ถามโจทย์ 9 ข้อนี้ทำอย่างไรครับ

[brother]

ขอถามโจทย์หน่อยนะครับ คิดแล้วจนปัญญาจริงๆ
ข้อที่ 1 ทุน KING 47 หา f(2)+f(-2)....... http://www.mathcenter.net/toabroad/2547/2547p02.shtml
ข้อ 5.3 เรื่อง CALCULUS จะหา c อย่างไรครับ
ข้อ 2 TMO 47 ข้อ 3 นักเรียน 18 คน........ http://www.mathcenter.net/olympiad/tmo47/tmo47p02.shtml
ข้อ 3 จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ ( (n*2^2547)+(7^2547) ) หารด้วย 45 ลงตัวครับ
ข้อ 4 จงหาค่ามากที่สุด และน้อยที่สุดของ (1+sinx) / (5+4cosx)
ข้อ 5 จำนวนจัดหมู่ตัวอักษรครั้งละ 4 ตัวกับจำนวนเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร ครั้งละ 4 ตัว ในคำว่า PROPORTION ต่างกันเท่าไร
ข้อ 6 ให้ x,y เป็นจำนวนเต็มบวก สมการ xy-2547x-2004y=0 มีกี่คำตอบ
ข้อ 7 ห.ร.ม.(28,42)=28m+42n จงหา m+n ครับ
ข้อ 8 f(x)=Ax+B , a ไม่เท่ากับ 0 และ f(1)= 1 และ f(f(f(2))))=2f -1(4) (ข้างขวา 2 คูณ f อินเวอร์สของ 4)
จงหา A กำลัง 4 + b
ข้อ 9 ใช้โปรแกรม MS word วาดกราฟแรเงา(พื้นที่)อย่างไรครับ เช่นโค้งปกติ หรือ กราฟ linear programing
ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

ข้อ 3 ตั้งสมการ \( 2^{2547} n + 7^{2547} = 0 (mod 45) \)
จากนั้นนำมามอดูโล 5 กับ 9 จะได้
\( n = 1 (mod 9) \)
\( n = -1 (mod 5) \)
ใช้ Chinese Remainder Theorem แก้หาค่า n ออกมาได้ก็จบครับ

ข้อ 6 จัดสมการใหม่เป็น (x - 2004)(y - 2547) = (2004)(2547)
จะได้จำนวนคำตอบของสมการนี้เท่ากับจำนวนตัวหารของ (2004)(2547)
แต่ต้องระวังพวกตัวหารที่ติดลบนิดนึงครับเพราะบางตัวอาจจะไม่สอดคล้องเงื่อนไขโจทย์

ข้อ 7 ใช้ Euclidean Algorithm หา หรม ของ 28,42 ออกมา แล้วใช้การทำย้อนกลับจะได้ค่า m,n

[M@gpie]

ข้อที่ 1. จะหาค่า C ได้จากความต่อเนื่องของฟังก์ชันครับ ที่ตำแหน่ง x=1 ฟังก์ชันต้องต่อเนื่องเราถึงสามารถรวมกันเป็นรูปเครื่องหมายสัมบูรณ์ได้

[brother]

ช่วยแสดงหา c อย่างละเอียดหน่อยนะครับ

[warut]

ผมว่าโจทย์ทุน ก.พ. ข้อ 5.3 เนี่ยมีปัญหานะครับ ผมเคยแสดงวิธีทำไปแล้วครั้งนึงด้วย
แต่ไม่มีใครมาออกความเห็นเพิ่มเติม ก็เลยยังไม่มั่นใจสักเท่าไหร่ครับ

[passer-by]

ข้อ (3) ผมขอเสนออีกแนวทางแล้วกันนะครับ
ผมมอง 45 เป็น 7²-2² แล้วก็ลองตั้งหารยาวคร่าวๆ ดูพบว่าตัวสุดท้ายที่ หารไม่ได้ คือ 7ท2²⁵⁴⁶ +nท2²⁵⁴⁷ =2²⁵⁴⁶ (7+2n) แต่เนื่องจากโจทย์กำหนดให้การหาร ไม่มีเศษ ดังนั้น 45 | 2²⁵⁴⁶ (7+2n)
แต่เพราะ 45 หาร 2²⁵⁴⁶ ไม่ลงตัว
ดังนั้น 45 |7+2n เมื่อลองแทนค่า n พบว่าค่า n น้อยสุดที่เป็นไปได้ คือ 19
มีใครได้คำตอบต่างจากนี้มั้ยครับ

[warut]

TMO 47 ข้อ 3. วันที่ 2 คุณ gon เคยแสดงวิธีทำไปแล้วครับ (แต่ผมยังไม่เคยอ่านดูเลยนะ )

[brother]

พี่ช่วย clear ให้หมดด้วยครับ

[passer-by]

ข้อ 8 แทนค่าเข้าไปตรงๆ เลยครับ
จาก f(1)=1 ดังนั้น A+B =1 หรือ B=1-A.......(1)
L.H.S.= f(f(f(2)))= 2A³+A²B+AB+B
= 2A³+B(1+A+A²) =2A³+(1-A)(1+A+A²) =2A³+1-A³=A³+1
R.H.S.=(8-2B)/A=(6+2A)/A
จาก L.H.S.=R.H.S. เมื่อนำ A คูณตลอดสมการแล้วเรียงพจน์ใหม่จะได้
A⁴ =A+6
ดังนั้น A⁴+B= A+B+6= 1+6=7

ส่วนข้อ 4 ตอนนี้คิดออก แต่วิธีที่ใช้สูตรตรีโกณ เว่อร์ๆ หน่อย ใครมีวิธีสั้นและเร็วกว่านี้ ก็ลองเสนอเข้ามาได้นะครับ
จาก cos(t)=\( \huge\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \)
sin(t)=\( \huge\frac{2t}{1+t^{2}} \) เมื่อ t=tan(q/2)
แทนค่าลงไปในโจทย์จะได้
f(t)=\( \huge\frac{(t+1)^{2}}{t^{2}+9}\)
เห็นได้ชัดว่า f(t)ณ0 ดังนั้น ค่าน้อยสุดคือ 0 (เมื่อ t= -1)
ส่วนค่ามากสุด ก็ใช้ calculus ดูอ่ะครับ ถ้าคิดไม่ผิด ค่ามากสุดคือ 10/9 (เมื่อ t=9)

[gon]

ข้อ 3. ต้นฉบับเฉลยแบบนี้ครับ.
\[{15 \choose 1} + {16 \choose 1}{16 \choose 1} + {17 \choose 3} = 951 \]

[warut]

สำหรับค่าต่ำสุดของข้อ 4. นั้นหาได้โดยการสังเกตว่า 5 + 4cos x > 0 เสมอ และ
1 + sin x ณ 0 ดังนั้นค่าต่ำสุดจึงเป็น 0 ครับ

สำหรับค่าสูงสุด ผมว่าการแปลงของคุณ passer-by เป็นวิธีที่ฉลาดมากครับ
ถ้าจะเลี่ยงไม่ใช้ Calculus ก็ให้สังเกตว่า\[f(x)=\frac{(t+1)^2}{t^2+9}=
\frac{10}{9+\left(\frac{t-9}{t+1}\right)^2}\, ,\quad
t\ne-1\]เนื่องจาก\[\left(\frac{t-9}{t+1}\right)^2\ge0\]ดังนั้นค่าสูงสุดของ f(x) คือ 10/9 ซึ่งจะเกิดเมื่อ t = tan(x/2) = 9 ครับ

[passer-by]

Thanks you คุณ Warut มากครับ สำหรับวิธีที่สั้นและเร็วสะใจดี ในการหาค่าสูงสุด

[gon]

ข้อ 5 นะครับ.
\( \fbox{จำนวนจัดหมู่ตัวอักษรครั้งละ 4 ตัวกับจำนวนเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษร ครั้งละ 4 ตัว ในคำว่า PROPORTION ต่างกันเท่าไร} \)

พิจารณาอักษร P, P, R, R, O, O, O, T, I, N

การจัดหมู่ : จะแบ่งออกเป็น 4 กรณีคือ
กรณีที่ 1 อักษร 4 ตัว ต่างกันหมด ทำได้ \({6 \choose 4} \, \) วิธี
กรณีที่ 2 อักษรซ้ำกัน 3 ตัว ทำได้ \({1 \choose 1}{5 \choose 1 \,} \) วิธี
กรณีท่ 3 อักษรซ้ำกัน 1 คู่ 2 ชุด ทำได้ \({3 \choose 2} \, \) วิธี
กรณีที่ 4 อักษรซ้ำกัน 1 คู่ อีก 2 ตัวต่างกัน ทำได้ \( {3 \choose 1}{5 \choose 2} \, \) วิธี

การเรียงสับเปลี่ยน : ก็จะแบ่งเป็น 4 กรณี เช่นกัน คือ
กรณีที่ 1 อักษร 4 ตัว ต่างกันหมด ทำได้ \({6 \choose 4}4! \, \) วิธี
กรณีที่ 2 อักษรซ้ำกัน 3 ตัว ทำได้ \({1 \choose 1}{5 \choose 1\frac{4!}{3!} \,} \) วิธี
กรณีท่ 3 อักษรซ้ำกัน 1 คู่ 2 ชุด ทำได้ \({3 \choose 2}\frac{4!}{2! 2!} \, \) วิธี
กรณีที่ 4 อักษรซ้ำกัน 1 คู่ อีก 2 ตัวต่างกัน ทำได้ \( {3 \choose 1}{5 \choose 2}\frac{4!}{2!} \, \) วิธี

\ จำนวนวิธีจะต่างกันอยู่ \( {6 \choose 4}(4! - 1) + \cdots \,\)

ข้อ 4 ถ้าเป็นผมจะทำแบบนี้ครับ.
\[\frac{1 +\sin x}{5 + 4\cos x} = \frac{t^2 + 2t + 1 }{t^2 + 9} , \quad t = \tan \frac{x}{2} \]

สมมติให้ \[ \frac{t^2 + 2t + 1 }{t^2 + 9} = y \Rightarrow (y-1)t^2 - 2t + (9y - 1) = 0 \]

ซึ่งจะมีค่าเมื่อ \(b^2 - 4ac \geq 0 \Rightarrow 4 - 4(y-1)(9y-1) \geq 0 \iff y(9y - 10) \leq 0 \iff 0 \leq y \leq \frac{10}{9}\)

นั่นคือ ค่าต่ำสุดและสูงสุดของ y คือ 0 และ 10/9 ตามลำดับ