#1
|
|||
|
|||
เกี่ยวกับ f(n)
1. กำหนดให้ f(n) เป็นผลบวก n พจน์แรกของลำดับต่อไปนี้
0,1,1,2,2,3,3,4,4,...,r,r,r+1,r+1,... จงเขียนสูตรกำหนด f(n) สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ และพิสูจน์ว่า f(s+t) - f(s-t) = st สำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก s และ t ที่ s > t แนะๆหน่อยครับ ผมลองคิดแล้วไม่รู้ว่ามาถูกทางมั้ย มันจะได้ f(1) = 0 f(2) = 1 f(3) = 2 f(4) = 4 f(5) = 6 f(6) = 9 f(7) = 12 แล้ว conjecture ว่า f(n) = ... 2. กำหนดให้ลำดับ a0 ,a1,a2, ... สอดคล้องกับเงื่อนไข am+n + am-n = (1/2)(a2m + a2n) สำหรับทุกๆจำนวนเต็ม m ณ n ถ้า a1 = 1 จงหา a2003
__________________
do the best |
#2
|
|||
|
|||
ข้อที่ 1 นะครับ
ก่อนอื่นสังเกตว่า พจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ $ \cases{ \frac{n-1}2 & ,n\ เป็นจำนวนคี่ \cr \frac n2 & , n\ เป็นจำนวนคู่}$ ผมจะลองเขียน f(n) ใหม่นะครับ f(1) $=\frac{1-1}2$ f(2) $=\frac{1-1}2+\frac22$ f(3) $=\frac{1-1}2+\frac22+\frac{3-1}2$ f(4) $=\frac{1-1}2+\frac22+\frac{3-1}2+\frac42$ $\displaystyle{ \vdots}$ f(n) $=\frac{(1-1)+(2)+(3-1)+(4)+(5-1)+...+พจน์สุดท้าย}2$ $\quad \ \ =\frac{(1+2+3+...+n)-1(x)}2$ *หมายเหตุ พจน์สุดท้ายคือ n-1 สำหรับ n เป็นคี่ และเป็น n สำหรับ n เป็นคู่ มาดูกันครับ ว่า ต้อง -1 ไปกี่ตัว (ตอนนี้ผมให้เป็น x ตัวไปก่อนะครับ) กรณี n เป็นจำนวนคี่ พบว่ามี -1 ที่พจน์ที่ 1 , 3 , 5 , ... , n นั่นคือมี -1 อยู่ $\frac{n+1}2$ พจน์ หรือ $ x\ =\ \frac{n+1}2$ จtได้ f(n) = $\frac{(1+2+3+...+n)-1(\frac{n+1}2)}2$ $\displaystyle{\quad \ \ =\frac{\frac{n(n+1)}2-1(\frac{n+1}2)}2}$ $\displaystyle{\quad \ \ =\frac{\frac{(n+1)(n-1)}2}2}$ $\displaystyle{\quad \ \ =\frac{(n^2-1)}4}$ $\displaystyle{\quad \ \ =\frac{n^2}4}-\frac14$ กรณี n เป็นจำนวนคู่ พบว่ามี -1 ที่พจน์ที่ 1 , 3 , 5 , ... , n - 1 นั่นคือมี -1 อยู่ $\frac{n}2$ พจน์ หรือ $ x\ =\ \frac{n}2$ จtได้ f(n) = $\frac{(1+2+3+...+n)-1(\frac{n}2)}2$ $\displaystyle{\quad \ \ =\frac{\frac{n(n+1)}2-1(\frac{n}2)}2}$ $\displaystyle{\quad \ \ =\frac{\frac{(n)(n+1-1)}2}2}$ $\displaystyle{\quad \ \ =\frac{n^2}4}$ เอา 2 กรณี มายุบรวมกันจะได้ conjecture ว่า $$f(n)=\frac {n^2}4 -\frac 14 \bigg( \frac{1+(-1)^{n+1}}2\bigg)$$ แล้วก็ induction เพื่อให้การพิสูจน์สมบูรณืครับ --------------------------------------------------------------------------------- มาทำโจทย์ต่อนะครับ แทนค่าลงในสูตรเมื่อกี๊ $$f(s+t)=\frac {(s+t)^2}4 -\frac 14 \bigg( \frac{1+(-1)^{s+t+1}}2\bigg)$$ $$f(s-t)=\frac {(s-t)^2}4 -\frac 14 \bigg( \frac{1+(-1)^{s-t+1}}2\bigg)$$ จากทฤษฏีจำนวน จะได้ว่า s + t และ s - t มีภาวะเป็นคู่ หรือ คี่เหมือนกัน นั่นคือ $(-1)^{s+t+1}=(-1)^{s-t+1}$ จะได้ส่วนหลังเหมือนกัน ดังนั้น $$f(s+t)-f(s-t)=\frac {(s+t)^2}4 -\frac {(s-t)^2}4$$ $$\qquad \qquad \ \ =\frac {(2s)(2t)}4$$ $$\qquad \qquad \ \ =\ st $$ ขออภัย พิมพ์ยาวไปหน่อยครับ อีกข้อเดี๋ยวตั้งอีกโพสต์นึงละกัน
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ |
#3
|
|||
|
|||
ข้อที่ 2
หา $a_0$ ก่อนนะครับ ให้ n = m $ a_{2m} + a_0 = \frac 12 (a_{2m} + a_{2m}) $ $\therefore a_0 \ =\ 0 $ ต่อมาให้ n = 0 $ a_{m} + a_{m}= \frac 12 (a_{2m} + a_0) $ $ \therefore a_{2m}= 4a_m $ ทำให้ได้ $a_2\ =\ 4a_1\ =\ 4 $ สุดท้ายละครับ ให้ n = 1 $ a_{m+1} + a_{m-1}= \frac 12 (a_{2m} + a_2) $ $ a_{m+1} + a_{m-1}= \frac 12 (4a_m + 4) $ $ a_{m+1} = 2a_m -2a_{m-1} + 2 $ ทำให้สามารถหา $a_3,a_4,... ได้$ ลองไล่ดูนะครับ $a_0 \ =\ 0 $ $a_1 \ =\ 1 $ $a_2 \ =\ 4 $ $a_3 \ =\ 9 $ $a_4 \ =\ 16 $ $\vdots$ จึง conjecture ได้ว่า $a_n \ =\ n^2 $ จะพิสูจน์ด้วย induction นะครับ ให้ p(n) แทนข้อความที่ว่า $ a_n \ =\ n^2 $ ขั้นฐาน p(0) : $a_0\ =\ 0$ p(1) : $a_1\ =\ 1$ เป็นจริงอยู่แล้วจากที่เราหามาเมื่อกี๊ แล้วก็โจทย์กำหนดให้ ขั้นอุปนัย ให้ p(k-1) , p(k) เป็นจริง นั่นคือ $a_{k-1}\ =\ (k-1)^2$ และ $a_{k} = k^2$ จะได้ $a_{k+1}\ =\ 2(k^2)-(k-1)^2+2$ $\qquad \qquad =\ 2k^2 - k^2+2k-1+2$ $\qquad \qquad =\ k^2 +2k+1$ $\qquad \qquad =\ (k+1)^2$ โดยกการอุปนัยเชิงคณืตศาสตร์จะได้ว่า p(n) เป็นจริง ทุกๆจำนวนเต็ม n$\geq$1 ------------------------------------------------------ เอาที่โจทย์ถามมาแทนในสูตรนะครับ $\therefore a_{2003}\ =\ ({2003})^2$ นั่นเองครับ
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ 28 ธันวาคม 2005 23:51 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ R-Tummykung de Lamar |
#4
|
|||
|
|||
เอ..ผมว่าผมเจอ bugs แล้วนะครับ
ไม่ทราบว่าคนอื่นเห็นเหมือนกันรึเปล่า 1.ไม่ประมวลผลครับ ผมลองเช็คดูโค้ดแล้ว ลองแก้ไขแล้ว refresh แล้ว ก็ยังเหมือนเดิมคือไม่ประมวลผลครับ ในที่ preview ยังประมวลผลเลยครับ 2.เครื่องหมายเพี้ยนไป คือจาก , มันออกมาเป็น ; ผมลองเช็คแล้วเหมือนกันครับ ดูรูปประกอบได้เลยครับ (เป็น 2 bugs ในกระทู้นี้อะคับ ลองเลื่อนๆขึ้นไปดูว่าเห็นเหมือนผมรึเปล่า)
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ 29 ธันวาคม 2005 00:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ R-Tummykung de Lamar |
|
|