โจทย์ตัวแปรยกกำลังสาม ช่วยหน่อยนะคะ

[Ding Dong]

คือว่าพอลองทำไปเรื่อยๆจะได้สมการ -c³-3c²+3c+8=0
ซึ่งคาดว่า c ไม่น่าเป็นเลขจำนวนเต็ม เพราะลองทำดูแล้ว ขอให้พี่ๆเพื่อนๆช่วยคิดหาคำตอบให้ทีนะคะ

[warut]

ถ้านี่เป็นโจทย์มัธยม ผมว่าโจทย์คงผิดล่ะครับ เพราะคำตอบไม่ลงตัวนี่นา

[M@gpie]

จากการใช้เครื่องคิดเลขขี้โกงครับ ได้ รากจริง 3 ตัวคือ
x = 1.669079088 , -3.145102691 , -1.523976397

[Ding Dong]

นี่เป็นโจทย์ข้อสอบชิงทุนเล่าเรียนหลวงปี 2541 ระดับมัธยมศึกษาตอนปลายค่ะ และเอามาจากเว็บนี้ด้วย และที่สำคัญคือเป็นโจทย์ข้อที่ 1 ด้วยล่ะ คาดว่าต้องใช้เชิงขั้วแก้ แต่ทำไม่เป็นค่ะ ใครรู้ตอบทีนะ

[warut]

อ๋อ...ถ้าเป็นทุน ก.พ. ก็โจทย์ผิดแน่นอน ไม่ต้องไปสนใจอะไรมากครับ แค่หาสมการ -c³ - 3c² + 3c + 8 = 0 ออกมาได้ถูกต้องก็เยี่ยมแล้วครับ

[gon]

เมื่อครู่ผมลองหาต้นฉบับดูแล้วครับ. ปรากฏว่าหาไม่เจอ ซึ่งก็เป็นไปได้ว่า ผมอาจจะพิมพ์ผิดเองแต่โจทย์ถูก แต่ก็ไม่น่าเป็นไปได้ที่มาถึงพิมพ์ข้อแรกก็เกิดอาการเบลอ ดังนั้นควรจะสันนิษฐานว่าโจทย์คงผิดมากกว่า

ถ้าดูจากลักษณะของโจทย์คาดว่า โจทย์คงอยากให้สุดท้ายออกมาเป็น \( -c^3 +3c^2 - 3c - 8 = 0\) ลองแก้สมการนี้ดูแทนแล้วกันนะครับ. ถ้าคิดออกก็ถือว่ามีสามัญสำนึกในการแก้ปัญหาข้อนี้ ถือว่าผ่าน !

อย่างไรก็ดีสำหรับโจทย์ข้อนี้ ในกรณีสมการกำลังสามที่รากเป็นจำนวนจริงทั้งสามค่าแตกต่างกันทั้งหมด และ ถ้าเราอยากตอบในรูปฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราอาจใช้สูตรลับของผมคือ (เขารู้กันมา 500 ปีแล้วละมั้ง ) คือ สมการ \(x^3 + Px^2 + Qx + R = 0\) จะมีคำตอบเป็น
\[x = \frac{2}{3}\sqrt{P^2 - 3Q} \cos [\frac{1}{3} \cos^{-1}\frac{9PQ - 2P^3 - 27R}{2\sqrt{(P^2 - 3Q)^3}}] - \frac{P}{3} , \]\[\frac{2}{3}\sqrt{P^2 - 3Q} \cos [\frac{1}{3} (2\pi \pm \cos^{-1}\frac{9PQ - 2P^3 - 27R}{2\sqrt{(P^2 - 3Q)^3}})] - \frac{P}{3}\]

ดังนั้นในข้อนี้ถ้าแทนค่าลงไปจะได้คำตอบ คือ \[x = 2\sqrt{2} \cos (\frac{1}{3} \cos^{-1}\frac{3\sqrt{2}}{8}) - 1 ,\]\[ 2\sqrt{2} \cos (\frac{1}{3} (2\pi \pm \cos^{-1}\frac{3\sqrt{2}}{8} ) ) - 1 \]

อย่างไรก็ดี อาจจะลองแก้ปัญหาที่คล้าย ๆ กันดู คือ
กำหนดให้ \(A = \bmatrix{1 & -2 & 3 \\ -1 & 0 & k \\ 2 & 1 & -3} \)
เมื่อ k เป็นจำนวนจริงบวกที่ทำให้ det (A² - 2A) = 96
จงหารากจริงของสมการ \(23x^5 - 23x^3 + 20kx^2 - 46x + 20k = 0 \)

ซึ่งเป็นโจทย์แถว ๆ นี้นั้นแล.

[ฝันบรรเจิด]

ถ้าสมการเป็น x^4+Ax^3+Bx^2+Cx+D = 0 หละครับพี่กร จะมีสูตร ลัดที่เป็น ตรีโกณแบบไหนครับ ??????

[gon]

เดี๋ยวขอเวลาคิดก่อนนะครับ ไม่่เกิน 1 เดือน

[Platootod]

นี่เกินไป 3 ปีแล้วครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

นี่เกินไป 3 ปีแล้วครับ

สำหรับคณิตศาสตร์ 10 ปีก็ยังไม่ถือว่านานไป

โจทย์บางข้อ เขาคิดกันเป็นพันๆปี ยังคิดไม่ออกก็มี

[[SIL]]

กำลัง 4 ส่วนมากจะซ่อนทริคไว้มากกว่าครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

สำหรับคณิตศาสตร์ 10 ปีก็ยังไม่ถือว่านานไป

โจทย์บางข้อ เขาคิดกันเป็นพันๆปี ยังคิดไม่ออกก็มี

คนที่สอบตกหรือเรียนซ้ำชั้นเค้าใช้หลักคิดนี้ด้วยหรือเปล่าครับ

[Pitchayut]

ถ้าเป็น $x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ ผมสูตรดังนี้ (ใครจะไปจำไหว T_T)

ให้
$f = c - \displaystyle{\frac{3b^2}{8}}$

$g = d +\displaystyle{\frac{b^3}{8}}-\displaystyle{\frac{bc}{2}}$

$h = e - \displaystyle{\frac{3b^4}{256}}+ \displaystyle{\frac{b^2c}{16}} - \displaystyle{\frac{bd}{4}}$

จากนั้น หาค่า $y_1, y_2, y_3$ จากสมการ

$y^3 +\displaystyle{\frac{f}{2}}y^2 + \displaystyle{\frac{f^2-4h}{16}}y -\displaystyle{\frac{g^2}{64}} = 0$

เลือก $y_1, y_2, y_3$ มาสองตัวที่ไม่เป็นศูนย์ โดยสมมุติให้เป็น $m$ และ $n$ แล้วให้

$p=\sqrt{m}$

$q=\sqrt{n}$

$r=\displaystyle{\frac{-g}{8pq}}$

$s=\displaystyle{\frac{b}{4a}}$

สุดท้าย หาค่าของรากทั้งสี่ตัว $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ จากสมการ

$x_1=p+q+r-s$

$x_2=p-q-r-s$

$x_3=-p+q-r-s$

$x_4=-p-q+r-s$

(เอามาจาก http://www.1728.org/quartic2.htm)

[cfcadet]

วิธีทำยากจังเลยนะครับ เพราะโจทย์มันยากจริงๆ