โอลิมปิก 46

[alpha]

ไปสอบมาแล้วครับ โหดสุดๆ วันนี้มาโพสไว้สัก 2-3 ข้อ เรียกน้ำย่อย

1.กำหนดให้ R = เซตของจำนวนจริง ถ้า A เป็นบริเวณในระนาบ นิยามโดย
A = {(x,y) e R X R||x|+|y|+|x+y|ฃ 2} แล้วเราไม่สามารถคำนวณพื้นที่ของ A จากรูปหลายเหลี่ยมข้อใด
1.) สามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันทุกประการ 6 รูป
2.) สามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันทุกประการ 2 รูป กับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เท่ากันทุกประการ 2 รูป
3.) สี่เหลี่ยมด้านขนานที่เท่ากันทุกประการ 2 รูป กับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เท่ากันทุกประการ 1 รูป
4.) สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เท่ากันทุกประการ 2 รูป กับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 1 รูป

2. ถ้า -180ฺฺํํฃxฃ180 (หน่วยองศางโจทย์) แล้วจำนวนทั้งหมดของ x ที่สอดคล้องกับสมการ
tan x = tan(x+10)tan(x+20)tan(x+30) มีกี่จำนวน

[gon]

1. ตอบ ง.
วาดกราฟจะได้รูป 6 เหลี่ยม ซึ่งมีพื้นที่ซึ่งเกิดจากการปิดล้อมด้วยส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุด (1, 0), (0, 1), (-1, 1), (-1, 0), (0, -1) และ (1, -1) บนระนาบ x - y

2. ตอบ 8
แก้สมการจะได้ x = 45n + (-1)ⁿ5 - 15 องศา
เมื่อต้องการให้ -180ฃ x ฃ 180 องศา จะได้ว่า n ฮ {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

เป็นข้อสอบของ สสวท. หรือ สอวน. ครับ (เข้าใจว่าของ สสวท น่าจะยกเลิกไปแล้ว ถ้าใช่ของ สอวน. แล้วข้อสอบเหมือนกันทั่วประเทศหรือเปล่าครับ) ได้ตัวข้อสอบออกมาด้วยหรือเปล่า หรือจำมา

[alpha]

ข้อสอบนี้เป็นของ สสวท.แน่นอนครับ ไม่ใช่ สอวน. และเป็นข้อสอบเดียวกันทั้งประเทศ
ตัวข้อสอบน่ะ ได้มาครับแต่ตอนนี้อาจารย์เอาไปถ่ายเอกสาร อีกอย่างผมไม่มีสแกนเนอร์ คงส่งไปลำบากหน่อย คงต้องรอสักพักครับหรือถ้าใครไปสอบได้มาเอามาโพสไว้ก่อนได้เลยครับ

[Escher]

ข้อ.2 คุณgon ทำยังไงคับ แสดงให้ดูหน่อย ผมคิดไม่ออก

[gon]

มันค่อนข้างยาวครับ. พิมพ์ลำบาก เอาแนวคิดกับบางอย่างที่ผมพอจะเขียนให้ดูได้ล่ะกัน ถ้ายังทำไม่ได้จริง ๆ ค่อยมาว่ากันอีกทีว่าติดตรงไหน

จาก tan x = tan(x +10)tan(x + 20)tan (x + 30)

โดย sense เรื่อง สมมาตร ของทางด้านซ้ายมือมี 1 ชิ้น ของทางขวา มี 3 ชิ้น จึงอยากทำให้เป็นด้านละ 2 ชิ้น. โดย sense อีกเช่นกัน เราจึงย้าย tan(x + 30) ไปหาร tan x ทางด้านซ้ายมือสมการ ทั้งนี้เพราะ มุม
x + x + 30 = 2x + 30 = x +10 + x + 20

เราไม่มีสูตรเกี่ยวกับ tan หรือมีน้อยมาก เช่น ไม่มี สูตร 2tan A tan B เราจึงต้องกลับสู่สามัญ คือ แปลงเป็นฟังก์ชัน sine กับ cosine จากนั้นเพื่อที่จะใช้สูตร การแปลงผลคูณเป็นผลบวก เช่น 2sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B) เราจึงเอา 2 ไปคูณเข้ากับทุกพจน์ 4 ตัวด้วยกัน แล้ว Apply สูตรที่ว่าไป

เอาแค่นี้ก่อนล่ะกันครับ. ลองไปคิดต่อดูก่อน ทำถึงตรงไหน ติดปัญหาตรงไหนมาว่า ให้กันอีกที เขียนที่สิ่งที่ตัวเองลองคิดให้ดู แล้วผมหรือสมาชิกท่านอื่นจะได้ช่วยแนะต่อให้ เพราะแต่ละคนคงคิดไม่เหมือนกันในแต่ละขั้นตอน

หมายเหตุ . ตอนนี้ผมกำลังตามล่าข้อสอบที่สอบไปอยู่ยังหาไม่ได้ ใครที่มีและพอจะ scan ส่งมาได้ก็ดีครับ. จะได้เอาลงเว็บสักที

[Escher]

ขอบคุณมากๆๆๆเลยคับคุณ gon สำหรับคำแนะนำ(คิดได้แล้วคับ
) มีโจทย์ โอลิมปิก 46 อีกข้อที่ผมคิดไม่ออก...ช่วยคิดหน่อยคับ
ถ้าS = { xฮ R l x8-x5+x2-x+1 0 แล้ว R-S คือเซตใด กำหนดให้ R = เซตของจำนวนจริง
(ผมเข้าเวป mathcenter ไม่ได้คับ ใครเข้าได้ช่วยที)

[alpha]

ข้อนี้ผมก็เว้นว่างเหมือนกันแหละ แต่ตอนี้ลองคิดอีกรอบก็กำลังจะออกแล้ว แต่ไม่รู้จะสำเร็จมั้ย เดี๋ยวขอลองไปพยายามต่อก่อนครับ

[gon]

เข้าใจว่าโจทย์เป็น x⁸ - x⁵ + x² - x + 1 ณ 0 นะครับ.

หลักการแก้อสมการโดยทั่วไปก็คือ ซ้ายมือแยกตัวประกอบ ขวามือเป็น 0 ในขั้นแรกเราจึงคาดหวังว่าจะแยกตัวประกอบได้ ถ้าให้ f(x) = x⁸ - x⁵ + x² - x + 1 = 0 โดยทฤษฎีบทคำตอบตรรกยะ (Rational Root Theorem) คำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะคือ -1 กับ 1 แต่ f(1) และ f(-1) น 0 แสดงว่า คำตอบของสมการดังกล่าวถ้าจะมี ก็ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ หรือ จำนวนเชิงซ้อน

เนื่องจากเป็นสมการกำลัง 8 อีกทั้ง สมการก็ไม่สมมาตร เราจึงไม่คาดหวังว่าจะแยกตัวประกอบออกมาง่าย ๆ ด้วยวิธีใด ๆ เราจึงเปลี่ยนแนวคิดใหม่ โดยการคาดหวังว่า จะสามารถมองคำตอบได้ออกจากอสมการเลย

ถ้าจัดรูปอสมการใหม่เป็น x⁸ + x² + 1 - x(1 + x⁴) ณ 0 จากอสมการนี้ ถ้า x เป็นจำนวนเต็ม .... (เติมเอาเอง) จะได้ว่าอสมการเป็นจริงอย่างแน่นอน เราจึงมีคำตอบชุดแรกเล้ว

ในขณะเดียวถ้า x = 0 จะทำให้ อสมการเป็นจริงด้วย ดังนั้น คำตอบรวมจากชุดที่แล้วจึงเป็น .......

เมื่อจัดรูปใหม่เป็น x⁵(x³ - 1) + x(x - 1) + 1 ณ 0 เราก็จะมองออกอีกเช่นกันว่าถ้า x ณ ..... แล้วอสมการจะเป็นจริงเสมอ

จึงเหลือช่วงที่ยังมิได้พิจารณาอีกนิดเดียวคือ ช่วง ..... < x < ..... ซึ่งถ้าจัดรูปอสมการใหม่เป็น
( x⁸ - x⁵ + x² ) - ( x - 1 ) ณ 0 หรือ
x² [ x³(x³ - 1) + 1 ] - (x - 1) ณ 0
แต่ค่าของ x ที่เราพิจารณาอยู่คือช่วง .... < x < ......
เมื่อพิจารณาเครื่องหมายของ x³(x³ - 1) + 1 และ -(x - 1) จะได้ว่ามีค่าเป็น .... เสมอ ดังนั้นสรุปได้ว่าอสมการจะเป็น ........ เสมอ ในช่วงดังกล่าว

สรุปจาก 3 กรณีจะได้คำตอบชองอสมการนี้คือ เซต ................

ดังนั้น R - S = เซต .............

[gon]

ถ้าคิดข้อนี้ได้แล้วลองคิดข้อนี้ดูนะครับ. ข้อสอบโอลิมปิกล่าสุดที่เพิ่งสอบที่ญี่ปุ่น เป็นข้อที่ 2 ของวันแรก

จงหาคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมดที่ทำให้ a² / ( 2ab² - b³ + 1) เป็นจำนวนเต็มบวก

ปีนี้เด็กเราได้เหรียญทองเป็นเหรียญแรก แต่ญี่ปุ่นนี่จัดแย่มากเลยครับ. เมื่อ 2 ปีก่อนอเมริกาจัด, ปีที่แล้วอังกฤษจัด พอสอบเสร็จก็จะมีข้อสอบที่เป็นไฟล์ pdf และ เฉลยของต้นฉบับออกมาด้วยทันทีเลย , มีการจัดอันดับ Ranking รู้คะแนนสอบของเด็กแต่ละคนว่าใครทำข้อไหนได้กี่แต้ม มาปีนี้ญี่ปุ่นจัดไม่มีอะไรออกมาสักอย่างเลยครับ. (จะทำหรือเปล่าก็ไม่รู้) อย่างข้อสอบของปีนี้ ผม search หลังสอบเสร็จอยู่ตั้งหลายวันกว่าจะเจอ นี่ได้มากจากเว็บประเทศเกาหลีครับ. ลองคิดดู

[gon]

สำหรับช่วงนี้เว็บ mathcenter.hypermart.net จะเข้าไม่ได้อีกพักใหญ่ ๆ หรีอตลอดไปก็ได้ ผมกำลังคิดอยู่ว่าจะเอายังไงต่อไปดี สาเหตุก็คือช่วงนี้เป็นช่วงที่จะหมดอายุของสัญญาเช่า server : 1 ปี ทุกปี Hypermart จะ mail มาบอกก่อน มาปีนี้อยู่ ๆ ลบเว็บหายไปเลย บางทีผมอาจจะย้ายมาอยู่ server ของไทยและเปลี่ยน Domain Name ใหม่ หรือ .... ขอผมคิดดูก่อน

[alpha]

เดี๋ยวเข้าได้เมื่อไหร่บอกด้วยนะครับ บอก Addressหใม่ด้วยครับถ้าเปลี่ยน

[alpha]

สอบรอบแรกผ่านแล้วครับ (ขนาดกะๆ ดูแล้วคะแนนหายไปกว่าครึ่งนะเนี่ย) ผมจะสอบรอบ 2 วันที่ 23 นี้แล้วครับ ทำไงดี ข้อสอบปีหลังๆ นี่ ยากมากๆๆๆๆเลย ใครมี Trick อะไรดีๆ ก็มาแนะนำหน่อยนะครับ แบบว่าอยากได้รอบ3อ่ะครับ
น่าประหลาดใจที่เด็กโรงเรียนหาดใหญ๋วิทยาลัยไม่ติดซักคน (แต่ได้ผ่านทาง สอวน. มาคนนึง วิชาคณิต)ไม่ว่าวิชาไหนก็ตาม เพราะปกติเขาได้อย่างน้อยปีละคนเสมอเลย
ส่วนข้อสอบรอบที่ 1 ได้คืนมาแล้วครับ ถ้าไม่มีอะไรผิดพลาด วันอาทิตย์มันก็คงจะได้มาอยู่บนบอร์ดนี้ครับ

[gon]

ยินดีด้วยครับ. รู้คะแนนด้วยหรือว่าได้เท่าไร. นี่ก็เกินวันอาทิตย์แล้ว แสดงว่าเกิดความผิดพลาดขึ้นแล้วหรือ สำหรับข้อสรุปของเว็บนั้น ดูในกระทู้ที่น้อง ToT ตั้งไว้นะครับ.

[alpha]

ที่บอกว่าคะแนนหายไปกว่าครึ่งนี่คือนับเอจากจำนวนข้อที่ทำได้ครับ เห็นแล้วกุมขมับเลย แต่เดี๋ยวจะหนักหนาสาหัสกว่าเก่าอีกตอนสอบรอบสองครับ
ช่วงนี้ขึ้นจิงๆเลย วันนี้ขึ้นกรุงเทพ เสาร์นี้ขึ้นเขียง ไม่รู้จะได้ซักกี่ข้อ

[alpha]

สอบไปแล้วครับ โหดมากๆ วันแรก 12 ข้อ เติมคำ 6 ข้อ วิธีทำ 6 ข้อ
วันที่ 2 วิธีทำ 8 ข้อ แต่ดูๆ แล้วง่ายกว่าปี 45 ครับ
จำข้อสอบออกมาได้บางข้อ เดี๋ยวขอเอาไปเข้า word ก่อนแล้วจะมาโพสครับ
ส่วนข้อสอบรอบแรกนั้น สแกนแล้วขนาดใหญ่เกินไป คิดว่าเอามาโพสไม่ได้แน่ครับ แต่กำลังหาทางแก้อยู่