_Shadow
ให้ $$S=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2551}+\frac{1}{2552}$$
จงหาค่าของ $$\frac{1}{2\times 3}+\frac{2}{3\times 4}+\frac{3}{4\times 5}+\cdots+\frac{2550}{2551\times 2552}$$
ในรูปของ $S$

โจทย์คุณScylla สวยดี

ให้ $ N = \frac{1}{2\times 3}+\frac{2}{3\times 4}+\frac{3}{4\times 5}+\cdots+\frac{2550}{2551\times 2552}$


$ N = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})+ (\frac{2}{3} - \frac{2}{4}) + (\frac{3}{4} - \frac{3}{5})+\cdots+ (\frac{1}{2551} - \frac{2550}{2552})$

$ N = \frac{1}{2} +\cdots+ \frac{1}{2551} - \frac{2550}{2552}$

$ 1 + N =(1 + \frac{1}{2} +\cdots+ \frac{1}{2551} + \frac{1}{2552}) - \frac{2551}{2552}$

$ 1 + N =(S) - \frac{2551}{2552}$


$ N =S - \frac{2551}{2552} - 1 =S - 1\frac{2551}{2552}$

$ \frac{1}{2\times 3}+\frac{2}{3\times 4}+\frac{3}{4\times 5}+\cdots+\frac{2550}{2551\times 2552} =S - 1\frac{2551}{2552}$

[~king duk kong~]

$(x+y)^2+(x+3)^2+y^2=3$
แล้ว$(x+y)^2+(y+3)^2+x^2=?$

ผมได้ติดค่า x,y อ่ะครับ เลยไม่รู้ว่าถูกรึเปล่า
จาก$(x+y)^2+(x+3)^2+y^2=3$
$(x+y)^2=3-(x+3)^2-y^2$

ดังนั้น$(x+y)^2+(y+3)^2+x^2$
$=3-(x+3)^2-y^2+(y+3)^2+x^2$
$=3+(y-x)(x+y+6)-(y-x)(x+y)$
$=3+(y-x)(6)$
$=3+6y-6y-x$#

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~king duk kong~

$(x+y)^2+(x+3)^2+y^2=3$
แล้ว$(x+y)^2+(y+3)^2+x^2=?$
...

ผมว่าน่าจะทำแบบนี้ครับ

$(x+y)^2+(x+3)^2+y^2=3$

กระจายได้ $2x^2+2xy+6x+2y^2+6=0$

$(x^2+4x+4)+(y^2-2y+1)+(x^2+2xy+y^2+2x+2y+1)=0$

$(x+2)^2+(y-1)^2+(x+y+1)^2=0$

ได้ว่า x=-2,y=1

ที่เหลือต่อเองครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ประถม





Heir of Ramanujan
นายอนันต์เดินทางกลับจากที่ทำงานโดยรถไฟฟ้าเวลาเดิมทุกวันเป็นปกติ
รถไฟฟ้าขบวนนี้จะจอดที่สถานีตากสิน (ซึ่งเป็นสถานีปลายทางที่ใกล้กับบ้านของนายอนันต์) ในเวลา $17:00$ น.
ในเวลาเดียวกันนี้ คนขับรถของนายอนันต์จะขับรถมาถึงสถานีตากสินพอดี เพื่อมารับนายอนันต์ขึ้นรถและขับกลับบ้าน
ในวันที่อากาศดีวันหนึ่ง นายอนันต์เลิกงานเร็วกว่าปกติ เขาขึ้นรถไฟฟ้าและมาถึงสถานีตากสินเวลา $16:00$ น.
แทนที่จะโทรหาหรือรอคนขับรถจนถึงเวลา $17:00$ น. เขาเริ่มออกเดินกลับบ้าน (โดยใช้เส้นทางเดียวกับคนขับรถ)
ระหว่างทาง เขาเดินไปเจอกับคนขับรถ ซึ่งจอดรถรับเขาในทันทีและขับกลับบ้าน เขากลับถึงบ้านเร็วกว่าเวลาปกติ $20$ นาที
อีกไม่กี่สัปดาห์ต่อมา ในวันที่อากาศดีอีกวันหนึ่ง นายอนันต์เลิกงานเร็วกว่าปกติ เขาขึ้นรถไฟฟ้าและมาถึงสถานีตากสินเวลา $16:30$ น.
เป็นอีกครั้งที่เขาไม่รอคนขับรถ เขาเริ่มออกเดินกลับบ้าน ระหว่างทาง เขาเดินไปเจอกับคนขับรถ ซึ่งจอดรถรับเขาในทันทีและขับกลับบ้าน
ในครั้งนี้เขาจะกลับถึงบ้านเร็วกว่าเวลาปกติเป็นเวลากี่นาที
สมมติให้นายอนันต์เดินด้วยอัตราเร็วคงที่ และคนขับรถใช้อัตราเร็วคงที่ในการขับรถ

เนื่องจากเป็นเด็กประถม ครั้นจะคำนวน ก็ดูยุ่งยากซับซ้อนเปล่าๆ
เอาแบบว่า หัดจินตนาการเอาก็แล้วกัน จะไ้ไม่ต้องคำนวนยากๆ


วิธีทำ

1. ใช้การขับรถของคนขับรถของนายอนันต์เป็นหลัก

2. โดยปกติ คนขับรถของนายอนันต์ขับรถจากบ้านไปถึงสถานีตากสิน 17.00 น. แล้ววกกลับ ถึงบ้านตามเวลาปกติ



3. ในวันอากาศดี คนขับรถของนายอนันต์ขับรถไม่ถึงสถานีตากสินแล้ววกกลับ(พบคุณอนันต์) ถึงบ้านก่อนเวลาปกติ 20 นาที


ตรงนี้แปลว่า คนขับรถของนายอนันต์ขับรถถึงจุดวกกลับ(พบคุณอนันต์) ใช้เวลาน้อยกว่าเวลาปกติ 10 นาที
(ขับรถกลับก็ใช้เวลาน้อยกว่าปกติอีก 10 นาที ---> เท่ากับถึงบ้านประหยัดเวลา 20 นาที)
นั่นแปลว่าจุดที่พบคุณอนันต์คือเวลา 16.50 น.

4. อากาศดีคราวก่อนคุณอนันต์เลิกงานก่อน 60นาที ทำให้มีช่องว่างเวลา 10 นาที (17.00 --> 16.50)
แต่วันนี้คุณอนันต์เลิกงานก่อน 30 นาที เทียบบัญญัติไตรยางค์ สองคนจะพบกัน ณ. เวลา 16.55 น. (จาก10นาทีเหลือ 5 นาที)
ดังนั้น วันนี้คนขับรถของนายอนันต์จึงใช้เวลาขับรถไปกลับมากกว่าวันอากาศดีที่แล้ว (5+5 =10 นาที ประหยัด10 นาที)


5. ดังนั้นจึงถึงบ้านใช้เวลามากว่าวันอากาศดีคราวที่แล้ว 10 นาที จึงถึงบ้านก่อนเวลาปกติ 20-10 = 10 นาที


คิดง่ายๆอย่างนี้ งงกันไหมครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

Heir of Ramanujan
ในสลากชุดหนึ่ง สลากแต่ละใบมีหมายเลขกำกับไว้ โดยเป็นหมายเลขที่มีเลขโดด 9 หลัก และใช้เลขโดดเฉพาะ 1 หรือ 2 หรือ 3 เท่านั้น
สลากแต่ละใบจะมีสีกำกับเป็นสีแดง หรือน้ำเงิน หรือเขียว
สลาก 2 ใบมีหมายเลขกำกับที่แตกต่างกันทุกหลักทั้ง 9 หลัก จะมีสีต่างกัน (เช่น 121212121 และ 232323232 มีสีต่างกัน)
ถ้าสลากหมายเลข 122222222 มีสีแดง และสลากหมายเลข 222222222 มีสีเขียว
แล้วสลากหมายเลข 123123123 มีสีอะไร

ก็ยังงงๆอยู่กับโจทย์

เอางี้ก็แล้วกัน
กลุ่มหนึ่ง เป็นสลากที่มีเลขโดดแบบเดียวมี $111111111 \ \ \ 222222222 \ \ \ 333333333$ ---> สีเขียว
กลุ่มสอง เป็นสลากที่มีเลขโดดสองแบบ มี $1$ กับ $2, \ \ 1$ กับ $3, \ \ 2 $ กับ $3$ ---> สีแดง
กลุ่มสาม เป็นสลากที่มีเลขโดดทั้งสามแบบคละกัน มี $1$ กับ $2, \ \ $ กับ $3$ ---> สีน้ำเงิน

สลากหมายเลข 123123123 อยู่ในกลุ่มสาม มีเลขโดดทั้งสามตัวคละกัน จึงมีสีน้ำเงิน

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ประถม
คusักคณิm

จงหาค่าของ
$\frac{1}{3}+\frac{1}{3+6}+\frac{1}{3+6+9}+\frac{1}{3+6+9+12} +\cdots +\frac{1}{3+6+9+12+15+...300}$
----------------------------------

ประถมข้อสุดท้ายแล้วครับ

วิธีทำค่อนข้างถึกหน่อย
ถ้าท่านอื่นมีวิธีสวยงามกว่านี้ โปรดชี้แนะด้วยครับ

$\because \ \ \ \ 1+2+3+4+...+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

$\therefore \ \ \ \ \ \dfrac{1}{\dfrac{n(n+1)}{2}} = \dfrac{2}{n(n+1)}$

จากโจทย์
$ \ \ \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3+6}+\dfrac{1}{3+6+9}+\dfrac{1}{3+6+9+12} +\cdots +\dfrac{1}{3+6+9+12+15+...300}$

$ = \dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+\dfrac{1}{1+2+3+4} +\cdots +\dfrac{1}{1+2+3+4+5+6+...100}\right)$

$ = \dfrac{1}{3}\left( \dfrac{2}{1(1+1)}+\dfrac{2}{2(2+1)}+\dfrac{2}{3(3+1)}+\dfrac{2}{4(4+1)} +\cdots +\dfrac{2}{100(100+1)}\right)$

$ = \dfrac{2}{3}\left( \dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2 \times3}+\dfrac{1}{3 \times 4}+\dfrac{1}{4 \times 5} +\cdots +\dfrac{1}{100 \times 101}\right)$

$ = \dfrac{2}{3}\left( (\dfrac{1}{1} -\dfrac{1}{2}) + (\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{3}) + (\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{4}) +\cdots + (\dfrac{1}{100} -\dfrac{1}{101}) \right)$

$ = \dfrac{2}{3}\left( (\dfrac{1}{1} -\dfrac{1}{101}) \right)$

$= \dfrac{2}{3} (\dfrac{100}{101})$

$= \dfrac{200}{303} \ \ \ Ans.$