ข้อสอบโอลิมปิกไทยปี 47 รอบแรก ตอน 2 ข้อ 9-10

[warut]

ผมลองทำข้อสอบโอลิมปิกไทยปี 47 รอบแรก ตอน 2 ที่อยู่หน้า
http://www.mathcenter.net/olympiad/2547/2547p02.shtml
ดู ปรากฎว่ายากเหมือนกันมีหลายข้อเลยที่ยังทำไม่ได้ แต่ที่สำคัญคือ
ผมว่าข้อ 9 กับข้อ 10 น่าจะมีปัญหาดังนี้ครับ

ข้อ 9. g^-1 ไม่สามารถหาได้เพราะ g ไม่ได้เป็น 1-1 ฟังก์ชัน (อาทิเช่น g(t) = -3
จะมี 3 คำตอบ) แต่ผมไม่คิดว่าผู้ออกข้อสอบต้องการให้ตอบว่า "หาค่าไม่ได้"
เพราะไม่เช่นนั้นคงไม่อธิบายเกี่ยวกับฟังก์ชัน f มาซะยาวเหยียดแต่กลับไม่ต้องใช้เลย

ข้อ 10. ผมไม่เข้าใจว่า y ในโจทย์คืออะไร ไม่รู้ว่าเป็นค่าคงที่ หรือ y = f(x) หรือ
สมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง y หรือ อย่างอื่น ผมเดาไม่ถูกจริงๆ
ใครที่ทำข้อนี้ได้ช่วยอธิบายให้หน่อยนะครับ แต่ในความเห็นของข้าน้อยคิดว่าโจทย์
ข้อนี้คลุมเครือเกินไป

ว่างๆจะพยายามทำข้ออื่นๆต่อครับ

[บาคุระ จัง]

ช่วยทำข้อ 1-3 ตอนที่ 2 ด้วยน่ะค่ะ จะรอฟังเฉลย ทั้งหมด

[M@gpie]

อืม ช่วยเอาโจทย์มาลงด้วยจะดีมากอ่ะ ไม่มีโจทย์ งง
จะไปเปิดดูก็ไม่รู้ว่าข้อเดียวกันป่าว

[gon]

ยังไม่ได้ลองคิดดูนะครับ. เดี๋ยวขอลองคิดดูก่อน แต่อย่างข้อ 10. สมการฟังก์ชัน โดยทั่วไป้ทั้ง y และ x ก็คงจะหมายถึงเป็นตัวแปรนะครับ.

[บาคุระ จัง]

ได้รับข้อความแล้ว ขอบคุณค่ะ
(ถ้าว่างอย่าลืมเฉลย ละเอียดน่ะ)

[Topominov]

โจทย์ข้อ 10 ที่อยู่ใน web พิมพ์ผิดครับ โจทย์จริงคือ
xf(x)+f(1-x)=2x-x^2

[gon]

ขออภัยที่ทำให้เกิดเป็นปัญหาที่กำกวม ผมผิดเองครับ. ทั้งสองข้อ ข้อ 9 นั้นตกคำว่า "จำนวน" ไปซึ่งเป็น f(n) แทนจำนวนคู่อันดับ (x, y) , ...
ส่วนข้อ 10 ก็เป็นอย่างที่คุณ Topominov ว่าไว้.ซึ่งผมแก้เรียบร้อยแล้วครับ. อย่างไรถ้าคิดว่ายังมีที่ผิดตรงไหนอีก ก็บอกด้วยล่ะกันครับ.

[warut]

อ๋อ...ที่แท้ข้อ 10. ก็เป็นอย่างนี้เอง ขอบคุณคุณ Topominov (เดาว่าเป็นนักคณิตศาสตร์
ชาวรัสเซียที่อ่านไทยได้คนหนึ่ง) ที่มาบอก ช่วงนี้หาคนเข้ามาตอบยากจริงๆ ผมเอง
หลังจากสะสางเรื่องที่ตัวเองก่อเอาไว้แล้วก็คงจะหยุดเล่นไปซักพักเหมือนกันเพราะว่า
เพิ่งได้ของเล่นชิ้นใหม่มา

ส่วนข้อ 9. เรื่องที่คุณ gon บอกว่าตกคำว่า "จำนวน" ไปเนี่ยผมเห็นแล้วล่ะครับ แล้วก็
เดาได้ด้วย แต่เรื่องฟังก์ชัน g ที่ผมบอกเนี่ยมันก็ยังคงมีปัญหาอยู่ดีแหละ

[gon]

เรื่อวฟังก์ชัน g เราก็อย่าไปซีเรียสกับเขาสิครับ. สมมติว่ามันอยู่ในช่วงที่หา อินเวอร์สได้ก็พอ คนตั้งโจทย์คงจะเบลอไปว่าเป็น y = x³ ธรรมดา ๆ ผมลองวาดรูปดูแล้ว ก็มีช่วงแคบ ๆ ที่ทำให้มันไม่ 1 - 1

[warut]

นั่นน่ะสิเนอะ...สงสัยจะมีผมคิดมากไปคนเดียว ผมก็ได้แต่หวังว่าคงไม่มีใครตอบไปว่า
หาค่าไม่ได้เพราะไม่งั้นมีโอกาสเสียค่าโง่มากเลย

ป.ล. ท่านเชื่อหรือไม่ว่าในการพิสูจน์ว่า "ฟังก์ชัน f จะมีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน
1-1 และ onto" นั้นต้องอาศัย Axiom of Choice ด้วย!

[gon]

ไกลไปหรือเปล่าครับ. ผมคิดว่าผมพิสูจน์ได้นะ โดยไม่ใช้ Axiom of Choice แล้วถ้าใช้จะออกมาแบบไหนครับนี่.

[TOP]

ไม่ทราบครับ เอาเป็นว่าให้ทั้งท่าน warut และกร ช่วยกันพิสูจน์ให้พวกเราดูคนละวิธีดีมั้ยครับ

[gon]

เดี๋ยวขอผมเตรียมรายละเอียดนึดหนึ่งก่อน. คุณ warut สนใจต่อไหมครับ.

[warut]

แหม...คุณ TOP ไม่ต้องเรียก "ท่าน" ก็มาพิสูจน์ให้ดูแล้วครับ

อย่างแรกมาทบทวนกันก่อนนะครับว่าฟังก์ชันที่มีอินเวอร์สหมายความว่าอย่างไร

ให้ f เป็นฟังก์ชันจากเซ็ต A ไปยังเซ็ต B โดยที่ A และ B ไม่เป็นเซ็ตว่าง เราจะกล่าวว่า
f มีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อเราสามารถหาฟังก์ชัน g: BฎA และฟังก์ชัน h: BฎA ที่ทำให้
gทf = 1_A และ fทh = 1_B

1_A ในที่นี้คือ identity function on A นั่นคือ 1_A(a) = a "aฮA
ทำนองเดียวกัน 1_B ก็คือ identity function on B

ถ้าหากเราสามารถหาฟังก์ชัน g และ h ดังกล่าวได้ เราจะพบว่า g = h (ซึ่งพิสูจน์ได้
ไม่ยาก ลองทำดูกันนะครับ) เราเขียนแทน g (และ h) ด้วยสัญลักษณ์ f^-1 และ
เรียกมันว่าฟังก์ชันอินเวอร์สของ f อย่างที่เรารู้ๆกันอยู่แล้ว

มีทฤษฎีบทอันหนึ่งบอกเอาไว้ว่า
(1) เราจะหา g ได้ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1-1
(2) เราจะหา h ได้ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน onto

สรุปว่าการพิสูจน์ว่า "ฟังก์ชัน f จะมีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 และ onto"
ก็คือการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้นี่เอง

Axiom of Choice จะถูกนำมาใช้ในการพิสูจน์ "ขากลับ" ของ (2) ซึ่งก็คือข้อความที่ว่า
"ถ้า f: AฎB เป็นฟังก์ชัน onto แล้วเราจะสามารถหาฟังก์ชัน h: BฎA ที่ทำให้
fทh = 1_B ได้" ผมจะแสดงการพิสูจน์เฉพาะส่วนที่ใช้ Axiom of Choice นี้เท่านั้นนะครับ
(แค่นี้ก็พิมพ์แทบไม่ไหวแล้ว)

พิสูจน์ สำหรับแต่ละ bฮB จะเห็นว่าเซ็ต A_b = { aฮA | f(a) = b } ไม่ใช่เซ็ตว่าง
เพราะ f เป็นฟังก์ชัน onto ดังนั้นสำหรับแต่ละ bฮB เราสามารถเลือกสมาชิก a_b ฮ A_b
ขึ้นมาตัวนึงได้เสมอโดยอาศัย Axiom of Choice นี่แหละ เสร็จแล้วเราก็กำหนด
ฟังก์ชัน h: BฎA ให้เป็นฟังก์ชันที่มี h(b) = a_b "bฮB เราก็จะได้ว่า fทh = 1_B
ตามต้องการ

จริงๆผมก็คิดอยากจะเขียนบทความสนุกๆเกี่ยวกับ Axiom of Choice เหมือนกันนะครับ
แต่หลังจากตอบข้อนี้แล้วก็รู้ว่าคงไม่มีทางทำได้สำเร็จแน่

[gon]

รู้สึกว่าผมจะไม่เข้าใจว่า Axiom of choice มันคืออะไรนะ (รบกวนคุณ warut อธิบายสั้น ๆ แต่ได้ใจความอีกครั้งได้ไหมครับ. ดูเหมือนว่าจะเคยคุยกันมานานแล้ว ) แต่วิธีการพิสูจน์ของผม แทบจะเหมือนคุณ warut เป๊ะเลย. ผมก็ต้องอ้าง identity function เหมือนกัน และ ก็ปัญหาก็คือตอนขากลับนี่ล่ะที่จึ๊ก ๆ ๆ

ว่าก็ว่าคุณ warut ถ้าเขียนบทความมาผมจะรีบลงให้เลยครับ.