ข้อสอบ TMO ครั้งที่ 1 ณ จังหวัดขอนแก่น

[alpha]

ยากดีแท้ - -''

[alpha]

ชิ้นที่ 2

[alpha]

ชิ้นที่ 3 (ชิ้นที่ 2 ขีดทึบๆ เอียงๆที่อยู่ท้ายข้อ 13 นั่นเป็นเคอร์เซอร์ของ word ครับไม่ต้องสนใจ)

[alpha]

ชิ้นสุดท้าย

[M@gpie]

ยากจิงๆด้วยเหอๆๆๆ

[Hermioney]

ยากจริงๆๆๆๆ ด้วยสิ

[alpha]

ข้อ 16 เลขชี้กำลังอันบนสุดเป็น 2004 นะครับ พอดีมันซ้อนกันมากเกินตัวเลยเล็ก

[gon]

พิมพ์เองเลยหรือครับนี่ วิเศษจริง ๆ

[gon]

อ้อ. ส่งข้อสอบมาให้พี่ทางเมล์แล้ว ขอบคุณมากครับ. เดี๋ยวพี่จะลงในเว็บพลังเยอะจริง ๆ

วันแรก

ข้อ 3.
เพราะว่า u² + v² +w² = (u + v + w)² - 2(uv + uw + vw) = 5² - 2(4) = 17
เพราะว่า u³ + v³ + w³ = (u + v +w)(u² + v² +w²) - (uv + uw + vw)(u + v + w) + 3(uvw) = (5)(17) - (4)(5) + 3(3) = 74
เพราะว่า (uv)² + (uw)² + (vw)² = (uv + uw + vw)² - 2(u²vw + v²uw + w²uv) = (uv + uw + vw)² - 2uvw(u + v + w) = 4² - 2(3)(5) = -14
เพราะว่า (uv)³ + (uw)³ + (vw)³ = (uv + uw +vw)((uv)² + (uw)² +(vw)²) - (u²vw + v²uw + w²uv)(uv + uw + vw) + 3(uvw)² = (uv + uw +vw)((uv)² + (uw)² +(vw)²) - uvw(u + v + w)(uv + uw + vw) + 3(uvw)² = (4)(-14) - (3)(5)(4) + 3(3)² = -89
ดังนั้นจะได้สมการพหุนามคือ x³ - 74x² - 89x - 27 = 0

ข้อ 4.
x - sqrt(1 - 1/x) = sqrt(x - 1/x)
x² + 1 - 1/x - 2x sqrt(1 - 1/x) = x - 1/x
x² - x + 1 = 2x sqrt(1 - 1/x)
(x² - x + 1)² = 4x²(1 - 1/x)
(x² - x + 1)² = 4x(x - 1)
(x² - x - 1)² + 4x² - 4x = 4x(x - 1)
(x² - x - 1)² = 0
x = (1 + sqrt(5)) / 2 , (1 - sqrt(5)) / 2
แต่จากเงื่อนไขของโจทย์ x >= 1
ดังนั้น x = (1 + sqrt(5)) / 2

ข้อ 6.
เพราะว่า f(x) = (x⁷ - 1) / (x-1) และ f(x⁷) = (x⁷)⁶ + (x⁷)⁵ + (x⁷)⁴ + (x⁷)³ + (x⁷)² + (x⁷) + 1 จะได้
f(x⁷) / f(x) = [(x⁷)⁶ + (x⁷)⁵ + (x⁷)⁴ + (x⁷)³ + (x⁷)² + (x⁷) + 1](x - 1) / (x⁷ - 1)
= [(x⁷)⁵ + 2(x⁷)⁴ + 3(x⁷)³ + 4(x⁷)² + 5(x⁷) + 6 + 7/(x⁷ - 1)](x - 1)
= [(x⁷)⁵ + 2(x⁷)⁴ + 3(x⁷)³ + 4(x⁷)² + 5(x⁷) + 6](x - 1) + 7/f(x)
ดังนั้นเศษเหลือคือ 7

ข้อ 9.
เพราะว่า (2n)!/[(k!)²((n - k)!)²] = (2n)!(ⁿC_k)² / (n!)² = (²ⁿC_n)(ⁿC_k)² ดังนั้น
sum( (²ⁿC_n)(ⁿC_k)² , k = 0 ถึง n) = ²ⁿC_nsum( (ⁿC_k)² , k = 0 ถึง n) = (²ⁿC_n)²

ข้อ 10.
มีวิธีเลือก 4 แบบ ดังนี้
1) เลือกจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัวมา 3 ตัว จะได้ ⁿC₃ วิธี
2) เลือกจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัวมา 1 ตัว และหารด้วย 3 เหลือเศษ 1 และ 2 มาอย่างละ 1 ตัว จะได้ n³ วิธี
3) เลือกจำนวนที่หารด้วย 3 เหลือเศษ 1 มา 3 ตัว จะได้ ⁿC₃ วิธี
4) เลือกจำนวนที่หารด้วย 3 เหลือเศษ 2 มา 3 ตัว จะได้ ⁿC₃ วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีเลือกทั้งหมดคือ n³ + 3(ⁿC₃) วิธี

ข้อ 11.
เพราะว่า 91 = 7*13 ดังนั้น
1) x₁ + x₂ + x₃ = 7 และ y₁ + y₂ + y₃ + y₄ = 13 หรือ
2) x₁ + x₂ + x₃ = 13 และ y₁ + y₂ + y₃ + y₄ = 7
กรณี 1) จะได้จำนวนผลเฉลยคือ ⁶C₂¹²C₃ = 3,300 วิธี
กรณี 2) จะได้จำนวนผลเฉลยคือ ¹²C₂⁶C₃ = 1,320 วิธี
จำนวนผลเฉลยทั้งหมดคือ 3,300 + 1,320 = 4,620 วิธี

วันที่สอง

ข้อ 2.
เพราะว่า f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) + 2547 จะได้ f(0) = -2547
เพราะว่า f(x + m) = f(x) + m [f(1) + 2547] เมื่อ m เป็นจำนวนนับใดๆ
ดังนั้น f(2004) = f(0 + 2004) = f(0) + 2004 [f(1) + 2547] จะได้ f(1) + 2547 = 2547/1002
นั่นคือ f(m) = f(0 + m) = f(0) + m(2547/1002) = -2547 + m(2547/1002)
จะได้ f(2547) = -2547 + 2547²/1002

[gon]

ลองคิดดูแล้วครับ. โดยส่วนตัวคิดว่ายากกว่าของ สสวท. รอบแรก หลายข้อดูเหมือนง่าย แต่พอทำจะติดปัญหาจุกจิกเล็กน้อยกวนใจ อย่างข้อ 4 วันแรก ดูเหมือนง่าย แต่พอทำ ๆไปก็ติดสมการกำลังสี่ ก็พยายามนั่งมองว่ามันจะแยกตัวประกอบง่าย ๆ อย่างไรก็ไม่เจอ คิดมากเสียเวลา เลยทำไปตามแบบวิธีการแก้สมการกำลังสี่เสียเลย เป็นแบบนี้หลายข้อ คือโดยหลักการน่ะ sol ได้ แต่จะ sol อย่างไร. ถ้าโจทย์สนใจเฉพาะคำตอบก็อาจจะง่ายหน่อย แต่ถ้าสนใจหลักการแก้ที่ถูก 100% หลายข้อคงต้องแสดงวิธีการพิสูจน์อย่างมีหลักการ ถ้าใครแก้ปัญหาทุกข้อแบบ Elementary ได้ โดยไม่มีความรู้อะไรมาก ผมขอนับถือจริง ๆ

ทุกข้อที่คุณคิดด้วยคนเขียน คำตอบก็ตรงกับผมหมด แต่วิธีคิดจะต่างกันเสียส่วนใหญ่ มีบางข้อผมยังไม่ได้ทำ

อย่างไรก็ดี ผมลองนำข้อที่ 3 วันที่ 2 มาแปะไว้ ใครว่างก็ลองช่วยตรวจดูที ว่าแนวคิดที่ให้ไว้ มีบกพร่องตรงไหนหรือไม่อย่างไร. เพราะเรื่อง combinatorics เราคงต้องละเอียดกันที่สุด ลองดูนะครับ.
ให้ <1, 2, 3, ... , n> แทนการเรียงสับเปลี่ยนของสมาชิก 1, 2, 3, ... , n
ให้ f(n) แทนจำนวนวิธีที่มากที่สุดที่ใช้ในการสลับสิ่งของที่มี n ตัว ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด(ตามเงื่อนไขของโจทย์) จะได้ว่า
f(n - 1) แทนจำนวนวิธีที่มากที่สุดที่ใช้ในการสลับสิ่งของที่มี n - 1 ตัว
พิจารณาจำนวนเต็มบวก k ใด ๆ ในลำดับ 1, 2, ... , k - 1, k, k + 1, ... , n - 1, n ซึ่งมี n ตัว จะหาความสัมพันธ์ระหว่าง f(n) และ f(n - 1) ดังนี้
สมมติว่า k อยู่หน้าสุด จะได้ว่า จำนวนเต็มบวกที่เหลือ n - 1 สิ่ง จะสลับกันอย่างมากที่สุด f(n - 1) ครั้ง เมื่อจัดเรียงแล้วก็จะได้เป็น <k, 1, 2, ... , k - 1, k + 1, ... , n> ซึ่งก็จะได้ว่าจะต้องทำการสลับอีก k - 1 ครั้ง จึงจะได้เป็น <1, 2, ... , k - 1,k, k, + 1, ... , n> ซึ่งจะสลับมากครั้งที่สุดเมื่อ k = n กล่าวคือเอา n มาอยู่หน้าสุดเป็น <n, 1, 2, ... , n - 1>
\ f(n) ฃ f(n - 1) + (n - 1)
ด้วยเหตุผลเดียวกันนี้เมื่อ พิจารณาแบบเดียวกันกับของ n - 1 ชิ้นคือ 1, 2, ... , n - 1 จะได้ว่าจะสลับมากที่สุดเมื่อ n - 1 อยู่หน้าสุด กล่าวคือเป็น <n - 1, 1, 2, ... , n - 2> \ วิธีการสลับแล้วได้จำนวนครั้งมากที่สุด จะเกิดเมื่อเรียงของจากมากที่สุดไปน้อยที่สุด คือเป็น <n, n - 1, ... , 2, 1> แต่ถ้าของเรียงอยู่แล้ว คือ <1, 2, ... , n> จะได้จำนวนการสลับเท่ากับศูนย์
f(n) ฃ f(n - 1) + (n - 1)
\ f(18) ฃ f(17) + 17 ฃ f(16) + 17 + 16 ฃ ... ฃ f(3) + 17 + 16 + ... + 3 = f(3) + 150
แต่โจทย์บอกว่าสลับไปทั้งหมด 150 ครั้ง แสดงว่าของ 3 ชิ้นสุดท้ายนั้นจำนวนวิธีการสลับเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ ของ 3 ชิ้นสุดท้ายจะเรียงจากน้อยไปมากอยู่แล้ว ส่วนของก่อนหน้านี้จะต้องเรียงในแบบที่ก่อให้เกิดจำนวนการสลับมากครั้งที่สุด
นักเรียนจึงเข้าแถวได้เพียงแบบเดียว คือ หัวแถวเรียงจากคนสูงสุดลงมา จน 3 คนสุดท้ายค่อยเรียงจากน้อยไปมาก กล่าวคือเป็น <18, 17, 16, ... 15, 1, 2, 3>

[gon]

ข้อ 3 วันแรก. เสนอแนวคิดอีกอย่างดังนี้

พิจารณาสมการ x³ - px² + qx - r = 0 ให้ x₁ , x₂ , x₃
เป็นรากของสมการดังกล่าว ให้ y₁ , y₂, y₃ เป็นรากของอีกสมการ
โดยที่ y ₁= x₁³, y₂ = x₂³ , y₃= x₃ ³ หรือ y = x³
\ (x³ - r) = px² - qx ฎ (x³ - r)³ = (px² - qx)³
ฎ x⁹ - 3rx⁶ + 3r²x³ - r³ = p³x⁶ - q³x³ - 3(px²)(qx)(px² - qx)
ฎ y³ - 3ry² + 3r²y - r³ = p³y² - q³y - 3pqy(y - r)
ฎ y³ - 3ry² + 3r²y - r³ - p³y² + q³y + 3pqy² - 3pqry = 0
ฎ y³ - (p³ - 3pq + 3r)y² + (q³ + 3r² - 3pqr) - r³ = 0 ...(1)
ปัญหาในข้อนี้ คือ x³ - 5x² + 4x - 3 = 0 นั่นคือ p = 5, q = 4, r = 3
นำไปแทนลงใน (1) จะได้ y³ - (125 - 60 + 9)y² + (64 + 27 - 180)y - 27 = 0
หรือ y³ - 74y² - 89y - 27 = 0

วันที่สอง ข้อ 3 คิดว่ายังไม่ถูกนะครับ
เพราะ f(18) = 1 + 2 + 3 + ... + 17 = 153 เป็นกรณีที่นักเรียนทั้งหมดยืนเรียงลำดับย้อนกลับกันหมด
สังเกตได้ว่า จำนวนดังกล่าวมากกว่า 150 เพียง 3 แสดงว่าการยืนเรียงแถวของนักเรียนใกล้เคียงกับที่ นักเรียนทั้งหมดยืนเรียงลำดับย้อนกลับกันหมดมาก

ดังนั้นหากเรา ช่วยครูประจำชั้น สลับคู่นักเรียนให้ก่อนสัก 3 คู่ เช่นเป็น
<17, 16 , 15 , 18, 14, 13, 12, ... , 3, 2, 1>
ก็จะช่วยให้ได้จำนวนครั้งที่ครูประจำชั้นต้องสลับเป็น 150 ครั้ง เช่นกัน

[gon]

แถมให้อีกข้อ ข้อ 14 วันแรก ถ้าทำแบบ elementray ผมรู้สึกต้องทำยาวเหยียดเลย เขียนไปก็ไม่รู้เรื่องว่ามายังไง (ใครคิดสั้น ๆ เป็นบอก) เลยหามาทั่วไปเลย นี่ก็เหมือนกัน ถ้าโจทย์สนใจเฉพาะคำตอบ อาจจะลองทำกำลังน้อย ๆ แล้วเดาเลยก็อาจถูก แต่ถ้าพิสูจน์ก็อาจจะทำแบบนี้ ขอบอกใครจะทำทัน 3 ชั่วโมง

ถ้า a ฮ I ⁺ , a น 1 และ m, n ฮ I ⁺ จะพิสูจน์ว่า (a^m - 1, aⁿ - 1) = a^{(m, n)} - 1 ดังนี้
สมมติให้ d = (m, n) จะได้ว่า จะมีจำนวนเต็มบวก s และ t ที่ทำให้ m = ds และ n = dt
\ a^m - 1 = a^ds - 1 = (a^d)^s - 1 ซึ่งหารด้วย a^d - 1 ลงตัว
เพราะ a - b หาร aⁿ - bⁿ ลงตัว ทุก n = 1, 2, 3, ...
ทำนองเดียวกัน aⁿ - 1 = a^dt - 1 = (a^d)^t - 1 ซึ่งหารด้วย a^d - 1 ลงตัว
ในส่วนแรกสรุปได้ว่า ถ้า d = (m, n) แล้ว (a^d - 1) | (a^m - 1) และ (a^d - 1) | (aⁿ - 1)

ต่อไปจะพิสูจน์ว่า a^d - 1 (หรือ a^{(m, n)} - 1) เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดซึ่งหาร a^m - 1 และ aⁿ - 1 ลงตัว)
d = (m, n) แสดงว่าจะมีจำนวนเต็ม x, y โดยที่ d = mx + ny ซึ่งจะได้ว่า x กับ y ต้องมีเครื่องหมายต่างกัน ทั้งนี้เพราะ ถ้า x, y < 0 ทั้งคู่ จะได้ว่า d < 0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ หรือ ถ้า x, y > 0 ทั้งคู่ (x, y ณ 1) ก็จะได้ว่า d ณ m + n ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะจาก d = (m, n) แสดงว่า d ฃ m และ d ฃ n จึงเหลือเพียงกรณีเดียวคือ เครื่องหมายต่างกัน โดยไม่เสียนัยสำคัญ จะสมมติให้ x > 0 , y ฃ 0 (ถ้า y = 0 ยังคงมั่นใจได้ว่า d > 0)

สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวกตัวอื่นนอกเหนือไปจาก a^d - 1 ซึ่งหารทั้ง a^m - 1 และ aⁿ - 1 ลงตัว คือ c โดยที่ c | a^m - 1 และ c | aⁿ - 1 จะแสดงว่า c | a^d - 1 ดังนี้
จะได้ว่า c | (a^mx - 1) เพราะ a^mx - 1 = (a^x)^m - 1^m (x > 0)
และ c | (a^-ny - 1) เพราะ a^-ny - 1 = (a^-y)ⁿ - 1ⁿ (y ฃ 0)
\ c | [ (a^mx - 1) - a^d(a^-ny - 1) ] (c | a ู c | b ฎ c | ax + by)

ฎ c | [ (a^mx - 1) - a^{mx + ny}(a^-ny - 1)
ฎ c | (a^{mx + ny} - 1) หรือ c | (a^d - 1) นั่นคือ c ฃ a^d - 1
\ a^d - 1 หรือ a^{(m, n)} - 1 จะเป็น ห.ร.ม. ของ (a^m - 1, aⁿ - 1)
ฎ (5²⁵⁴⁷ - 1, 5²⁰⁰⁴ - 1) = 5^{(2547, 2004)} - 1= 5⁷ - 1

ดีใจด้วยกับการพัฒนาขึ้นไปอีกขั้นของข้อสอบไทย และการเรียนคณิตศาสตร์ในไทย