ข้อสอบเพชรยอดมงกุฎ ม.ปลาย ปี 48 รอบชิงชนะเลิศ

[thee]

ใครรู้วิธีคิดก็ช่วยแสดงวิธีคิดให้ดูหน่อยนะครับ

[thee]

ต่อครับ

[thee]

เหลืออีก 2

[thee]

อีก1

[thee]

อันสุดท้ายครับ ถ้าผมคิดได้แล้วผมจะมาเฉลยให้นะครับ

[nongtum]

เท่าทีดู ยากเอาการแฮะ...
โจทย์ข้อเจ็ด ส่วนคำถามหายไปครับ ส่วนข้ออื่นยังไม่ได้คิดเลยเพราะเนตที่หอกำลังเจ๊ง TT ไว้คิดได้สักสามสี่ข้อจะมาโพสต์นะครับ

[passer-by]

ข้อ 16

เพราะ ึ2cos(45-n)= cos(n)+sin( n)

จากนั้นก็แทน n= 1,2,3,...,44 ลงไป ก็จะได้สมการ 44 สมการ ซึ่งเมื่อนำมารวมกัน จะได้

\[ \sqrt{2}\sum_{i=1}^{44}cos(i) =\sum_{i=1}^{44}cos(i) +\sum_{i=1}^{44}sin(i) \]
เมื่อหารด้วย summation ของ sine จะได้ คำตอบที่ต้องการ นั่นคือ

ึa +ึb= ึ2 +1

ข้อนี้จึงตอบ 3

[nongtum]

1. จาก \(\displaystyle\large{30\cdot5^x=151\cdot25-\frac{5^x}{5}}\) จะได้ x=3 และจาก \(\displaystyle\large{\frac{a^{x^2}}{5}=\frac{1}{5\cdot10^9}}\) จะได้ a=0.1

2. เนื่องจาก log₂3>1 ดังนั้น f(3+log₂3)=f(log₂24)=1/24

3. จาก \(100(2^{1-\sqrt{4x+1}})=3^{\sqrt{4x+1}}-\frac{16}{2^{\sqrt{4x+1}}}\) จะได้ x=2=k และ det(kB)³=(4det(B))³=-512

5. gcd(3295-3083,3666-3295)=53=p, r=9, pr=477

8. เราจะได้ว่า r_On=3r_On+1 รัศมีวงกลม \(r_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\frac{12^2}{18}=2\sqrt{3}\) และพื้นที่วงกลมทั้งสามเป็น \((1+\frac{1}{9}+\frac{1}{81})(2\sqrt{3})^2\pi=\frac{364}{27}\pi\)

9. จากโจทย์จะได้ \(x^n=16,\ nx^{n-1}y=160,\ \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}y^2=600\) นั่นคือ \(\frac{y}{x}=\frac{10}{n},\ \frac{n-1}{2}\frac{y}{x}=\frac{15}{2}\Rightarrow\ n=4,\ x=2,\ y=5\)
ดังนั้นเทอมที่สี่ได้แก่ 1000

10. \(A=\sum(\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1})=1\), \(B=\sum(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2})=1\) ดังนั้นคำตอบคือ 2

11. ให้ \((f+g)(x)=ax^2+bx+c\) จะได้ \(f((f+g)(x))=2ax^2+2bx+2c+1=x^2+2x+4\) หรือ a=1/2, b=1, c=3/2
g(x)=(f+g)(x)-f(x)=\(\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}\), \((g\circ{f})(x)=g(2x+1)=2x^2,\ f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}\)
ดังนั้นจะได้พจน์ที่โจทย์ถามคือ \((g\circ{f})(x)\cdot{f^{-1}(x)}=x^3-x^2\)

12. ให้ \(y=\frac{1-x}{1+x}\) จะได้ \(x=\frac{1-y}{1+y}\) และ \(f(y)=\frac{2y}{y^2+1}\) นั่นคือ \(f(\sqrt{2}-1)=\frac{1}{\sqrt{2}}\) ตามเงื่อนไขโจทย์จะได้ \(\theta=\frac{3\pi}{4}\)

13. \(\frac{\cos{3x}}{\cos{x}}=4\cos^2{x}-3=\frac{1}{3}\) จะได้ \(\cos^2{x}=\frac{5}{6},\ \sin^2{x}=\frac{1}{6}\) และ \(\frac{\sin{3x}}{\sin{x}}=3-4\cdot\frac{1}{6}=\frac{7}{3}\)

14. วงกลมทั้งสามมีรัศมียาวเท่ากันคือ \(r=4\sqrt{2}\) เส้นผ่านศูนย์กลางของทั้งสามวงกลม colinear และวงกลม O₂, O₃ สัมผัสที่จุดศูนย์กลางของวงกลม O₁
ดังนั้นพื้นที่แรเงาจึงเป็น \(3\pi{r^2}
-2(\frac{1}{3}\pi{r^2}+2(\frac{1}{6}\pi{r^2}-\frac{\sqrt{3}}{4}\pi{r^2}))
=32(\frac{4}{3}\pi-\sqrt{3})\)

17. เราจะได้ \(\frac{5}{\log{a}}=\frac{1}{\log{b}}+\frac{1}{\log{c}}\) นั่นคือ \[\frac{\log_{b}{a}+\log_{c}{a}}{5\log_{a}{b}-\log_{c}{b}}
=\frac{\log{a}}{\log{b}}\cdot\frac{5/\log{a}}{1/\log{b}}=5\]

19. \(F(x)=(fog)(x)=\sqrt{x}+1,\ F^{-1}(x)=(x-1)^2,x\ge1\Rightarrow\ F'(x)=2(x-1),\ F^{-1}(2)=2\)

21. โดย little Fermat จะได้ \(n^{13}\equiv{n}\bmod{13},n^{5}\equiv{n}\bmod{5}\) ดังนั้น \(65|\underbrace{(5n^{13}-5n)+(13n^5-13n)}_{=5n^{13}+13n^5-18n}\)
ดังนั้น จาก -18+65k=9a จะได้ว่า 9 หารทางซ้ายมือลงตัวเมื่อ 9|k ดังนั้นจะได้จากโจทย์ว่า k=9 แทน k แล้วแก้สมการหา a จะได้ a=63 เป็นค่าต่ำสุด

22. \(A=\frac{z}{(z-1)^2}\) คำตอบคือ -1/3

23. (ไม่ชัวร์) \(\frac{\sum(\bar{x}-x_i)}{120}=\frac{25}{4}\) ดังนั้น SD=2.5, Mean=3000/120=25, Z(สมศรี)=(30-25)/2.5=2 ดังนั้นครูสมัยจะเกษียณในอีก 31.25 หรือ 28.75 ปี (โจทย์ไม่ได้บอกว่าใครแก่กว่า)

24. จาก \(f(a)+f(2^n-a)=n^2\) เราจะทำดังนี้
f(46)+f(2002)=121, f(18)+f(46)=36, f(14)+f(18)=25, f(14)+f(2)=16, f(2)+f(2)=4
ดังนั้น f(2)=2, f(14)=14, f(18)=11, f(46)=25, f(2002)=96

มีที่พลาดตรงไหนบอกด้วยนะครับ แล้วจะมาแก้หากได้เข้าเนต ^_^
Edit1: แก้คำผิด
Edit2: ตามล้างตามเช็ดที่ผิดตามคำแนะนำด้านล่าง (ข้อสอบกินแร~~~ง) ข้อ 14 คำตอบไม่ตรงกันอีกแล้ว
Edit3: แก้ข้อ 21 ตามคำท้วงจากกระทู้อื่น

[passer-by]

มาเก็บตกรายละเอียดของคุณ nongtum ซักเล็กน้อยนะครับ

ข้อ 3

เนื่องจาก B มีมิติ 2x2 ดังนั้น det(2B)³ = (det(2B))³=(4det(B))³ = -512


ข้อ 11
ผมว่า เขาถามตัวนี้ นะครับ \(\large ((g\circ f) \cdot f^{-1})(x) \)
แต่ที่คุณ nongtum ตอบ คือ \(\large ((g\circ f) \circ f^{-1})(x) \)

ข้อ 13
ในส่วนของวิธีทำ \(\large cos^{2}x=\frac{5}{6} \)

ข้อ 14
ผมได้คำตอบ \(\large \frac{32\pi}{3}+64\sqrt{3} \)
ยังไงก็ check อีกทีแล้วกันนะครับ

ข้อ 19
ฝากเจ้าของข้อสอบมายืนยัน อีกที นะครับว่า รอย dash จางๆ เหนือ F^-1 คือ diff ใช่หรือไม่

แล้วก็แถมข้อ 15 ให้ครับ

จาก B= -B^T ดังนั้น det(B) =0 และทำให้ det(D) =0

และ จาก A= B-C ...(1)
transpose both sides
A^T= B^T-C^T=-B-C ...(2)

จาก (1) และ (2) จะได้ \(\large C= \frac{-1}{2}(A+A^{T}) \)

ซึ่งเมื่อคำนวณ C ออกมาแล้ว จะได้ det(C)= -12

ข้อนี้ จึงตอบ -12

[thee]

ขอบคุณมากครับ โพสต์แค่วันเดียวก็มาตอบกันเยอะขนาดนี้แล้ว งั้นเดี๋ยวผมจะโพสต์ของ ม.ต้นต่อให้นะครับ
ส่วนอันนี้ ข้อ 7 ที่หายไปครับ

[thee]

อะข้อ 11 ของคุณ nongtum เข้าใจผิดนะครับ มันต้องเป็นการคูณ ฟังก์ขันครับ
รู้สึกข้อ 11 จะตอบ x³-x² นะครับ ส่วนอันนี้ข้อสอบของ ม.ต้น ครับ

ผมอยากรูวิธีคิด ข้อ 4 ของ ม.ต้น อะครับ ใครว่างก็ช่วยบอกทีนะครับ

[thee]

ต่อเลยนะครับ อะลืมบอกไปรู้สึกอันนี้จะเป็นของรอบชิง ม.ต้น เพชรยอดมงกุฎอะครับ

[thee]

ส่วนใครอยากได้ตัวข้อสอบที่ผมพิมพ์ทั้งชุดก็บอกได้นะครับ เดี๋ยวผมจะโพสต์ลิงค์ให้โหลดกัน

[thee]

ต่อเลยนะครับ

[thee]

ขอบคุณมากนะครับสำหรับคนที่ช่วยตอบให้