โจทย์โอลิมปิก

[Rovers]

1. ให้ f: A ฎ B และ g: B ฎ C โดยที่ (gof)(x) = x จงพิสูจน์ว่า อินเวอร์สของฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันหรือไม่ ให้เหตุผลประกอบ

2. จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนเต็มบวก x,y,z ที่สอดคล้องกับ 2548^x + (-2005)^y = (-543)^z หรือไม่ ถ้ามี หาคำตอบทั้งหมด ถ้าไม่มี จงแสดงให้เห็นจริง

3. จงหาพหุนาม P(x) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ (x-2548)P(x+3) = (x-2005)P(x)

4. ให้ a เป็นรากที่ 7 ของ 1 โดยที่ a น 1 จงหารากของสมการ z²+z+2 = 0 ในรูปของ a ที่มีดีกรีต่ำสุด

5. ABC เป็นสามเหลี่ยมซึ่ง a,b,c เป็นด้านตรงข้ามของมุม A,B,C ตามลำดับ และ (a²+b²)sin(A-B) = (a²-b²)sin(A+B) จงพิสูจน์ว่า ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วหรือสามเหลี่ยมมุมฉาก

เป็นโจทย์ สสวท.รอบ 2 ปี 2548ตัดเอาเท่าที่จำได้ จำเอามาให้ทำกันครับ

[gools]

ข้อ 1 ก่อนนะครับ
สมมติให้ \(f(x)\) ไม่เป็นฟังก์ชัน 1 ต่อ 1 จะมี \(x_1\) กับ \(x_2\) เป็นสมาชิกของ \(A\) ที่ทำให้ \(f(x_1)=f(x_2)=y\) โดยที่ \(y\) เป็นสมาชิกของ \(B\)
แต่ \(g(f(x_1))=g(y)=x_1\) และ \(g(f(x_2))=g(y)=x_2\)
ดังนั้น \(g\) ไม่ใช่ฟังก์ชัน เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น \(f\) เป็นฟังก์ชัน 1 ต่อ 1 ทำให้อินเวอร์สของ \(f\) เป็นฟังก์ชัน

[Char Aznable]

ถ้า f 1-1 f ไม่จำเป็นต้องมีอินเวอร์สเป็นฟังก์ชัน

[gon]

ข้อ 3 นะครับ.

\((x-2548)P(x+3) = (x-2005)P(x)\)

ขั้นที่ 1 : หาว่า P(x) เป็นพหุนามกำลังเท่าใด
ให้ \(P(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n\)
ดังนั้น \((x-2548)[a_0 + a_1(x+3) + \cdots + a_{n-1}(x+3)^{n-1} + a_n(x+3)^n ]\)
\(= (x-2005)[ a_0 + a_1x + \cdots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n ]\)
เทียบ ส.ป.ส ของ \(x^n : a_{n-1} + a_n {n \choose 1}3 - 2548a_n = a_{n-1} - 2005 a_n \Rightarrow 3n - 2548 = -2005 \Rightarrow n = 181\)

ขั้นที่ 2 : จำกัดค่ารากที่เป็นไปได้
แทน x = 2548 : P(2548) = 0
แทน x = 2005 : P(2008) = 0

ให้ r เป็นรากของพหุนามแสดงว่า P(r) = 0
จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า : \((r-2548)P(r+3) = (r-2005)P(r) \Rightarrow (r-2548)P(r+3) = 0\)
ถ้า \(r \ne 2548\) แล้ว P(r+3) = 0 ซึ่งแปลความหมายได้ว่า ถ้า P(r) เป็นรากของพหุนาม แล้ว P(r+3) จะเป็นรากด้วย เช่น P(2548 + 3) = 0 เป็นต้น.

จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า : \((r-2551)P(r) = (r-2008)P(r-3) \Rightarrow (r-2008)P(r-3) = 0\)
ถ้า \(r \ne 2008\) แล้ว P(r-3) = 0 ซึ่งแปลความหมายได้ว่า ถ้า P(r) เป็นรากของพหุนาม แล้ว P(r-3) จะเป็นรากด้วย เช่น P(2548 - 3) = 0 เป็นต้น.

ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะจะมีรากเป็นจำนวนอนันต์ อย่างไรก็ดีเมื่อพิจารณาเงื่อนไขที่ว่า
(1) n = 181
(2) P(2548) = 0
(3) P(2008) = 0
เราจะพบว่าจะไม่สามารถเลือกค่ารากออกไปจาก 2548 ทางด้านมากจนสุดด้านเดียว คือ P(2548 + 3) , P(2548 + 3 + 3) + ... เพราะจะทำให้ P(2005) ไม่รวมอยู่ในนั้น
ทำนองเดียวกัน จะไม่เลือกค่ารากออกไปจาก 2008 ทางด้านน้อยจนสุดด้านเดียว คือ P(2008 - 3) , P(2008 - 3 - 3) + ... เพราะจะทำให้ P(2548) ไม่รวมอยู่ในนั้น

เมื่อพิจารณาค่ารากตั้งแต่ P(2008) , P(2008 + 3) , ... P(2545 + 3) = P(2548) จะพบว่ามีจำนวนเท่ากับ 181 พอดี นั่นคือ
\(P(x) = C(x-2008)(x-2011)(x-2014)\cdots(x-2545)(x-2548) \)เท่านั้นที่เป็นไปได้ซึ่งเมื่อแทนค่าจะพบว่าเป็นจริง

[gools]

งงที่น้อง Char Aznable บอกมาครับ ช่วยอธิบายหน่อย
ส่วนข้อ 2 ใช้ mod 3 ครับ จะได้ \(1^x+(-1)^y \equiv 0\ \ (mod\ \ 3)\) ดังนั้น \(y\) เป็นจำนวนคี่
และ \(0^x+(-1)^y \equiv 1\ \ (mod\ \ 4)\)
ดังนั้น \(y\) เป็นจำนวนคู่ เกิดข้อขัดแย้ง

[gon]

ข้อ 5 ครับ

\((a^2 + b^2)sin(A-B) = (a^2-b^2)sin(A+B)\)
\(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{sin(A+B)}{sin(A-B)} = \frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinAcosB-cosAsinB}\)
\(1+\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{sin(A+B)}{sin(A-B)} = 1+\frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinAcosB-cosAsinB}\)
\(\frac{a^2-b^2}{a^2} = \frac{sinAcosB-cosAsinB}{sinAcosB}\)
\(1-\frac{b^2}{a^2} = 1-\frac{cosAsinB}{sinAcosB}\)

โดยกฏของไซน์ : \(\frac{b}{a} = \frac{sinB}{sinA} \Rightarrow \frac{sin^2B}{sin^2A} = \frac{cosAsinB}{sinAcosB}\)
\(\frac{sinB}{sinA} = \frac{cosA}{cosB} \iff \frac{sinB}{sinA} - \frac{cosA}{cosB} = 0\)
\(\frac{sinBcosB-sinAcosA}{sinAcosB} = 0\)
\((sinA)(cosB)(sin 2B - sin 2A) = 0\)
แต่ \(sin A \ne 0\)
ถ้า \(cos A = 0 \Rightarrow B = \frac{\pi}{2}\)
ถ้า \(sin 2B = sin 2A \Rightarrow 2B = 2A + 2n\pi \Rightarrow B = A + \pi\)
ซึ่งจะเป็นไปได้เมื่อ n = 0 เท่านั้น นั่นคือ A = B

ปล. รู้สึกตอนท้ายจะมั่วนิดนึงนะครับ. เี่ดี๋ยวมาแก้ทีหลังล่ะกัน

[gon]

ข้อ 4
\(\alpha = \cos\frac{2\pi}{7} + i\sin\frac{2\pi}{7}\)
\(\alpha^2 = \cos\frac{4\pi}{7} + i\sin\frac{4\pi}{7}\)
\(\alpha^3 = \cos\frac{6\pi}{7} + i\sin\frac{6\pi}{7}\)
\(\alpha^4 = \cos\frac{8\pi}{7} + i\sin\frac{8\pi}{7}\)
\(\alpha^5 = \cos\frac{10\pi}{7} + i\sin\frac{10\pi}{7}\)
\(\alpha^6 = \cos\frac{12\pi}{7} + i\sin\frac{12\pi}{7}\)

โดย ทฤษฎีสมการและตรีโกณมิติ (ใน My Maths ตอนต่าง ๆ ที่เขียนอยู่) จะได้ว่า

\(\cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{8\pi}{7} = -\frac{1}{2}\) และ
\(\sin \frac{2\pi}{7} + \sin \frac{4\pi}{7} + \sin \frac{8\pi}{7} = \frac{\sqrt{7}}{2}\)

ดังนั้น \(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{7}}{2} = \alpha + \alpha^2 + \alpha^4 = \alpha + \alpha^2(1+\alpha^2)\)
และ \(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{7}}{2} = -(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{7}}{2}) = -(1 - \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{7}}{2}) = -(1 + \alpha + \alpha^2(1 + \alpha^2))\)
ไม่รูว่า้โจทย์อยากให้ตอบแบบนี้หรือเปล่า

[nongtum]

1. ข้อสอง หากใช้ mod 3 มันจะเหลืออีกกรณีที่ยังต้องพิสูจน์ คือ เมื่อ y เป็นเลขคู่
2. ข้อห้าบรรทัดที่สาม หลัง = อันแรก ตก 1+ ไปครับ
3. ตัวอย่างฟังก์ชัน 1-1 แต่ไม่ onto (อันหมายถึงไม่มี inverse): f:N->N, f(x)=2x

[passer-by]

ข้อ 5

ถ้าเป็นกรณีสามเหลี่ยมมุมฉาก ผมว่า B เป็นมุมฉากไม่ได้นะครับคุณ gon เพราะแทนค่ากลับไปในโจทย์ จะได้ด้านสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็น 0

น่าจะอยู่ที่ C ได้ตำแหน่งเดียว

[gools]

แก้ข้อ 2. แล้วนะครับ
ส่วนข้อ 1 เข้าใจแล้วครับ

[nooonuii]

ข้อ 1 ผมว่าน้อง gool สรุปถูกแล้วครับ โดยทั่วไปเรานิยามความสัมพันธ์ผกผันโดยการสลับตำแหน่งของคู่อันดับ ดังนั้นถ้าฟังก์ชัน f หนึ่งต่อหนึ่ง ความสัมพันธ์ผกผันของ f ก็จะเป็นฟังก์ชันตามนิยามของฟังก์ชัน แต่โดเมนของ f^-1 จะเท่ากับ R_f

ข้อนี้เอาคุณสมบัติของฟังก์ชันมาถามครับ เป็นทฤษฎีที่คนเรียนคณิตศาสตร์ชั้นสูงเอาไปใช้กันบ่อยๆ

1. ถ้า gof เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แล้ว f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
2. ถ้า gof เป็นฟังก์ชันทั่วถึงแล้ว g เป็นฟังก์ชันทั่วถึง

ดังนั้น ถ้า "x, gof(x) = x เราจะสรุปได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และ g เป็นฟังก์ชันทั่วถึง

[gon]

ไม่มีอะไรมากเผอิญคิดเอกลักษณ์ใหม่ เลยเอามาแต่งต่อ

ถ้าให้ \(\alpha \,\) เป็นรากที่ 15 ของ 1 และ ไม่เท่ากับ 1 จงเขียน รากของสมการ \(z^2 + z + 4 = 0,\ \) ในรูปของ \(\alpha \) ที่มีกำลังต่ำที่สุด

[Rovers]

ขอโจทย์ข้อ รากที่ 15 เอาลงในมายแม็ทด้วยละกานนะครับ...อิอิ

[gon]

คำตอบอยู่ที่นี่แล้วครับ. สำหรับคนชอบตรีโกณ (ขุด)

[frenchnicky]

เป็นโจทย์ของวันแรกครับ

a ,b ,c เป็นลำดับของจำนวนจริง โดยที่ a_n+1 = b_n + 1/2²⁵⁴⁸(c_n+a_n) ,b_n+1 = c_n + 1/2²⁵⁴⁸(a_n + b_n) ,c_n+1 = a_n + 1/2²⁵⁴⁸(b_n + c_n) ให้ s_n= a_n + b_n + c_n จงแสดงว่า s_nเป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก