|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ปัญหาเกี่ยวกับวิธีจัดหมู่ (Combination) การเลือกสิ่งของ การหยิบสิ่งของ
ผมตั้งกระทู้นี้ทิ้งไว้ เพื่อรวบรวมปัญหาเกี่ยวกับวิธีจัดหมู่โดยเฉพาะครับ (ขอระดับ ม.ปลาย เท่านั้น)
เนื่องจากเห็นว่ามักจะมีการถามปัญหาลักษณะซ้ำ ๆ เดิมบ่อย จะได้ค้นดูได้ง่าย ใครอยากจะหยิบอะไร ก็จะได้มาหยิบที่นี่ (ยกเว้น ปอบหยิบ อย่ามานะ....บรื่อ ๆๆๆๆๆ) ................................................................................................................................ ....... 1. มีรองเท้า6 คู่ แต่ละคู่สีต่างกัน สุ่มหยิบขึ้นมา 4 ข้าง ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้รองเท้าสีต่างกันทั้งหมดเท่ากับเท่าใด $\dfrac{16}{33} $ การทดลองสุ่ม คือ การสุ่มหยิบรองเท้าขึ้นมา 4 ข้าง จากที่มีอยู่ทั้งหมด 12 ข้าง สามารถเลือกทำได้เท่ากับ $\binom{12}{4} $ วิธี $\therefore n(S)= \binom{12}{4} $ เหตุการณ์ที่เราสนใจ คือ รองเท้าที่สุ่มหยิบขึ้นมาทั้ง 4 ข้างนั้น มีสีต่างกันทั้งหมด ซึ่งต้องหยิบมาจากรองเท้า 4 สี ๆ ละ 1 ข้าง วิธีหยิบ แบ่งงานเป็น 2 ขั้นตอน ขั้นตอนที่ 1 เลือกสีที่จะหยิบ 4 สี จากที่มีอยู่ 6 สี สามารถเลือกทำได้เท่ากับ $\binom{6}{4}=15 $ วิธี งานในขั้นตอนนี้เป็นการเล็งว่าจะหยิบรองเท้า 4 ข้าง จากสีไหน (ยังไม่ได้หยิบรองเ้ท้าขึ้นมา นะครับ) ซึ่งสามารถเลือกทำได้ 15 วิธี เช่น วิธีที่ 1 หยิบจาก สีแดง , สีดำ , สีขาว , สีน้ำเงิน วิธีที่ 2 หยิบจาก สีแดง , สีดำ , สีเหลือง , สีม่วง ฯลฯ ขั้นตอนที่ 2 ในแต่ละวิธีของงานในขั้นตอนที่ 1 เราก็ไปหยิบรองเท้าขึ้นมา 1 ข้าง จากรองเท้าที่มีอยู่ 2 ข้างในแต่ละสี สามารถเลือกทำได้เท่ากับ $\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1} $ วิธี $\therefore n(E)=\binom{6}{4}\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1} $ $\therefore P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)} =\dfrac{\binom{6}{4}\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1} }{ \binom{12}{4}} =\dfrac{16}{33} $ 28 กรกฎาคม 2011 22:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ lek2554 |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\dfrac{6}{7} $ การทดลองสุ่ม คือ การหยิบลูกบอลขึ้นมา 3 ลูก จากลูกบอลที่มีอยู่ทั้งหมด 7 ลูก สามารถเลือกทำได้เท่ากับ $\binom{7}{3} $ วิธี $\therefore n(S) = \binom{7}{3} $ เหตุการณ์ที่เราสนใจ คือ ลูกบอลที่สุ่มหยิบขึ้นมาทั้ง 3 ลูกนั้น มีสีเหมือนกัน 2 ลูก ซึ่งแบ่งเป็น 2 กรณี คือ กรณีที่ 1 หยิบได้ลูกบอลสีขาวเหมือนกัน 2 ลูก และหยิบได้ลูกบอลสีดำ 1 ลูก สามารถเลือกทำได้เท่ากับ $\binom{3}{2}\binom{4}{1} $ วิธี กรณีที่ 2 หยิบได้ลูกบอลสีดำเหมือนกัน 2 ลูก และหยิบได้ลูกบอลสีขาว 1 ลูก สามารถเลือกทำได้เท่ากับ $\binom{4}{2}\binom{3}{1} $ วิธี $\therefore n(E)=\binom{3}{2}\binom{4}{1}+ \binom{4}{2}\binom{3}{1} $ $\therefore P(E)=\dfrac{\binom{3}{2}\binom{4}{1}+ \binom{4}{2}\binom{3}{1}}{\binom{7}{3} } =\dfrac{6}{7} $ 28 กรกฎาคม 2011 23:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ lek2554 |
#3
|
||||
|
||||
ข้อสอบเอ็นทรานซ์ ปีการศึกษา 2530
3. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลอยู่ 13 สี สีละ 4 ลูก โดยที่ลูกบอลในแต่ละสี มีหมายเลข 1, 2, 3, 4 ตามลำดับ สุ่มหยิบลูกบอลออกมา 3 ลูก พร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลมีสีเหมือนกัน 2 ลูกเท่านั้น $\frac{72}{425} $ 28 กรกฎาคม 2011 17:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ lek2554 |
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\dfrac{24}{95}$ อ้างอิง:
|
#5
|
||||
|
||||
การแจกสิ่งของเหมือนกัน n สิ้ง ให้คน r คน โดยใช้หลักการ stars and bars
http://www.mathcenter.net/forum/show...rs+bars&page=4 |
#6
|
||||
|
||||
ข้อสอบเอ็นทรานซ์ ปีการศึกษา 2545/การใส่จดหมายลงในซองที่จ่าหน้าซองไว้แล้ว
ในการใส่จดหมาย 5 ฉบับ ที่เขียนถึงคน 5 คน คนละ 1 ฉบับ ลงในซองที่จ่าหน้าซองไว้แล้ว 5 ซอง ซองละหนึ่งฉบับ ความน่าจะเป็นที่ใส่จดหมายลงในซองได้ตรงกับชื่อหน้าซองไม่เกิน 3 ซอง และไม่น้อยกว่า 1 ซอง มีค่าเท่ากับเท่าใด $\frac{75}{120}$
สมมติให้ A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5} n(S) = จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจาก A ไปยัง B ซึ่งจะมีได้ 5! = 120 วิธี n(E) = จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจาก A ไปยัง B โดยที่ กรณีที่ 1. ตรง 1 ซอง ซึ่งหมายความว่า f(1) = 1 และ f(2) $\not= 2$, f(3) $\not= 3$, f(4) $\not= 4$, f(5) $\not= 5$ (หรือวนเป็นแบบอื่นซึ่งมีได้ C(5, 1) = 5 แบบ) ในที่นี้จะสร้างได้ $C(5, 1)D_4$ ฟังก์ชัน เมื่อ $D_4$ เป็นจำนวนวิธีที่ส่งจดหมายของคน 4 คน ไม่ถูกซองของเขาเลยสักคน กรณีที่ 2. ตรง 2 ซอง ซึ่งหมายความว่า f(1) = 1 และ f(2) = 2, f(3) $\not= 3$, f(4) $\not= 4$, f(5) $\not= 5$ (หรือวนเป็นแบบอื่นซึ่งมีได้ C(5, 2) แบบ) ในที่นี้จะสร้างได้ $C(5, 2)D_3$ ฟังก์ชัน เมื่อ $D_3$ เป็นจำนวนวิธีที่ส่งจดหมายของคน 3 คน ไม่ถูกซองของเขาเลยสักคน กรณีที่ 3. ตรง 3 ซอง ซึ่งหมายความว่า f(1) = 1 และ f(2) = 2, f(3)= 3, f(4) $\not= 4$, f(5) $\not= 5$ (หรือวนเป็นแบบอื่นซึ่งมีได้ C(5, 3) แบบ) ในที่นี้จะสร้างได้ $C(5, 3)D_2$ ฟังก์ชัน เมื่อ $D_2$ เป็นจำนวนวิธีที่ส่งจดหมายของคน 2 คน ไม่ถูกซองของเขาเลยสักคน ดังนั้น n(E) = $C(5, 1)D_4 + C(5, 2)D_3 +C(5, 3)D_2 = 5(9) + 10(2) + 10(1) = 75$ ดังนั้น P(E) = 75/120 ................................................................................................................................ ....... note. $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}) , D_1 = 0, D_2 = 1$ ให้ $D_n$ แทนจำนวนวิธีในการส่งจดหมายที่ต่างกัน n ฉบับ ลงในซองจดหมายที่ต่างกัน n ซอง โดยที่ส่งผิดซอง จะได้ $D_1=0, D_2=1$ ลองเขียนดูนะครับไม่ยาก $D_3 = 2 $ คือ f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1 กับ f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 2 สำหรับจดหมายตั้งแต่ 4 ฉบับขึ้นไป (ใช้กับ 3 ฉบับก็ได้) จะแบ่งเป็น 2 กลุ่มคือ กลุ่มที่ 1, f(1) = b และ f(b) = 1 (โดยที่ b $\ne 1$) กลุ่มที่ 2, f(1) = b แต่ $f(b) \ne 1$ ถ้ามี n ฉบับ กลุ่มที่ 1, ได้แก่ f(1) = 2 และ f(2) = 1 ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 2 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-2}$ วิธี f(1) = 3 และ f(3) = 1 ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 2 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-2}$ วิธี ..... f(1) = n และ f(n) = 1 ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 2 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-2}$ วิธี ดังนั้นในกรณีนี้จะส่งได้ทั้งหมด $(n-1)D_{n-2}$ วิธี กลุ่มที่ 2, ได้แก่ f(1) = 2 แต่ f(2) $\ne 1$ (เป็นอะไรยังไม่ต้องเลือก) ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 1 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-1}$ วิธี f(1) = 3 แต่ f(3) $\ne 1$ (เป็นอะไรยังไม่ต้องเลือก) ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 1 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-1}$ วิธี ..... f(1) = n แต่ f(n) $\ne 1$ (เป็นอะไรยังไม่ต้องเลือก) ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 1 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-1}$ วิธี ดังนั้นในกรณีนี้จะส่งได้ทั้งหมด $(n-1)D_{n-1}$ วิธี รวม 2 กลุ่มก็จะได้ $D_n = (n-1)(D_{n-2} + D_{n-1})$ ................................................................................................................................ ....... โจทย์ทำนองนี้เคยเป็นข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ในช่วงประมาณไม่เกิน 10 ปีที่ผ่านมา ผมจำไม่ได้ครับว่าเป็นของ พ.ศ.ไหน ถ้าสนใจลองหาดู ส่วนวิธีการมองปัญหาให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) เป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ใช้แก้ปัญหาที่ถ้านั่งทำซ้ำ ๆ ต่อไปแล้วจะยากขึ้นเรื่อย ๆ ครับ เช่น สมมติว่ามีลำดับ 2, 5, 8, 11, ... ถ้าเราหาสูตรของพจน์ทั่วไปก็จะได้เป็น $a_n = 3n-1$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ แต่ถ้ามองในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิด เราจะพบว่า พจน์ที่อยู่ถัดไปจะเท่ากับพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าตัวมัน บวกด้วย 3 เสมอ $a_2 = a_1 + 3$ $a_3 = a_2 + 3$ ... ดังนั้นจึงอาจจะเขียนในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิดได้เป็น $a_n = a_{n-1} + 3$ เมื่อ $n \ge 2$ และ $a_1 = 2$ หรือลำดับ 2, 4, 8, 16, ... ถ้าเราหาสูตรของพจน์ทั่วไปก็จะได้เป็น $a_n = 2^n$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ แต่ถ้ามองในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิด เราจะพบว่า พจน์ที่อยู่ถัดไปจะเท่ากับพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าตัวมัน คูณด้วย 2 เสมอ $a_2 = 2a_1$ $a_3 = 2a_2 $ ... ดังนั้นจึงอาจจะเขียนในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิดได้เป็น $a_n = 2a_{n-1}$ เมื่อ $n \ge 2$ และ $a_1 = 2$ หรือลำดับ Fibonacci ที่โด่งดังคือ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... จะเขียนในแง่ความสัมพันธ์เวียนเกิดได้เป็น $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ เมื่อ $n \ge 3$ และ $a_1 = a_2 = 1$ หรือถ้าถามว่าจะมีจำนวนในระบบฐานสองที่มีความยาว 8 ทั้งหมดกี่จำนวนซึ่งไม่มีศูนย์สองตัวใด ๆ อยู่ติดกัน เช่น 01110111 ใช้ได้ แต่ในขณะที่ 10011111 แบบนี้ใช้ไม่ได้ ถ้านับโดยตรงก็จะทำได้เฉพาะเมื่อมีความยาวน้อย ๆ เช่น n = 1 จะมี 2 จำนวนคือ 0 กับ 1 n = 2 จะมี 3 จำนวนคือ 01, 10, 11 n = 3 จะมี 5 จำนวนคือ 010, 011, 110, 101, 111, แต่ถ้ายาวมาก ๆ และสามารถหาออกมาเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิด ก็จะทำให้คำนวณได้ง่ายขึ้น (ในที่นี้จะได้ $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ เมื่อ $n \ge 3$ และ $a_1 = 2, a_2 = 3$ ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ทำนองเดียวกันกับลำดับ Fibonacci นั่นเองครับ) ................................................................................................................................ ....... มีอีกวิธีคือนั่งไล่ครับ ต้องใช้พลังนิดนึง ได้มาแล้วว่า $n(E)=5D_4 + 10D_3 +10D_2$ โดยที่ $D_n$ แทนจำนวนวิธีในการส่งจดหมายที่ต่างกัน n ฉบับ ลงในซองจดหมายที่ต่างกัน n ซอง โดยที่ส่งผิดซองทั้งหมด ชัดเจนว่า $D_2=1$ (สลับซองกัน) ต่อไปจะหา $D_3$ ให้คิดว่าเอาเลข 1,2,3 มาเรียงสับเปลี่ยนโดยไม่ให้เลขอยู่ตรงกับตำแหน่งของตัวเอง ไล่ดูจะได้ 321 กับ 231 รวม $D_3=2$ สุดท้าย $D_4$ แบ่งเป็นสามกรณีคือ เลข 1 อยู่ตำแหน่งที่ 2 หรือ 3 หรือ 4 โดยความสมมาตร แต่ละกรณีเกิดขึ้นเท่าๆกัน ดังนั้นนับกรณีเดียวพอ แล้วคูณสาม สมมติว่า 1 อยู่ตำแหน่งที่ 2 ไล่ได้ 2143, 3142, 4123 รวม 3 แบบ ดังนั้น $D_4=3\times 3=9$ นำไปแทนค่า $n(E)=5\times 9 + 10\times 2 +10=75$ |
#7
|
|||
|
|||
ข้อสอบ : มีคนอยู่ 4 คน กับม้านั่ง 9 ที่นั่ง จะจัดคนนั่งได้กี่วิธี โดยที่ไม่มี 2 คนใดๆอยู่ติดกัน (รบกวนแนะนำหน่อยครับ)
|
#8
|
||||
|
||||
โยนเหรียญบาทเที่ยงตรงหนึ่งเหรียญ จำนวน 10 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ได้หัวอย่างน้อย 2 ครั้งติดกันเท่ากับเท่าไหร่
อ้างอิง:
อ้างอิง:
31 กรกฎาคม 2011 12:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Metamorphosis |
#9
|
||||
|
||||
2. จงหาจำนวนสับเซต {${a_{1},a_{2},a_{3}}$} ของเซต {1,2,3,...,14} ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $a_{2}-a_{1}\geqslant 3$ และ $a_{3}-a_{2}\geqslant 3$
อ้างอิง:
อ้างอิง:
|
#10
|
||||
|
||||
กล่องใบหนึ่งมีบัตรอยู่ 10 ใบ ในแต่ละใบจะมีหมายเลข 1,2,3,4,5,6,7,8,9 และ 10อยู่ใบละหนึ่งหมายเลข นาย ก,ข,ค หยิบบัตรออกจากกล่องคนละ 1 ใบ โดยให้นาย ก หยิบก่อน ตามด้วย นาย ข และนาย ค ตามลำดับ การหยิบนี้หยิบแล้วไม่ใส่คืน จะมีกี่วิธีที่นาย ก หยิบบัตรที่มีหมายเลขที่มีค่ามากกว่านาย ข.และนาย ข หยิบบัตรที่มีหมายเลขที่มีค่ามากกว่านาย ค
(โจทย์ในหนังสือคู่มือเล่มหลักสูตรเก่า ค 016 พ.ศ.2536 ของอาจารย์สมัย เหล่าวานิชย์) $\binom{10}{3}$ ข้อนี้ถ้าคิดมากมานั่งไล่รับรองเหนื่อยตาย....เฉลยของอ.สมัยแค่ห้าบรรทัด เพราะการหยิบธนบัตรขึ้นมาพร้อมกัน 3 ใบ มันจะได้ธนบัตรที่มีหมายเลขต่างกันที่เรียงกันเองอยู่แล้วจากมากไปน้อย ก็แค่เลือกหยิบใบที่มากที่สุดให้นาย ก. ใบที่น้อยที่สุดให้นาย ค. และที่เหลือให้นาย ข ก็ได้ตามโจทย์ต้องการ ใครอยากแยกเขียนเป็นกรณีก็ได้ เสร็จแล้วบอกกันด้วย
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 31 กรกฎาคม 2011 21:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ เหตุผล: พิมพ์ไม่ครบ |
#12
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากครับ กระจ่างแจ่มเลย ^_^
|
#13
|
||||
|
||||
คุณลุง Banker กับท่านซือแป๋ หยินหยาง สะสมตุ๊กตาไว้ใน Collection ของตนเองคนละ $m$ และ $n$ ตัวตามลำดับ โดยที่ $m<n$ วันหนึ่งทั้งสองเกิดมีความคิดที่จะนำตุ๊กตามาแลกเปลี่ยนกัน
และเพื่อไม่ให้เกิดการได้เปรียบเสียเปรียบ จึงตกลงกันว่า เมื่อแลกเปลี่ยนแล้วต่างฝ่ายจะต้องมีตุ๊กตาเป็นจำนวนเท่าเดิม และถ้าต่างฝ่ายยังอาลัยอาวรณ์กับตุ๊กตาของตนเองจะไม่แลกเปลี่ยนกันเลยก็ได้ จำนวนวิธีที่แตกต่างกันทั้งหมดที่ทั้งสองคนจะแลกเปลี่ยนตุ๊กตากันได้มีจำนวนเท่ากับเท่าใด $\binom{m+n}{m} $ หรือ $\binom{m+n}{n} $ เดี๋ยวมาลงให้ครับ ยังไม่ว่างพิมพ์ |
#14
|
||||
|
||||
ข้อนี้คิดยังไงหรอครับ
มีห้องอยู่ทั้งหมด 5 ห้อง มีสามห้องมีคนอยู่ได้สามคน ที่เหลืออีกสองห้องได้เพียงคนเดียว ถ้าเราจะนำคนทั้งหมด 5 คนเข้าพัก ณ ห้อง 5 ห้องนี้ เราจะสามารถทำได้กี่วิธี |
#15
|
||||
|
||||
ลองแจกแจงกรณีต่าง ๆ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดดูหรือยังครับ
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
โจทย์ combination ค่ะ | vespa1 | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 7 | 23 พฤษภาคม 2010 23:33 |
|
|