IMSO วิชาคณิตศาสตร์ (สสวทรอบ2) 2550

[kanakon]

สอบวันที่ 25-26 สิงหาคม 2550

**โจทย์ทุกข้อมาจากการจดจำและรวบรวม อาจมีข้อผิดพลาดบ้างนะครับ

วันแรก
ตอนที่ 1 เติมคำ ข้อละ 4 คะแนน
1) มีเจ้าหน้าที่ $จ_1,จ_2,จ_3,...,จ_6,$ และหัวหน้างาน 1 คนนั่งบนโต๊ะเป็นแถวเรียงกันโดย
1.1) $จ_4$นั่งอยู่ริม
1.2) หัวหน้านั่งติดกับโต๊ะตัวกลาง
1.3) $จ_1$จนั่งระหว่าง $จ_3$ กับ $จ_6,$
จงหา ก) $จ_4$ และ $จ_5$ไม่สามารถนั่งที่ใดได้บ้าง
ข) ถ้าเพิ่มเงื่อนไงว่า $จ_4$ นั่งติดกับ $จ_5$ ใครนั่งติดหัวหน้าได้บ้าง

2) สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านหนึ่งยาว 19 หน่วย และมีเส้นรอบรูปยาว 95 หน่วยจงหาพื้นที่ที่มากที่สุดของสามเหลี่ยมรูปนี้

3) $A=\left\{\, x|\frac{1}{log_2x}-\frac{1}{log_2x-1} \right\} < 1$
$B=\left\{\,x|x>1.5\right\} $
$C=A-B$
กำหนด $f(x)=e^x , D=\left\{\,y|y\in f(x) สำหรับทุก x \in C\right\} $ จงหา $D$

4) กำหนด $a_n$ เป็นลำดับของจำนวนเต็มบวก $a_n\cdot a_{n+3}=a_{n+2}\cdot a_{n+5}$ จงหาจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่หาร
$$\sum_{k = 1}^{2550} a_{2k}\cdot a_{2k-1}$$ ลงตัวเสมอ

5) *** ขอเช็คโจทย์ก่อนนะครับ


ตอนที่ 2 แสดงวิธีทำข้อละ 8 คะแนน
1) กำหนด$$f(f(n)-2n)=2f(n)+n$$ จงพิสูจน์ว่ามี $f: Z \rightarrow Z $ หรือไม่ถ้ามีจงแสดงและพิสูจน์ให้เห็นจริง

2) กำหนด $f(x) = x^6+a_1x^5+a_2x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+3 \in R$
มีรากเป็นจำนวนเต็มลบ 6 ตัว(อาจซ้ำกันได้) จงแสดงว่า $f(2)\geq 27^2$

3) (ผมคิดว่าหลายคนในบอร์ดทำข้อนี้ได้ในไม่กี่นาที)
$$x^2+xy+y^2=4$$ $$x^2+x_2y_2+y^4=8$$
$$x^6+y^6=?$$

4) สามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งกาง $\theta $ และด้านประกอบมุมนี้รวมกันได้ค่าคงที่ จงแสดงว่าสามเหลี่ยมชนิดใดตามเงื่อนไขนี้ที่มีพื้นที่มากที่สุด
และจงแสดงว่าด้านตรงข้ามุมนี้เป็นด้านที่สั้นที่สุด

5) **ขอเช็คโจทย์ก่อนครับ

วันนี้เอาแค่นี้ก่อนนะครับ

[Art_ninja]

ข้อสอบปีนี้ยากจังเลยครับ
ข้อสามชุด 2 วันแรก (เอาข้อง่ายๆก่อนนะครับ )
$x^2+xy+y^2=4 ------(1)$
$x^4+x^2y^2+y^4=8 -----(2)$
จาก (1) จะได้ว่า
$x^2+y^2=4-xy$
ซึ่งจะได้ว่า
$x^4+2x^2y^2+y^4=16-8xy+x^2y^2 -----(3)$
นำ $(3)-(2)$
จะได้ว่า $xy=1$
และจะได้ว่า
$x^6+y^6
=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)
=(3)(6)=18$ Ans

[gon]

ขอบคุณสำหรับข้อสอบที่จำมานะครับ ใครนึกออกหมอดูแม่นๆก็เติมได้เลย

ขอเก็บข้อง่ายก่อนละกันครับ. (ถ้าเจอที่ผิด บอกด้วยนะครับ)

ตอบ 850

4) กำหนด $a_n$ เป็นลำดับของจำนวนเต็มบวก $a_n\cdot a_{n+3}=a_{n+2}\cdot a_{n+5}$
จงหาจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่หาร $\sum_{k = 1}^{2550} a_{2k}\cdot a_{2k-1}$ ลงตัวเสมอ

เล่นสมการ

Solution

\[a_na_{n+3} = a_{n+2}a_{n+5} \quad \cdots (1)\]\[a_{n+1}a_{n+4} = a_{n+3}a_{n+6} \quad \cdots (2)\]\[a_{n+2}a_{n+5} = a_{n+4}a_{n+7} \quad \cdots (3)\]
$(1)\cdot(2)\cdot(3) : \quad a_{n}a_{n+1} = a_{n+6}a_{n+7}$

ดังนั้น \[a_1a_2 = a_7a_8 = ... = a_{6n-5}a_{6n-4}\] \[a_3a_4 = a_9a_{10} = ... = a_{6n-3}a_{6n-2}\] \[a_5a_6 = a_{11}a_{12} = ... = a_{6n-1}a_{6n}\]

พิจารณา $\sum_{k = 1}^{2550} \cdot a_{2k-1}a_{2k} = (a_1a_2 + a_3a_4 + a_5a_6) + ... (a_{5095}a_{5096} + a_{5097}a_{5098} + a_{5099}a_{5100})$

แต่ 6 หาร 5099 ได้ 849 เศษ 5 ดังนั้น

$\sum_{k = 1}^{2550} \cdot a_{2k-1}a_{2k} = 850(a_1a_2 + a_3a_4 + a_5a_6)$ นั่นคือ จำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่หาร $\sum_{k = 1}^{2550} a_{2k}\cdot a_{2k-1}$ ลงตัวเสมอ 850

กำหนด $f(x) = x^6+a_1x^5+a_2x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+3 \in R$
มีรากเป็นจำนวนเต็มลบ 6 ตัว(อาจซ้ำกันได้)
จงแสดงว่า $f(2)\geq 27^2$

ใช้ FTA + A.M. - G.M.

Solution

จะมีจำนวนเต็มบวก a, b, c, d, e, f ที่ทำให้
$f(x) = (x+a)(a+b)(x+c)(x+d)(x+e)(x+f) = x^6 + a_1x^5 + a_2x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + 3$

โดยที่ $abcdef = 3$

แต่ $f(2) = (2+a)(2+b)...(2+f) \ge (2\sqrt{2a})(2\sqrt{2b})...(2\sqrt{2f})$ (โดยอสมการ A.M.-G.M)
= $512\sqrt{abcdef} = 512\sqrt{3} > 729$

[JokerteamZ]

วันที่สอง

1.1 ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $5n+1$ เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ จงพิสูจน์ว่า $n+1$ สามารถเขียนได้ในรูป จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ $5$ จำนวนบวกกัน (ข้อนี้แจกแต้ม)

1.2 ****ใครจำได้บอกที

2. $a,b,n\in\mathbb{N}$ โดยที่ $n$ หาร $a+b$ ลงตัว และ $n^2$ หาร $a^2+b^2$ ลงตัว พิสูจน์ว่า $n^{2007}$ หาร $a^{2007}+b^{2007}$ ลงตัว

3. กำหนดเซต $A=\{x\in\mathbb{R}; x^3<3\}$

3.1 พิสูจน์ว่า $A$ มีขอบเขตบนค่าน้อยสุด
3.2 ถ้า $m$ เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุดของ $A$ แล้ว พิสูจน์ว่า $m$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

456 โจทย์ยาวขี้เกียจใครก็ได้ยัดมาที
ปล ผม Latex ไม่เป็น

[gools]

ข้อ 5 วันที่ 1 ครับ
ในวงกลมที่มีรัศมี $2$ หน่วยมีจุดสามจุดบนวงกลมที่แตกต่างกันคือ $A,B$ และ $C$
ให้ $H$ และ $G$ คือจุดตัดของเส้นจากจุดยอดไปตั้งฉากด้านของสามเหลี่ยม $ABC$ และเซนทรอยด์ของสามเหลี่ยม $ABC$ ตามลำดับ
ให้ $F$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $HG$ หาค่าของ $AF^2+BF^2+CF^2$

ข้อ 4 วันที่ 2 ครับ
บนสามเหลี่ยม $ABC$ จุด $D$ เป็นจุดบนด้าน $AC$ ที่ทำให้ $BD=CD$ ให้ $E$ เป็นจุดบนด้าน $BC$ ลากเส้นตรงผ่านจุด $E$ ขนานกับ $BD$ ตัดเส้นตรง $AB$ ที่จุด $F$ และ $AE$ ตัด $BD$ ที่จุด $G$ โดยที่ $\angle BCA = 50^o$ และ $\angle CFE = 17^o$ มุม $\angle BCG$ มีค่าเท่าใด

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

2) กำหนด $f(x) = x^6+a_1x^5+a_2x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+3 \in \mathbb{R}[x]$
มีรากเป็นจำนวนเต็มลบ 6 ตัว(อาจซ้ำกันได้) จงแสดงว่า $f(2)\geq 27^2$

จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า
$$f(x)=(x+b_1)(x+b_2)(x+b_3)(x+b_4)(x+b_5)(x+b_6)$$
เมื่อ $b_1,...,b_6 > 0$ และ $b_1\cdots b_6=3$

โดยอสมการ AM-GM จะได้ว่า $$2+b_i=1+1+b_i\geq 3\sqrt[3]{b_i}$$
ทุก $i=1,...,6$
ดังนั้น $$f(2)=(2+b_1)\cdots(2+b_6)\geq 3^6\sqrt[3]{b_1\cdots b_6}=3^6\sqrt[3]{3}>27^2$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JokerteamZ

1.1 ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $5n+1$ เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ จงพิสูจน์ว่า $n+1$ สามารถเขียนได้ในรูป จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ $5$ จำนวนบวกกัน (ข้อนี้แจกแต้ม)

สมมติ $5n+1=a^2$ เราจะได้ว่า $a=5b\pm 1$ สำหรับบาง $b$

Case 1: $a=5b+1$ จะได้ $$n+1=\frac{a^2+4}{5}=5b^2+2b+1=b^2+b^2+b^2+b^2+(b+1)^2$$

Case 2: $a=5b-1$ จะได้ $$n+1=\frac{a^2+4}{5}=5b^2-2b+1=b^2+b^2+b^2+b^2+(b-1)^2$$

[gools]

ข้อ 1 วันแรกครับ
ให้ $f(n)=n$ เมื่อ $n \geq 0$ และ $f(n)=-3n$ เมื่อ $n < 0$
คิดได้หลังจากออกจากห้องสอบมาแล้ว :P

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

2) สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านหนึ่งยาว 19 หน่วย และมีเส้นรอบรูปยาว 95 หน่วยจงหาพื้นที่ที่มากที่สุดของสามเหลี่ยมรูปนี้

ให้อีกสองด้านยาว $a,b$ หน่วย และให้ $A$ แทนพื้นที่ของสามเหลี่ยม
$S$ แทนครึ่งหนึ่งของความยาวเส้นรอบรูป $=\dfrac{95}{2}$
โดย Heron's formula และอสมการ AM-GM เราจะได้

$A=\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-19)}$

$=\sqrt{S(S-19)}\sqrt{(S-a)(S-b)}$

$\leq \sqrt{S(S-19)}\Big(\dfrac{2S-(a+b)}{2}\Big)$

$=\dfrac{19^2\sqrt{15}}{4}$
สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $a=b=38$
ดังนั้นพื้นที่มากสุดของสามเหลี่ยมรูปนี้คือ $\dfrac{19^2\sqrt{15}}{4}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

4) สามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งกาง $\theta $ และด้านประกอบมุมนี้รวมกันได้ค่าคงที่ จงแสดงว่าสามเหลี่ยมชนิดใดตามเงื่อนไขนี้ที่มีพื้นที่มากที่สุด
และจงแสดงว่าด้านตรงข้ามุมนี้เป็นด้านที่สั้นที่สุด

สมมติว่า ด้านประกอบมุมนี้คือ $a,b$
ให้ $A$ แทนพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้
โดยอสมการ AM-GM เราจะได้ว่า
$$A=\frac{1}{2}ab\sin{\theta}\leq\frac{1}{8}(a+b)^2\sin{\theta}$$
สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $a=b$

ดังนั้นสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่มากที่สุดตามเงื่อนไขนี้คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ส่วนคำถามที่สองคิดว่าไม่จริงถ้าไม่กำหนดเงื่อนไขของมุม $\theta$ เพิ่มมาครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gools

ข้อ 1 วันแรกครับ
ให้ $f(n)=n$ เมื่อ $n \geq 0$ และ $f(n)=-3n$ เมื่อ $n < 0$
คิดได้หลังจากออกจากห้องสอบมาแล้ว :P

คุณ gools แสดง solution ให้ดูหน่อยครับเพื่อประโยชน์กับผู้ด้อยวรยุทธ์อย่างผม

[gools]

ต้องลองหาฟังก์ชันและลองแทนค่าเข้าไปในสมการของโจทย์ครับถึงจะได้
ข้อสังเกตเพียงเล็กน้อยก็คือ $f(f(n)-2n)$ เมื่อ $f(n)=n$ แล้วเราจะหา f(-n) ได้โดยง่าย

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

สอบวันที่ 25-26 สิงหาคม 2550
4) สามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งกาง $\theta $ และด้านประกอบมุมนี้รวมกันได้ค่าคงที่ จงแสดงว่าสามเหลี่ยมชนิดใดตามเงื่อนไขนี้ที่มีพื้นที่มากที่สุด
และจงแสดงว่าด้านตรงข้ามุมนี้เป็นด้านที่สั้นที่สุด

โจทย์ไม่ได้ให้แสดงว่าหาสามเหลี่ยมตามเงื่อนไขนี้ที่มีด้านตรงข้ามมุม $\theta$ สั้นที่สุดเหรอครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gools

ต้องลองหาฟังก์ชันและลองแทนค่าเข้าไปในสมการของโจทย์ครับถึงจะได้
ข้อสังเกตเพียงเล็กน้อยก็คือ $f(f(n)-2n)$ เมื่อ $f(n)=n$ แล้วเราจะหา f(-n) ได้โดยง่าย

โจทย์ไม่ได้ให้แสดงว่าหาสามเหลี่ยมตามเงื่อนไขนี้ที่มีด้านตรงข้ามมุม $\theta$ สั้นที่สุดเหรอครับ

ผมก็ไม่ชัวร์โจทย์อะครับแต่คาดว่าจะแนวๆนั้นอะ

ปล. ใครมั่นใจว่าโจทย์ถูกต้องรบกวนช่วยโพสท์ด้วยนะครับ

[Art_ninja]

โจทย์ข้อ 4 ชุดที่สองวันแรกนะครับ จงหาว่าสามเหลี่ยมชนิิดใดในบรรดารูปสามเหลี่ยมทั้งหมดถ้ามีมุมยอดคือ $\theta$ เท่ากัน และมีผลบวกความยาวด้านประกอบมุมยอดเป็นคงตัวเท่ากัน ที่จะมีความยาวฐานน้อยที่สุด(พร้่อมการพิสูจน์ในตัว)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

โจทย์ข้อ 4 ชุดที่สองวันแรกนะครับ จงหาว่าสามเหลี่ยมชนิิดใดในบรรดารูปสามเหลี่ยมทั้งหมดถ้ามีมุมยอดคือ $\theta$ เท่ากัน และมีผลบวกความยาวด้านประกอบมุมยอดเป็นคงตัวเท่ากัน ที่จะมีความยาวฐานมากที่สุด(พร้่อมการพิสูจน์ในตัว)

โจทย์ให้หาความยาวฐานที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้รึเปล่าครับ ถ้าความยาวฐานที่มากที่สุดผมว่ามันไม่น่าจะหาได้นะครับ(จากการลองวาดรูปดู)

ถ้าให้หาความยาวฐานที่น้อยที่สุดผมทำดังนี้

สมมติว่าด้านตรงข้ามมุมยอดคือ $a$ และด้านประกอบมุมยอดคือ $b,c$ เราทราบว่า
$b+c$ และ $\theta$ เป็นค่าคงที่
โดยกฎของโคไซน์และอสมการ AM-GM เราจะได้ว่า

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos{\theta}$

$=(b+c)^2-2bc(1+\cos{\theta})$

$\geq (b+c)^2-2\Big(\dfrac{b+c}{2}\Big)^2(1+\cos{\theta})$

$=(b+c)^2\Big(\dfrac{1-\cos{\theta}}{2}\Big)$

$=(b+c)^2\sin^2{\Big(\dfrac{\theta}{2}\Big)}$

ดังนั้น $a\geq (b+c)\sin{\Big(\dfrac{\theta}{2}\Big)}$

สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $b=c$

ดังนั้นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นสามเหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามมุมยอด $\theta$ สั้นที่สุด