ข้อสอบ เพชรยอดมงกุฎ รอบแรก ปี48 ช่วยแก้ ให้ หน่อยนะครับ

[Pramote]

กำหนด x,y,z,w เป็นจำนวนจริง ซึ่ง x²/n²-1²+y²/n²-3²+z²/n²-5²+w²/n²-7²=1 ทุกค่า n=2,4,6,8 แล้วค่าของ x²+y²+z²+w² เป็นเท่าไร (ตอบ 36)

อีกข้อนะครับ

ถ้า

ๆ ็ ่

2003 1

๖ ๚ ๘

+

ๆ ็ ่

2003 4

๖ ๚ ๘

+

ๆ ็ ่

2003 7

๖ ๚ ๘

+...+

ๆ ็ ่

2003 2002

๖ ๚ ๘

= k(2²⁰⁰²-1) แล้ว k มีค่าเท่าไร
(ตอบ k=2/3)

[passer-by]

ข้อ 2 คุ้นมากๆ แต่นึกไม่ออกว่า เคยเห็นที่ไหน

รู้สึกว่า จะเริ่มจาก การกระจายฟังก์ชันข้างล่างนี้แหละครับ

\( \large x^{2}(1+x)^{2003}= {2003 \choose 0}x^{2}+ {2003 \choose 1}x^{3}+{2003 \choose 2}x^{4}+...+{2003 \choose 2003}x^{2005} \)

แล้วก็แทนค่า x= 1,w,w^-1 เมื่อw³=1 แต่ wน1 หรือเท่ากับว่า 1+w+w²=0 นั่นเอง จากนั้นนำ 3 สมการที่ได้มาบวกกัน (ขั้นนี้ลองทำเองดูนะครับ) จะเหลือผลลัพธ์คือ

ถ้า S แทนผลบวกซ้ายมือของโจทย์
3S= 2²⁰⁰³+ w²(1+w)²⁰⁰³+w^-2(1+w^-1)²⁰⁰³= 2²⁰⁰³-2

เมื่อ check จากโจทย์ จะได้ k= 2/3