กำลังสองสมบูรณ์ของเลขยกกำลัง

[theme2010]

จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้จำนวน $2^6 + 2^9 + 2^n $ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

[Amankris]

มีคำตอบเดียวคือ 10 เท่านั้น

[Thamma]

$ 2^6 + 2^9 + 2^n $
$ = 2^6 ( 1 + 2^3 + 2 ^ { n-6 }) $
$ = 2^6 ( 9 + 2 ^ { n-6 }) $
$ = 2^6 ( 9 + 2 ^ 4 ) $
$ = 2^6\cdot 5^2 $
$\therefore$ $ n = 10 $

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma

$ 2^6 + 2^9 + 2^n $
$ = 2^6 ( 1 + 2^3 + 2 ^ { n-6 }) $
$ = 2^6 ( 9 + 2 ^ { n-6 }) $
$ = 2^6 ( 9 + 2 ^ 4 ) $
$ = 2^6\cdot 5^2 $
$\therefore$ $ n = 10 $

ก่อนจะสรุปแบบนี้ได้ต้องทำอีกเยอะเลยครับ

ดึง $2^6$ ออกมา ต้องสรุปหรือสมมติให้ไปก่อนว่า $n > 6$
เพราะงั้นบทสรุปที่ทำมาต้องพิจารณากรณี $n \leq 6$ ด้วย
ตรงนี้ไม่มีอะไรซีเรียสจะเขียนในวิธีทำไปเลยก็ได้ว่า จับเชคตรงๆ

พอมาถึง $2^6(9+2^{n-6})$ ต้องได้ว่า $9+2^{n-6}$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์
ก็ให้ $9+2^{n-6}=m^2$ แยกเป็น $2^{n-6}=(m-3)(m+3)$
ซึ่งชัดเจนว่าตัวประกอบของ $2^{n-6}$ มีทั้ง $m-3,m+3$ ซึ่งต้องอยู่ในรูป $2^k$ บาง $k$ ก็ทำต่อไป...
สุดท้ายมันจะหลุดมาได้ว่า $m=5$ เอาไปแก้ต่อได้ $n=10$ พอดีครับ