การหาผลรวมของตัวประกอบ

[cocacola]

อยากทราบวิธีหาผลรวมตัวประกอบของจำนวนๆใดก็ได้ เช่นหาผลรวมของตัวประกอบทุกตัวของ 200 อ่ะครับ

[Amankris]

มีสูตรอยู่ L I N K

ลองอ่านดูนะ

[cocacola]

ขอเอาแบบง่ายๆแบบเด็กประถมอ่านแล้วเข้าใจด้วยนะครับ ขอบคุณครับ

[Amankris]

#3
ลองดูหรือยังละ

$N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_r^{a_r}$

$\sigma(N)=\left(\dfrac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}\right)\left(\dfrac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1}\right)\cdots\left(\dfrac{p_r^{a_r+1}-1}{p_r-1}\right)$

[Scylla_Shadow]

-*- เด็กประถมคงจะเข้าใจ

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cocacola

อยากทราบวิธีหาผลรวมตัวประกอบของจำนวนๆใดก็ได้ เช่นหาผลรวมของตัวประกอบทุกตัวของ 200 อ่ะครับ

1. เขียนให้อยู่ในรูปผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ $N = a^m \times b^n$

2. ผลบวกของตัวประกอบทั้งหมด เท่ากับ

$(a^0+a^1+a^2+...+a^m) \times (b^0+b^1+b^2+...+b^n)$


เช่น $200 = 2^3 \times 5^2$

จะได้ผลบวกของตัวประกอบทั้งหมด

$(2^0+2^1+2^2+2^3) \times (5^0+5^1+5^2)$

(1 + 2 + 4 + 8) x (1 + 5 + 25)

15 x 31

465



ตัวประกอบของ 200 มี

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200

ผลบวก = 465

[pond27216]

มีเรื่สงสัยครับ
200 = 5^2 ×2^3
จำนวนตัวประกอบคือ
(2+1)x(3+1)
เข้าใจนะครับว่าทำไมบอก1
แต่ไม่เข้าใจว่า ทำไมต้องเอามาคูณกัน

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pond27216

มีเรื่องสงสัยครับ
$200 = 5^2 ×2^3$
จำนวนตัวประกอบคือ
(2+1)x(3+1)
เข้าใจนะครับว่าทำไมบวก1
แต่ไม่เข้าใจว่า ทำไมต้องเอามาคูณกัน

การที่ 200 = $5^2 \times 2^3$

แสดงว่า ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ 200 จะเขียนได้ในรูป $5^x \cdot 2^y$ เสมอ

โดยที่ x = 0, 1, 2, 3 และ y = 0, 1, 2, 3

คำว่า และ ในทางคณิตศาสตร์หมายถึง ต้องเกิดพร้อมกันครับ

เช่น ถ้าถามว่า หากสร้างคู่อันดับ (a, b) โดย a เลือกจาก {1, 2, 3} และ b เลือกจาก {p, q}

จะสร้างได้กี่คู่อันดับ?

คำตอบมี 6 คู่อันดับ ได้แก่ (1, p), (1, q), (2, p), (2, q), (3, p), (3, q)

ซึ่ง 6 มาจาก $3 \times 2$

โดยเราจะบอกว่า ขั้นที่ 1. เลือก a ได้ 3 วิธี และ ขั้นที่ 2. เลือก b ได้ 2 วิธี

เราต้องนำ $3 \times 2$ ไม่ใช่ $3 + 2$

ถ้าสนใจก็ลองคิดข้อนี้ดูครับ

ให้ a, b เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ทั้ง a และ b เป็นตัวประกอบของ $6^6$ และ a เป็นตัวประกอบของ b

จงหาว่า จะมี (a, b) ทั้งหมดที่เป็นไปได้กี่แบบ

[pond27216]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

การที่ 200 = $5^2 \times 2^3$

แสดงว่า ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ 200 จะเขียนได้ในรูป $5^x \cdot 2^y$ เสมอ

โดยที่ x = 0, 1, 2, 3 และ y = 0, 1, 2, 3

คำว่า และ ในทางคณิตศาสตร์หมายถึง ต้องเกิดพร้อมกันครับ

เช่น ถ้าถามว่า หากสร้างคู่อันดับ (a, b) โดย a เลือกจาก {1, 2, 3} และ b เลือกจาก {p, q}

จะสร้างได้กี่คู่อันดับ?

คำตอบมี 6 คู่อันดับ ได้แก่ (1, p), (1, q), (2, p), (2, q), (3, p), (3, q)

ซึ่ง 6 มาจาก $3 \times 2$

โดยเราจะบอกว่า ขั้นที่ 1. เลือก a ได้ 3 วิธี และ ขั้นที่ 2. เลือก b ได้ 2 วิธี

เราต้องนำ $3 \times 2$ ไม่ใช่ $3 + 2$

ถ้าสนใจก็ลองคิดข้อนี้ดูครับ

งงครับ
200 = 2^3 * 5^2
ลองกระจายก็มี 1,2^2,2^3,2^4,2^5,5,5^2
ถ้าหาจำนวนทั้งหมดอย่างนี้ก็เอา 7 *7 = 49

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

N = (p1^q1)*(p2^q2)* .... *(pn^qn) โดยที่ p1 , p2 , p3 , ... , pn เป็นจำนวนเฉพาะ
คู่อันดับ (a,b) โดยที่ a และ b เป็นตัวประกอบของ N , a เป็นตัวประกอบของ b
จะมี (1+2+3+ ... +(q1 + 1))*(1+2+3+ ... +(q2 + 1))*.....*(1+2+3+ ... +(qn + 1)) แบบ

เช่น N = 6^6 = (2^6)*(3^6)
คู่อันดับ (a,b) จะมี (1+2+3+4+5+6+7)*(1+2+3+4+5+6+7) = 28^2 = 784 แบบ

ถูกต้องครับ.

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pond27216

งงครับ
200 = 2^3 * 5^2
ลองกระจายก็มี 1,2^2,2^3,2^4,2^5,5,5^2
ถ้าหาจำนวนทั้งหมดอย่างนี้ก็เอา 7 *7 = 49

ลองดูแผนภาพต้นไม้อาจจะช่วยให้เข้าใจง่ายขึ้นครับ

ตัวประกอบทั้งหมดของ 200 จะเกิดจากการจับคู่คูณกันดังรูป

[pond27216]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ถูกต้องครับ.



ลองดูแผนภาพต้นไม้อาจจะช่วยให้เข้าใจง่ายขึ้นครับ

ตัวประกอบทั้งหมดของ 200 จะเกิดจากการจับคู่คูณกันดังรูป

Attachment 15848

เข้าใจแจ่งแจ้งเลยครับ
แล้วถ้าอยากหาผลรวมทำยังไงครับคืออ่านข้งบนไม่เข้าใจ ข้างบนเค้าเรียกว่าวิธีอะไรครับ?? จะได้หาถูก แล้วมีวิธีที่อื่นอีกมั้ยครับ

[computer]

$6^6=2^6\times3^6$
a,b เป็นตัวประกอบของ $6^6$
ให้ $a=2^{x_a}\times3^{y_a}$ และ $b=2^{x_b}\times3^{y_b}$
a เป็นตัวประกอบของ b แสดงว่า $x_a\leqslant x_b$ และ $y_a\leqslant y_b$
ถ้า $x_b=0$ จะได้ $x_a=0$ ได้ $1$ วิธี
$x_b=1$ จะได้ $x_a=0,1$ ได้ $2$ วิธี
$x_b=2$ จะได้ $x_a=0,1,2$ ได้ $3$ วิธี
...
$x_b=6$ จะได้ $x_a=0,1,2,...,6$ ได้ $7$ วิธี
ได้รวม 1+2+3+...+7=28

ในทำนองเดียวกันค่า $y$ จะได้ 28 วิธี
ดังนั้นได้คู่อันดับทั้งหมด $28\times28=784$

[pond27216]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

$6^6=2^6\times3^6$
a,b เป็นตัวประกอบของ $6^6$
ให้ $a=2^{x_a}\times3^{y_a}$ และ $b=2^{x_b}\times3^{y_b}$
a เป็นตัวประกอบของ b แสดงว่า $x_a\leqslant x_b$ และ $y_a\leqslant y_b$
ถ้า $x_b=0$ จะได้ $x_a=0$ ได้ $1$ วิธี
$x_b=1$ จะได้ $x_a=0,1$ ได้ $2$ วิธี
$x_b=2$ จะได้ $x_a=0,1,2$ ได้ $3$ วิธี
...
$x_b=6$ จะได้ $x_a=0,1,2,...,6$ ได้ $7$ วิธี
ได้รวม 1+2+3+...+7=28

ในทำนองเดียวกันค่า $y$ จะได้ 28 วิธี
ดังนั้นได้คู่อันดับทั้งหมด $28\times28=784$

แล้วถ้ 200 หาผลรวมของตัวปีะกอบอ่ะครับ?

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

$6^6=2^6\times3^6$
a,b เป็นตัวประกอบของ $6^6$
ให้ $a=2^{x_a}\times3^{y_a}$ และ $b=2^{x_b}\times3^{y_b}$
a เป็นตัวประกอบของ b แสดงว่า $x_a\leqslant x_b$ และ $y_a\leqslant y_b$
ถ้า $x_b=0$ จะได้ $x_a=0$ ได้ $1$ วิธี
$x_b=1$ จะได้ $x_a=0,1$ ได้ $2$ วิธี
$x_b=2$ จะได้ $x_a=0,1,2$ ได้ $3$ วิธี
...
$x_b=6$ จะได้ $x_a=0,1,2,...,6$ ได้ $7$ วิธี
ได้รวม 1+2+3+...+7=28

ในทำนองเดียวกันค่า $y$ จะได้ 28 วิธี
ดังนั้นได้คู่อันดับทั้งหมด $28\times28=784$

คิดเหมือนกันเป๊ะเลยครับ.

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pond27216

เข้าใจแจ่งแจ้งเลยครับ
แล้วถ้าอยากหาผลรวมทำยังไงครับคืออ่านข้งบนไม่เข้าใจ ข้างบนเค้าเรียกว่าวิธีอะไรครับ?? จะได้หาถูก แล้วมีวิธีที่อื่นอีกมั้ยครับ

การหาผลรวม ต้องใช้ความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบครับ

เช่น $1 + a + b + ab = (1 + a) + (b + ab) = (1+a) + b(1+ a) = (1+ a)(1+ b)$

อย่างผลรวมของตัวประกอบของ 200 จากรูปเดิม
สามตัวแรกบวกกันได้ $2^05^0 + 2^15^1+2^05^2 = 2^0(5^0 + 5^1 + 5^2)$
สามตัวต่อมา บวกกันได้ $2^1(5^0 + 5^1 + 5^2)$
สามตัวต่อมา บวกกันได้ $2^2(5^0 + 5^1 + 5^2)$
สามตัวต่อมา บวกกันได้ $2^3(5^0 + 5^1 + 5^2)$

ดังนั้น 12 ตัวประกอบของ 200 บวกกันจะได้

$2^0(5^0 + 5^1 + 5^2)+2^1(5^0 + 5^1 + 5^2)+2^2(5^0 + 5^1 + 5^2)+2^3(5^0 + 5^1 + 5^2)$

$= (5^0 + 5^1 + 5^2)(2^0+2^1+2^2+2^3)$

ถ้างง ต้องศึกษาเรื่องการแยกตัวประกอบพหุนามครับ

[Asuna Jung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

คิดเหมือนกันเป๊ะเลยครับ.



การหาผลรวม ต้องใช้ความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบครับ

เช่น $1 + a + b + ab = (1 + a) + (b + ab) = (1+a) + b(1+ a) = (1+ a)(1+ b)$

อย่างผลรวมของตัวประกอบของ 200 จากรูปเดิม
สามตัวแรกบวกกันได้ $2^05^0 + 2^15^1+2^05^2 = 2^0(5^0 + 5^1 + 5^2)$
สามตัวต่อมา บวกกันได้ $2^1(5^0 + 5^1 + 5^2)$
สามตัวต่อมา บวกกันได้ $2^2(5^0 + 5^1 + 5^2)$
สามตัวต่อมา บวกกันได้ $2^3(5^0 + 5^1 + 5^2)$

ดังนั้น 12 ตัวประกอบของ 200 บวกกันจะได้

$2^0(5^0 + 5^1 + 5^2)+2^1(5^0 + 5^1 + 5^2)+2^2(5^0 + 5^1 + 5^2)+2^3(5^0 + 5^1 + 5^2)$

$= (5^0 + 5^1 + 5^2)(2^0+2^1+2^2+2^3)$

ถ้างง ต้องศึกษาเรื่องการแยกตัวประกอบพหุนามครับ

ขอบคุนค่าาาาาาาา