#1
|
|||
|
|||
Limit
จงหาค่าของ Lim x---> infinity ของ [x]! / [x]^[x]
กำหนดให้ [x] คือ ฟังก์ชันปัดค่าลงเป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีค่าต่ำกว่า x 11 มิถุนายน 2008 12:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ksp123 |
#2
|
||||
|
||||
เราอาจมองว่า \[\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{[x]!}{[x]^{[x]}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{n^n}\]
ต่อไปเราสามารถแสดงได้ว่า \[\frac{1}{n^n} \leq \frac{n!}{n^n} \leq \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\] โดยอสมการ AM-GM \[\sqrt[n]{\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \cdot ... \cdot \frac{n}{n}} \leq \frac{1}{n}\left( \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + ... + \frac{n}{n}\right)\] ใช้สูตรผลรวมกับฝั่งขวา \[ \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}} \leq \frac{n(n+1)}{2n^2}\] ยกกำลัง n ทั้งสองข้างจะได้ว่า \[ \frac{n!}{n^n} \leq \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\]
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#3
|
|||
|
|||
สุดยอดค่ะ
ขอบคุณมาก คงต้องใช้ลำดับช่วยอะเนอะ แต่อยากจะรบกวนหน่อยว่า เจ้า 1/2^n (1 + 1/n)^n มันมี limit = 0 ได้อย่างไร อ้างอิงทฤษฎีไหนคะ |
#4
|
||||
|
||||
ก็ $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{1}{2^x}=0$ และ $\displaystyle \lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\rightarrow\therefore\lim_{x \to \infty}\frac{1}{2^x}(1+\frac{1}{x})^x=0\times e=0$
ถูกหรือเปล่าครับ 11 มิถุนายน 2008 21:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ owlpenguin |
#5
|
||||
|
||||
แนวคิดถูกต้องครับ แต่แก้ $x$ กะ $n$ ให้ถูกต้องร้อยเปอร์เซนด้วยนะครับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#6
|
|||
|
|||
แบบนี้ก็ได้ครับ $$0\leq \frac{n!}{n^n}\leq \frac{1}{n}$$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#7
|
||||
|
||||
อสมการของพี่ noonuii พิสูจน์ด้วย induction รึเปล่าครับ ?
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#8
|
|||
|
|||
$n\cdot n!=2\cdot 3\cdots n\cdot n\leq n^n$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ถามเรื่อง limit หน่อยครับ | [Cb : TkZ] | Calculus and Analysis | 4 | 27 ตุลาคม 2008 09:47 |
โจทย์ปัญหา เรื่อง limit ครับ | sck | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 20 | 25 ตุลาคม 2008 15:18 |
พิสูจน์ โดยใช้ limit ได้รึป่าวครับ | laoscript | Calculus and Analysis | 2 | 17 มิถุนายน 2007 17:45 |
Limit | Mastermander | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 15 | 21 เมษายน 2006 22:06 |
Prove that ..... about limit | Ta | Calculus and Analysis | 2 | 02 กันยายน 2005 01:40 |
|
|