ขอถามทุน KING หน่อยครับ

[brother]

ถามผู้รู้ช่วยคิดหน่อยครับ ขอบคุณมากครับ
1. มีหลอดไฟอยู่ดวงหนึ่ง หลอดไฟดวงนี้ถูกควบคุมให้สว่างหรือดับ ตามเงื่อนไขดังนี้
สว่าง 1 วินาที , ดับ 3 วินาที , สว่าง 5 วินาที , ดับ 7 วินาที , ?. เป็นอย่างนี้ไปเรื่อยๆ จงแสดงให้เห็นว่า ณ.วินาทีที่ 500 หลอดไฟดวงนี้สว่างหรือดับ
2. ถ้าพจน์ที่ 1 พจน์ที่ 3 และพจน์ที่ 6 ของลำดับเลขคณิตเรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิตและมีผลบวกของทั้งสามพจน์เป็น 57 ให้ Sn แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตชุดนี้ แล้วจงหา ค่า n ที่ทำให้ Sn=2205

[gon]

โจทย์ข้อแรกไม่ยากครับ. ตัวเลขไม่เยอะถ้านั่งนับเอายังพอไหว เพราะถึงแค่วินาทีที่ 500 หลักการง่าย ๆ ก็คือ ถ้านำ \(1 + 3 + 5 + \cdots \) เกือบ ๆ ถึง 500 เมื่อไหร่ พอมันเกินไปเราก็จะรู้ว่ามันตกตรงช่วงดับหรือติด

หรือถ้าจะเป็นหลักการกว่านี้นิดหนึ่ง เราจะได้ว่า \(\Sigma(2n-1) = n^2 \) ดังนั้นถ้าเราจับให้ \(n^2 = 500 \Rightarrow n = 10\sqrt{5} \) ป (10)(2.236) = 22.36 นั่นก็หมายความว่า มันจะไปตกที่ตัวที่ 23 ของลำดับ \(1, 3, 5, \cdots \) ตรงนี้ก็จะหมูแล้วใช่ไหมครับ. เพราะมันเป็นลำดับเลขคณิตธรรมดา ตัวที่ 23 คือ ?

แล้วเราจะรู้ได้ไงว่าตัวที่ไปตก มันตรงกับตำแหน่งสว่างหรือดับ อันนี้ก็ไม่ยากเช่นกันครับ. ให้เราสังเกตว่าตำแหน่งสว่าง คือ 1, 5, 9, ... จะเป็นเลขที่หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 1 ส่วนตำแหน่งดับ คือ 3, 7, 11 จะเป็นเลขที่หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 3 ที่นี้ก็คงตอบได้แล้วใช่ไหมครับว่า มันดับหรือสว่าง.

[gon]

ส่วนอีกข้อ ก็ไม่ยากเช่นกัน จะสมมติตรง ๆ หรือ จะสมมติแบบไหนก็จะได้คำตอบเท่ากัน สมมติว่าให้ลำดับ 6 พจน์แรกเป็น
\(a-5d, a-3d, a - d, a+d, a+3d, a+ 5d \)
ลำดับนี้จะมีผลต่างร่วมเท่ากับ 2d นะครับ. ไม่ใช่ d เดียว.

จากเงื่อนไข "พจน์ที่ 1 + พจน์ที่ 3 + พจน์ที่ 6 = 57 " เราจะได้สมการว่า \((a-5d) + (a-d) + (a + 5d) = 57 \Rightarrow 3a - d = 57 \cdots (1) \)

แต่ พจน์ที่ 1, พจน์ที่ 3 , พจน์ที่ 6 เรียงเป็นลำดับเรขาคณิต แสดงว่า \(\frac{a-d}{a-5d} = \frac{a+5d}{a-d} \Rightarrow (a-d)^2 = (a-5d)(a+5d) \cdots (2) \)

จากตรงนี้ก็หมูแล้วครับ. แก้สมการ (1), (2) หา a กับ d ออกมา เราก็จะได้ลำดับเลขคณิตที่มีพจน์แรกเป็น a - 5d ผลต่างร่วมคือ 2d แล้วก็ไปใช้สูตรอนุกรมเลขคณิต \( S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = 2205 \)
ก็จะได้ n ตามที่ต้องการโดยการนั่งมองนิดหน่อย
อ้อ. อย่าลืม d ในสูตรนี้ของเราต้องใช้ 2d จากที่สมมติไว้นะครับ.

[brother]

ขอขอบคุณครับพี่gonแล้วจะมารบกวนใหม่นะครับ get แล้ว