ข้อสอบ สอวน.สวนกุหลาบ ปี2548

[บาคุระ จัง]

พอดีน้องเราไปสอบมา

1.x+1/x=2ึ2
ค่าของ x³-1/x³=?

2.u={1,2,3,...,100}
A={a+b|a,bฮU and |a²-2b²|=1}
ให้ m,Mเป็นค่าน้อยสุดและมากสุด ของ A ตามลำดับ ค่าของ m+M=?

3. A={x²-3x+2|x²+2x-3ณ0}
ค่าน้อยสุดของAคือ ... เท่าไร

4. กำหนดรูป3เหลี่ยม ABC จุด D เป็นจุดบนด้าน BC ที่ทำให้ BD : DC=3:2
และจุด E เป็นจุดบนด้าน AC ที่ทำให้ AE:EC=3:1 ต่อ AD,BE ให้ตัดกันที่จุด O
ลาก CO ต่อไปจนตัด AB ที่จุด แล้ว
พท.สามเหลี่ยมAOF/พท.สามเหลี่ยม FOB

PS. ตอนพิมพ์ : ติดกับ D แล้วได้ จึงต้องเว้นห่างกันนิดนึง

5.รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD มีด้านยาวด้านละ 12 นิ้ว ต่อ AD ไปถึงจุด E ให้ DE ยาวเท่ากับ 16 นิ้ว ลาก EC ต่อไปจนตัด AB ที่ต่อออกมาที่จุด F และต่อ BA ไปทางด้านตรงข้ามจุด ถึงจุด F ทำให้ G เท่ากับ แล้ว GD ยาวกี่นิ้ว

6. โจทย์ยาว ขี้เกียจพิมพ์

7.รูปสามเหลี่ยม ABC มีด้าน AB ยาว 6 นิ้ว ด้าน BC ยาว 8 นิ้วและด้าน AC ยาว 10 นิ้ว
สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ACDE บนด้าน AC จงหาความยาวด้าน BD

[gon]

เยี่ยมมาก ๆ เลยครับ ปีนี้มีคนพร้อมใจกันเอาลงตั้ง 2 คน ใครสักคนพอจะมี scan เป็นภาพส่งขึ้นมาได้เลยหรือเปล่าครับ.

[prachya]

รู้สึกว่าสอวน.เค้ามะให้เอากลับอะครับ พี่ gon น่าจะจะทำในข้อสอบแล้วส่งเลย (เท่าที่ผมสอบฟิสิกส์ของปีนี้นะ แล้วก็น้องๆที่รร.ที่สอบคณิต ก็ไม่เห็นมีใครโชข้อสอบให้ดูเลยครับ)
แต่ทำไมน้องเค้าจำโจทย์ได้ยาวจัง หรือว่าได้คืนคับ ??

ปล.ศูนย์ศิลปากรนะครับ

[บาคุระ จัง]

ไม่รู่อ่ะค่ะ พอดีหนูไปสอบSMART-1เค้าไม่ให้เอาข้อสอบกลับ
แต่พอน้องหนูกลับมาเค้าก็เอาข้อสอบมาให้ดู ว่าเค้าทำถูกกี่ข้อ

อยากscanให้เหมือนกันค่ะ แต่เครื่องscanเจ๊ง ซะได้
เลยต้องพิมพ์ ไปพลางๆ

ต่อๆ ขอข้าม 8-14

15. ให้ U={1,2,3,...,121}
A={xฮU|xเป็นจำนวนคู่}
B={xฮU|xเป็นพหุคูณของ3}
จงหาจำนวนสมาชิกในเซต x เมื่อ x=(A-B) ศ(B-A)

[บาคุระ จัง]

ขอนอกเรื่อง SMART-I

มีผู่ร่วมประชุม 6 ชาติ
ผรั่งเศสบอกว่า ต้องมี1ประเทศ จะต้องนั่งระหว่างอเมริกา กับเขา
ประชุมโต๊ะกลม
มีวิธีการนั่งเท่าไร

[M@gpie]

ขอนอกเรื่อง SMART-I
มีผู่ร่วมประชุม 6 ชาติ
ผรั่งเศสบอกว่า ต้องมี1ประเทศ จะต้องนั่งระหว่างอเมริกา กับเขา
ประชุมโต๊ะกลม
มีวิธีการนั่งเท่าไร

ขอตอบว่า 24 อ่าคับ ไม่รู้ว่าถูกมั้ย

[prachya]

ผม fix 2 ชาติอยู่กับที่ แล้วให้มีชาตินึงคั่น เลยเอา 4 ชาติที่เหลือมาจัดเรียงได้ 4! วิธี = 24 แต่มะแน่ใจว่า A กะ C สลับที่กันจะถือเป็นกรณีเดียวกันป่าวอะครับ ถ้ามะใช่ ก้อได้ 24*2 = 48

[gon]

สำหรับข้อสอบ smart I คิดว่าควรจะ 48 มากกว่าครับ.
ข้อนี้คิดได้ 2 วิธี แต่วิธีที่ดีที่สุด น่าจะเป็น การใช้หลักการที่ว่า
จำนวนวิธีในการจัดของเป็นวงกลม = จำนวนวิธีการจัดของเป็นเส้นตรง/จำนวนแบบที่ซ้ำกัน

สมมติให้ A, B, C, D, E และ F แทนประเทศต่าง ๆ โดยที่ A = ฝรั่งเศส , B = อเมริกา
วิธีที่ 1 : จัดของเป็นเส้นตรงก่อน
ขั้นที่ 1 : เลือกว่าจะเอาใครมาอยู่ระหว่าง A กับ B ทำได้ 4 วิธี สมมติว่าคือ C ก็จะเป็น ACB, D, E, F
ขั้นที่ 2 : สลับที่ของ 4 สิ่งทั้งหมดทำได้ 4!
ขั้นที่ 3 : สลับที่ A กับ B สิ่งทำได้ 2!
ดังนั้นการจัดเรียงเป็นเส้นตรงทำได้ 4 x 4! x 2!
แต่การจัดของ 4 สิ่งเป็นเส้นตรง ถ้าเป็นวงกลมจะเป็นเพียง 1 แบบ
ดังนั้นจะจัดได้ (4 x 4! x 2!)/4 = 48

วิธีที่ 2 : วิธีนี้จะมีข้อควรระวังอย่างมาก ในกรณีที่มี 4 ชาติ จะไม่จริง
ขั้นที่ 1 : นำ A กับ B ไปนั่งก่อน จากนั้นเลือกว่าจะเอาใครมาอยู่ระหว่าง A กับ B ทำได้ 4 วิธี
ขั้นที่ 2 : คนที่เหลือ 3 คน นั่งสลับที่กันทำได้ 3! วิธี
ขั้นที่ 3 : สลับที่ A กับ B ทำได้ 2!
ดังนั้น จะจัดได้ 4 x 3! x 2! = 48 กรณี

หมายเหตุ : ในกรณีที่มี 4 ชาติ ถ้าคิดแบบแรกจะยังคงถูก คือ (2 x 2!)/2 = 2 แต่ถ้าคิดแบบที่ 2 จะผิด คือ 2 x 2 = 4 ซึ่งผิด

ปล. น้องบาคุระจัง ช่วยดูโจทย์ สอวน. ข้อ 4 กับ 5 ด้วยครับ รู้สึกว่าจะพิมพ์ตกไป การแก้ไขข้อความตัวเองทำโดยการกดปุ่มรูปดินสอนะครับ

[nongtum]

เอาเท่าที่ได้คิดก่อนนะครับ
Edit1: แก้ตามโจทย์ต้นฉบับในอีกกระทู้ครับ

1. จากโจทย์เราจะได้ \(x-\frac{1}{x}=\pm2,\ x^2+1+\frac{1}{x^2}=7\Rightarrow (x^3-\frac{1}{x^3})^2=(\pm14)^2=196\)

3. ตอบ -0.25 (ขอบคุณคุณ Passer-by สำหรับคำท้วงติงครับ)

7. ต่อ BC ไปถึง E โดยที่ DE ตั้งฉากกับ AE เราจะได้ว่าสามเหลี่ยม ABC และสามเหลี่ยม CDE เท่ากันทุกประการ และ \(BD=\sqrt{(8+6)^2+8^2}=2\sqrt{65}\)

15. จำนวนเลขในเซตนี้ที่หารหกลงตัวมี 20 ตัว ดังนั้นจำนวนสมาชิกที่ต้องการหา คือ (60-20)+(40-20)=60

[passer-by]

ข้อ 3 น่าจะตอบ -1/4 มากกว่านะครับ โดยเกิดเมื่อ x= 3/2

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ข้อ 3 น่าจะตอบ -1/4 มากกว่านะครับ โดยเกิดเมื่อ x= 3/2

ตามมาแก้ตามคุณ passer-by ครับ รวมทั้งแก้ข้อแรกตามโจทย์ต้นฉบับด้วย (ข้อนี้ไม่ได้ทดจริงจัง แค่วาดรูป เลยตอบผิดเอาง่ายๆ อย่าเอาเป็นเยี่ยงอย่างนาครับ)

แถมอีกหนึ่งข้อ ส่วนข้อที่เหลือขอยกยอดไปตอบในกระทู้ใหม่นะครับ

2. (a,b)=(1,1) และ (99,70) ทำให้ m=2, M=169 และ m+M=171

[Onasdi]

ช่วยแสดงแนวคิดข้อ 2 หน่อยคับ
ขอบคุณคับ

[nongtum]

ตอบไปแล้วในกระทู้นี้ครับ (เลื่อนลงมาด้านล่าง)